השינוי האחרון נעשה בֹ־6 באוקטובר 2014 ב־22:13

הבדלים בין גרסאות בדף "קוד:סדרות חסומות"

(יצירת דף עם התוכן "הגדרה: סדרה $ \{a_n \}_{n=1}^\infty $ נקראת חסומה אם קבוצת איברי הסדרה חסומה (ראינו את ההגדרה של קבוצ...")
 
 
(2 גרסאות ביניים של 2 משתמשים אינן מוצגות)
שורה 1: שורה 1:
−
הגדרה: סדרה $ \{a_n \}_{n=1}^\infty $ נקראת חסומה אם קבוצת איברי הסדרה חסומה (ראינו את ההגדרה של קבוצה חסומה).
+
\begin{definition}
 +
סדרה $ \{a_n \}_{n=1}^\infty $ נקראת חסומה אם קבוצת איברי הסדרה חסומה (ראינו את ההגדרה של קבוצה חסומה).
 +
\end{definition}
  
−
לדוגמה: הסדרה הזאת לא חסומה:
+
\begin{example}
 +
הסדרה הזאת לא חסומה:
 +
$$ 0,1,0,2,0,3,0,4,0,5,0,6,0,7,\cdots $$
 +
משום שלא חסומה מלעיל.
 +
\end{example}
  
−
$ 0,1,0,2,0,3,0,4,0,5,0,6,0,7,\cdots $
+
\begin{thm}
−
 
+
כל סדרה מתכנסת היא חסומה
−
משום שלא חסומה מלעיל.
+
\end{thm}
  
−
\underline{משפט}: כל סדרה מתכנסת היא חסומה
+
\begin{proof}
 +
נניח שהסדרה מתכנסת ל- $ L $, ולכן לכל אפסילון קיים $ N $ כך ש-\\
 +
$ \forall n>N : |a_n-L|<\varepsilon $. בפרט, עבור $ \varepsilon=1 $. נגדיר
 +
$$ M=\max\{|a_1|,|a_2|,\cdots,|a_N|,|L+1|\} $$
 +
ונראה ש- $\forall n : |a_n|\leq M $ משום שאם $ n\leq N $ אז האיבר $ |a_n| $ נמצא בקבוצה ש-$ M $ הוא המקסימום שלה, ואם $ n>N $ אז גם ככה $ |a_n-L|<1 $ ולכן $ |a_n|<|L|+1\leq M $ .
 +
\end{proof}
  
−
\underline{הוכחה}: נניח שהסדרה מתכנסת ל- $ L $, ולכן לכל אפסילון קיים $ N $ כך שלכל $ n>N $, $ |a_n-L|<\epsilon $. בפרט, עבור $ \epsilon=1 $. נגדיר $ M=max\{|a_1|,|a_2|,\cdots,|a_N|,|L+1|\} $ ונראה ש- $\forall n : |a_n|\leq M $ משום שאם $ n\leq N $ אז האיבר $ |a_n| $ נמצא בקבוצה ש-$ M $ הוא המקסימום שלה, ואם $ n>N $ אז גם ככה $ |a_n-L|<1 $ ולכן $ |a_n|<|L|+1<M $ . משל
+
\begin{example}
 +
הסדרות $a_n=n$ ו- $b_n=(-1)^n\cdot n $ לא חסומות, ומכאן שהן לא מתכנסות.
 +
\end{example}
  
−
הערה חשובה: המשפט ההפוך לא נכון. לדוגמה אם ניקח את $ a_n=(-1)^n $ (כלומר הסדרה $ 1,-1,1,-1,\cdots $ ) חסומה מלעיל ע"י 1 ומלרע ע"י $ -1 $ אבל לא מתכנסת
+
\begin{remark}
 +
המשפט ההפוך לא נכון. לדוגמה הסדרה $ a_n=(-1)^n $ חסומה מלעיל ע"י 1 ומלרע ע"י $ -1 $ אבל לא מתכנסת
 +
\end{remark}

גרסה אחרונה מ־22:13, 6 באוקטובר 2014

\begin{definition} סדרה $ \{a_n \}_{n=1}^\infty $ נקראת חסומה אם קבוצת איברי הסדרה חסומה (ראינו את ההגדרה של קבוצה חסומה). \end{definition}

\begin{example} הסדרה הזאת לא חסומה: $$ 0,1,0,2,0,3,0,4,0,5,0,6,0,7,\cdots $$ משום שלא חסומה מלעיל. \end{example}

\begin{thm} כל סדרה מתכנסת היא חסומה \end{thm}

\begin{proof} נניח שהסדרה מתכנסת ל- $ L $, ולכן לכל אפסילון קיים $ N $ כך ש-\\ $ \forall n>N : |a_n-L|<\varepsilon $. בפרט, עבור $ \varepsilon=1 $. נגדיר $$ M=\max\{|a_1|,|a_2|,\cdots,|a_N|,|L+1|\} $$ ונראה ש- $\forall n : |a_n|\leq M $ משום שאם $ n\leq N $ אז האיבר $ |a_n| $ נמצא בקבוצה ש-$ M $ הוא המקסימום שלה, ואם $ n>N $ אז גם ככה $ |a_n-L|<1 $ ולכן $ |a_n|<|L|+1\leq M $ . \end{proof}

\begin{example} הסדרות $a_n=n$ ו- $b_n=(-1)^n\cdot n $ לא חסומות, ומכאן שהן לא מתכנסות. \end{example}

\begin{remark} המשפט ההפוך לא נכון. לדוגמה הסדרה $ a_n=(-1)^n $ חסומה מלעיל ע"י 1 ומלרע ע"י $ -1 $ אבל לא מתכנסת \end{remark}