הבדלים בין גרסאות בדף "קוד:נגזרת של הרכבת פונקציות (כלל שרשרת)"
Ofekgillon10 (שיחה | תרומות) |
Ofekgillon10 (שיחה | תרומות) |
||
| שורה 6: | שורה 6: | ||
$\frac{dh}{dx} (x_0) = \frac{dg}{df} (f(x_0))\cdot \frac{df}{dx} (x_0) $ | $\frac{dh}{dx} (x_0) = \frac{dg}{df} (f(x_0))\cdot \frac{df}{dx} (x_0) $ | ||
| − | + | \end{thm} | |
| − | אם נגדיר $g(u)=\sin u $ אבל $u(x)=x^2 $ אז הנגזרת של $h(x)=g(u(x))=\sin x^2 $ היא $\frac{dg}{du} (u(x))\cdot \frac{du}{dx} $ אבל $\frac{dg}{du} | + | אם הכתיב האחרון נראה לכם מוזר ועושה לכם כאב ראש, אל תדאגו, זה בעיקר בשביל הפיזיקאים, אבל בכל מקרה הנה דוגמה: |
| + | |||
| + | אם נגדיר $g(u)=\sin u $ אבל $u(x)=x^2 $ אז הנגזרת של $h(x)=g(u(x))=\sin x^2 $ היא $\frac{dg}{du} (u(x))\cdot \frac{du}{dx} $ אבל $\frac{dg}{du}=\cos u $ ו- $\frac{du}{dx}=2x $ ולכן סך הכל נקבל | ||
| + | $$\cos (u(x)) \cdot 2x = \cos (x^2) \cdot 2x $$ | ||
| − | |||
\begin{proof} | \begin{proof} | ||
ידוע ש- | ידוע ש- | ||
| − | $f(x_0+t)=f(x_0)+f'(x_0) t + \epsilon_1(t)\cdot t | + | $$f(x_0+t)=f(x_0)+f'(x_0) t + \epsilon_1(t)\cdot t $$ |
| + | כש- $\epsilon_1(t)\underset{t\to 0}{\longrightarrow} 0 $ ובנוסף, | ||
| + | $$g(y_0+s)=g(y_0)+g'(y_0) s + \epsilon_2(s)\cdot s$$ | ||
| + | כש- $\epsilon_2(s) \underset{s\to 0} {\longrightarrow} 0$ . לכן: | ||
| − | $g(f(x_0 | + | $$h(x_0+t)=g((f(x_0+t))=g\left (f(x_0)+f'(x_0) t + \epsilon_1(t)\cdot t\right )=$$ |
| − | g(f(x_0))+g'(f(x_0))\cdot f'(x_0) \cdot t + o(t)_{t\to 0} \Rightarrow (g(f(x)))'(x_0)=g'(f(x_0))\cdot f'(x_0) $ | + | $$g(f(x_0))+g'(f(x_0))(f'(x_0) t + \epsilon_1(t)\cdot t)+\epsilon_2 (f'(x_0) t + \epsilon_1 (t))\cdot (f'(x_0) t + \epsilon_1 (t))=$$ |
| + | $$g(f(x_0))+g'(f(x_0))\cdot f'(x_0) \cdot t + o(t)_{t\to 0} \Rightarrow (g(f(x)))'(x_0)=g'(f(x_0))\cdot f'(x_0) $$ | ||
\end{proof} | \end{proof} | ||
גרסה מ־10:42, 2 בספטמבר 2014
\begin{thm} נניח $f:(a,b)\to (c,d) , g:(c,d)\to \mathbb{R} $ נסמן את $h=g\circ f $ כלומר $h(x)=g(f(x)) $ . אם $f$ דיפרנציאבילית ב- $x_0 $ ו- $g$ דיפרנציאבילית ב- $f(x_0) $ אזי $h$ דיפרנציאבילית ב- $x_0 $ ומתקיים: (הצורות שקולות)
$h'(x_0)=g'(f(x_0))\cdot f'(x_0) $
$\frac{dh}{dx} (x_0) = \frac{dg}{df} (f(x_0))\cdot \frac{df}{dx} (x_0) $
\end{thm}
אם הכתיב האחרון נראה לכם מוזר ועושה לכם כאב ראש, אל תדאגו, זה בעיקר בשביל הפיזיקאים, אבל בכל מקרה הנה דוגמה:
אם נגדיר $g(u)=\sin u $ אבל $u(x)=x^2 $ אז הנגזרת של $h(x)=g(u(x))=\sin x^2 $ היא $\frac{dg}{du} (u(x))\cdot \frac{du}{dx} $ אבל $\frac{dg}{du}=\cos u $ ו- $\frac{du}{dx}=2x $ ולכן סך הכל נקבל $$\cos (u(x)) \cdot 2x = \cos (x^2) \cdot 2x $$
\begin{proof}
ידוע ש-
$$f(x_0+t)=f(x_0)+f'(x_0) t + \epsilon_1(t)\cdot t $$ כש- $\epsilon_1(t)\underset{t\to 0}{\longrightarrow} 0 $ ובנוסף, $$g(y_0+s)=g(y_0)+g'(y_0) s + \epsilon_2(s)\cdot s$$ כש- $\epsilon_2(s) \underset{s\to 0} {\longrightarrow} 0$ . לכן:
$$h(x_0+t)=g((f(x_0+t))=g\left (f(x_0)+f'(x_0) t + \epsilon_1(t)\cdot t\right )=$$ $$g(f(x_0))+g'(f(x_0))(f'(x_0) t + \epsilon_1(t)\cdot t)+\epsilon_2 (f'(x_0) t + \epsilon_1 (t))\cdot (f'(x_0) t + \epsilon_1 (t))=$$ $$g(f(x_0))+g'(f(x_0))\cdot f'(x_0) \cdot t + o(t)_{t\to 0} \Rightarrow (g(f(x)))'(x_0)=g'(f(x_0))\cdot f'(x_0) $$ \end{proof}
