שינויים

\underlinebegin{הגדרה:definition} אומרים שסדרה $\{x_n\}_{n=1}^\infty $ היא סדרת קושי $(\text{Cauchy }\ \text{sequence}) $ אם מתקיים התנאי: $$\forall_{\epsilon>0}\exists_N \forall_{n,m>N} : |x_n - x_m| <\epsilon $$

$\\$\underlinebegin{משפט:thm} בכל תת קבוצה $A\subseteq \mathbb{R} $, אם סדרה שמורכבת מאיברי הקבוצה מתכנסת אז היא סדרת קושי (בפרט זה נכון לכל סדרה ב- $\mathbb{R} $ ).\underlineend{הוכחה:thm}  \begin{proof}יהי אפסילון גדול מ-0, אזי $\exists_N \forall_{n>N} |x_n-L|<\frac{\epsilon}{2} $. לכן מתקיים:

$\\$\underline{הגדרה:} $A\subseteq \mathbbend{Rproof} $ נקרא "שלם" אם כל סדרת קושי המורכבת מאיבריו מתכנסת לאיבר בתוכו.

\underlinebegin{דוגמה:definition} $A\mathbb{Q} $ לא שלם, כיוון שאם ניקח את $ 3,3.1,3.14,3.141,3.1415,3.14159,\cdots \to \pi\not\in\mathbb{Q} $ . זוהי סדרה שמתכנסת ב- $subseteq \mathbb{R}$ ולכן, מהמשפט הקודם, היא נקרא "שלם" אם כל סדרת קושי. אבל היא סדרת קושי שמורכבת מאיברים רציונאליים ולא המורכבת מאיבריו מתכנסת למספר רציונאלי, ולכן קבוצת המספרים הרציונאליים לא מהווה מרחב שלםלאיבר בתוכו.\end{definition}

\begin{example}$\mathbb{Q} $ לא שלם, כיוון שאם ניקח את$$ 3,3.1,3.14,3.141,3.1415,3.14159,\cdots \to \pi\not\in\mathbb{Q} $$זוהי סדרה שמתכנסת ב- $\underlinemathbb{מסקנה R}$ ולכן, מהמשפט הקודם:} בכל מרחב שלם, סדרה מתכנסת אם ורק אם היא סדרת קושי.אבל היא סדרת קושי שמורכבת מאיברים רציונאליים ולא מתכנסת למספר רציונאלי, ולכן קבוצת המספרים הרציונאליים לא מהווה מרחב שלם.\end{example}

\underlinebegin{הוכחה:cor} מימין לשמאל זה נכון באופן כללי מהמשפט הקודם (בכל מרחב שלם, סדרה מתכנסת אם ורק אם היא תמיד סדרת קושי) ומשמאל לימין נובע מההגדרה של מרחב שלם, שדורש שכל סדרת קושי תתכנס למשהו בתוכו, ובפרט תתכנס.\end{cor}

$\\$begin{proof}מימין לשמאל זה נכון באופן כללי מהמשפט הקודם (סדרה מתכנסת היא תמיד סדרת קושי) ומשמאל לימין נובע מההגדרה של מרחב שלם, שדורש שכל סדרת קושי תתכנס למשהו בתוכו, ובפרט תתכנס.\underlineend{משפט: $ \mathbb{R} $ שלםproof}

\underlinebegin{הוכחה:thm} נניח $\mathbb{x_n\R}_{n=1}^\infty $ סדרת קושי, אזי לכל אפסילון חיובי $שלם\exists_N \forall_end{n,m>Nthm} |x_n-x_m|<\epsilon $ ואז $x_m-\epsilon<x_n<x_m+\epsilon $ וזה נכון לכל $n>N$ ולכן $x_m-\epsilon \leq l_{N+1} \leq L_{N+1} \leq x_m+\epsilon $ . מהעברת אגפים מקבלים ש- $ 0\leq L_{N+1}-l_{N+1}\leq 2\epsilon $ . אם ניקח לכן סדרת אפסילונים ששואפת ל-0 ובהתאם אליהם ניקח את ה- $N$ים המתאימים וממשפט הסנדוויץ' נקבל שהגבול העליון והתחתון שווים, ואז לפי משפט הסדרה מתכנסת אליהם.

$\\\\$begin{proof}דוגמה: נסתכל על נניח $\{x_n=\sum_}_{kn=1}^n \frac{1}{k}=1+infty $ סדרת קושי, אזי לכל אפסילון חיובי$$\frac{1}{2}+exists_N \frac{1}{3}+...+\frac{1}forall_{n,m>N} $. נראה כי המרחק בין איברים עוקבים בסדרה הולך ושואף ל|x_n-0: x_m|<\epsilon $x_{n+1}$ ואז $x_m-\epsilon<x_n=\frac{1}{n<x_m+1}\to 0 epsilon $ וזה נכון לכל $n>N$ , אף על פי כן, הסדרה לא תתכנס. כל סדרה מתכנסת היא סדרת קושי, ולכן אם נראה שהסדרה הזאת לא סדרת קושי, אז בהכרח היא לא מתכנסת. אכן, נראה כי $ x_{2n}$x_m-x_n=\fracepsilon \leq l_{1}{nN+1}+\fracleq L_{N+1}{n+2}+\cdots leq x_m+ \frac{1}{2n} \geq epsilon $$מהעברת אגפים מקבלים ש- $ 0\fracleq L_{1}{2n}N+\frac{1}-l_{2n}N+\cdots +\frac{1}{2n}=\frac{n}{2n}=leq 2\frac{1}{2} epsilon $. אם ניקח לכן סדרת אפסילונים ששואפת ל-0 ובהתאם אליהם ניקח את ה- $N$ים המתאימים וממשפט הסנדוויץ' נקבל שהגבול העליון והתחתון שווים, כלומר אין מקום בו משם והלאה המרחק בין כל 2 איברים קטן מחצי, ולכן זו לא סדרת קושיואז לפי משפט הסדרה מתכנסת אליהם.\end{proof}

מסקנה\begin{example}נסתכל על$$x_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n} $$נראה כי המרחק בין איברים עוקבים בסדרה הולך ושואף ל-$0$: הטור ההרמוני, שמוגדר להיות $ x_{n+1}-x_n=\lim_frac{1}{n+1}\to 0 $ , אף על פי כן, הסדרה לא תתכנס. כל סדרה מתכנסת היא סדרת קושי, ולכן אם נראה שהסדרה הזאת לא סדרת קושי, אז בהכרח היא לא מתכנסת. אכן, נראה כי$$ x_{2n}-x_n=\inftyfrac{1}{n+1} +\sum_frac{k=1}^{n +2}+\cdots + \frac{1}{k2n} \geq \frac{1}{2n}+\frac{1}{2n}+\cdots +\frac{1}{2n}=\frac{n}{2n}=\frac{1}{2} $ שווה לאינסוף$כלומר אין מקום בו משם והלאה המרחק בין כל 2 איברים קטן מחצי, ולכן זו לא סדרת קושי.\end{example}