הבדלים בין גרסאות בדף "קוד:סדרות מונוטוניות"
Ofekgillon10 (שיחה | תרומות) (יצירת דף עם התוכן "\underline{הגדרה:} אומרים שסדרה $\{x_n\}_{n=1}^\infty $ "עולה מונוטונית" אם $\forall n : x_n\leq x_{n+1} $, במקרה כזה יש...") |
Ofekgillon10 (שיחה | תרומות) |
||
| שורה 1: | שורה 1: | ||
| − | \ | + | \begin{definition} |
| + | אומרים שסדרה $\{x_n\}_{n=1}^\infty $ "עולה מונוטונית" אם $\forall n : x_n\leq x_{n+1} $, במקרה כזה יש כאלה שמסמנים $x_n \nearrow$.\\ | ||
| + | באופן דומה "יורדת מונוטונית" תהיה סדרה בה $\forall n : x_n\geq x_{n+1} $ ובמקרה כזה יש כאלה שמסמנים $x_n \searrow $ | ||
| + | \end{definition} | ||
| − | + | \begin{thm} | |
| − | + | תהי סדרה $\{x_n\}_{n=1}^\infty $ כך ש- $\sup x_n = M , \inf x_n = m$. אם $x_n \nearrow$ אז הסדרה מתכנסת ל- $M$ ואם $x_n \searrow$ אז הסדרה מתכנסת ל- $m$. | |
| + | \end{thm} | ||
| − | \ | + | \begin{proof} |
| + | נוכיח עבור סדרה מונוטונית עולה, ועבור מונוטונית יורדת ההוכחה אנלוגית. אם $M\in\mathbb{R}$ אז יהי $\epsilon>0 $ לפי תכונה של סופרימום, | ||
$\exists n_0 : x_{n_0}>M-\epsilon$ | $\exists n_0 : x_{n_0}>M-\epsilon$ | ||
| − | וכיוון שזו סדרה מונוטונית עולה, $\forall n>n_0 : M-\epsilon<x_{n_0}\leq x_n\leq M<M+\epsilon $ ואז $x_n\to M$. אם $M=\infty$ אז יהי $E\in\mathbb{R}$. מההגדרה של חסם עליון אינסופי, $\exists n_0 : x_{n_0}>E $ וכיוון שזו סדרה מונוטונית עולה, $\forall n>n_0 : E<x_{n_0}\leq x_n$ ואז $x_n\to \infty=M$. | + | וכיוון שזו סדרה מונוטונית עולה, |
| + | $$\forall n>n_0 : M-\epsilon<x_{n_0}\leq x_n\leq M<M+\epsilon $$ | ||
| + | ואז $x_n\to M$.\\ | ||
| + | אם $M=\infty$ אז יהי $E\in\mathbb{R}$. מההגדרה של חסם עליון אינסופי, $\exists n_0 : x_{n_0}>E $ וכיוון שזו סדרה מונוטונית עולה, $\forall n>n_0 : E<x_{n_0}\leq x_n$ ואז $x_n\to \infty=M$. | ||
| + | |||
| + | \end{proof} | ||
גרסה מ־15:50, 3 בספטמבר 2014
\begin{definition} אומרים שסדרה $\{x_n\}_{n=1}^\infty $ "עולה מונוטונית" אם $\forall n : x_n\leq x_{n+1} $, במקרה כזה יש כאלה שמסמנים $x_n \nearrow$.\\ באופן דומה "יורדת מונוטונית" תהיה סדרה בה $\forall n : x_n\geq x_{n+1} $ ובמקרה כזה יש כאלה שמסמנים $x_n \searrow $ \end{definition}
\begin{thm} תהי סדרה $\{x_n\}_{n=1}^\infty $ כך ש- $\sup x_n = M , \inf x_n = m$. אם $x_n \nearrow$ אז הסדרה מתכנסת ל- $M$ ואם $x_n \searrow$ אז הסדרה מתכנסת ל- $m$. \end{thm}
\begin{proof} נוכיח עבור סדרה מונוטונית עולה, ועבור מונוטונית יורדת ההוכחה אנלוגית. אם $M\in\mathbb{R}$ אז יהי $\epsilon>0 $ לפי תכונה של סופרימום, $\exists n_0 : x_{n_0}>M-\epsilon$ וכיוון שזו סדרה מונוטונית עולה, $$\forall n>n_0 : M-\epsilon<x_{n_0}\leq x_n\leq M<M+\epsilon $$ ואז $x_n\to M$.\\ אם $M=\infty$ אז יהי $E\in\mathbb{R}$. מההגדרה של חסם עליון אינסופי, $\exists n_0 : x_{n_0}>E $ וכיוון שזו סדרה מונוטונית עולה, $\forall n>n_0 : E<x_{n_0}\leq x_n$ ואז $x_n\to \infty=M$.
\end{proof}
