הבדלים בין גרסאות בדף "קוד:נגזרת של פונקציה הפוכה"
מתוך Math-Wiki
Ofekgillon10 (שיחה | תרומות) |
Ofekgillon10 (שיחה | תרומות) |
||
| שורה 4: | שורה 4: | ||
\begin{proof} | \begin{proof} | ||
| − | $(f^{-1}(f(x)))'=x'=1 \Rightarrow f^{-1}'(f(x_0))\cdot f'(x_0)=1 \Rightarrow f^{-1} ' (f(x_0))=\frac{1}{f'(x_0)} $ | + | $$(f^{-1}(f(x)))'=x'=1 \Rightarrow f^{-1}'(f(x_0))\cdot f'(x_0)=1 \Rightarrow f^{-1} ' (f(x_0))=\frac{1}{f'(x_0)} $$ |
\end{proof} | \end{proof} | ||
| − | + | \begin{example} | |
$\sin $ באופן כללי לא חח"ע אבל צמצום הפונקציה אל $[-frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] יביא פונקציה חח"ע שהיא על $[-1,1] $ ואז ניתן להגדיר פונקציה הפוכה $\arcsin : [-1,1]\to [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] $ . מה הנגזרת שלה? | $\sin $ באופן כללי לא חח"ע אבל צמצום הפונקציה אל $[-frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] יביא פונקציה חח"ע שהיא על $[-1,1] $ ואז ניתן להגדיר פונקציה הפוכה $\arcsin : [-1,1]\to [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] $ . מה הנגזרת שלה? | ||
$$\arcsin'(\sin(x))=\frac{1}{\cos x} \Rightarrow \arcsin'(x)=\frac{1}{\cos \arcsin(x)} =\frac{1}{\sqrt{1-\sin^2 (\arcsin(x))}} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} $$ | $$\arcsin'(\sin(x))=\frac{1}{\cos x} \Rightarrow \arcsin'(x)=\frac{1}{\cos \arcsin(x)} =\frac{1}{\sqrt{1-\sin^2 (\arcsin(x))}} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} $$ | ||
| + | |||
| + | \end{example} | ||
גרסה מ־11:33, 2 בספטמבר 2014
\begin{thm} נניח $f:(a,b)\to (c,d) $ הפיכה, כלומר קיימת $f^{-1}:(c,d)\to (a,b) $ . נניח ש- $f$ גזירה ב- $x_0 $ אזי $f^{-1} $ גזירה ב- $f(x_0)$ ומתקיים $f^{-1} ' (f(x_0))=\frac{1}{f'(x_0)} $ \end{thm}
\begin{proof} $$(f^{-1}(f(x)))'=x'=1 \Rightarrow f^{-1}'(f(x_0))\cdot f'(x_0)=1 \Rightarrow f^{-1} ' (f(x_0))=\frac{1}{f'(x_0)} $$ \end{proof}
\begin{example}
$\sin $ באופן כללי לא חח"ע אבל צמצום הפונקציה אל $[-frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] יביא פונקציה חח"ע שהיא על $[-1,1] $ ואז ניתן להגדיר פונקציה הפוכה $\arcsin : [-1,1]\to [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] $ . מה הנגזרת שלה?
$$\arcsin'(\sin(x))=\frac{1}{\cos x} \Rightarrow \arcsin'(x)=\frac{1}{\cos \arcsin(x)} =\frac{1}{\sqrt{1-\sin^2 (\arcsin(x))}} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} $$
\end{example}
