\begin{thm}
אם $f\in D(a,b) $ אז לנגזרת אין נק' רציפות מסוג ראשון. \\במילים אחרות, עבור $x_0\in (a,b) $ אם קיימים $\lim_{x\to x_0^+} f'(x) , \lim_{x\to x_0^-} f'(x) $ אזי הם שווים לנגזרת בנקודה (ובפרט שווים ביניהם)
\end{thm}
$$\lim_{x\to 0} f(x)=\lim_{x\to 0} x^2 \sin \frac{1}{x} = 0=f(0) $$
משום שזה מקרה של פונקציה חסומה כפול פונקציה ששואפת ל-$0$. כעת נבדוק גזירות:
$$f'(0)=\lim_{x\to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to 0} x\sin \frac{1}{x} = 0 $$
מאותה סיבה בדיוק. אבל עבור $x\neq 0 $ מתקיים ש- $f'(x)=2x\sin \frac{1}{x} - \cos \frac{1}{x} $ והגבול $\lim_{x\to 0} f'(x) $ לא קיים ומכאן שהנגזרת לא רציפה.