הבדלים בין גרסאות בדף "קוד:סדרות קושי"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(יצירת דף עם התוכן "\underline{הגדרה:} אומרים שסדרה $\{x_n\}_{n=1}^\infty $ היא סדרת קושי (Cauchy sequence) אם מתקיים התנאי: $\forall_{\epsil...")
 
שורה 1: שורה 1:
−
\underline{הגדרה:} אומרים שסדרה $\{x_n\}_{n=1}^\infty $ היא סדרת קושי (Cauchy sequence) אם מתקיים התנאי: $\forall_{\epsilon>0}\exists_N \forall_{n,m>N} : |x_n - x_m| <\epsilon $
+
\begin{definition}
 +
אומרים שסדרה $\{x_n\}_{n=1}^\infty $ היא סדרת קושי $(\text{Cauchy}\ \text{sequence})$ אם מתקיים התנאי:
 +
$$\forall_{\epsilon>0}\exists_N \forall_{n,m>N} : |x_n - x_m| <\epsilon $$
  
 
כלומר המרחק בין איברי הסדרה קטן באופן כזה שמאיזהשהו מקום בסדרה והלאה, מרחק בין 2 איברים (שיכולים להיות במקומות רחוקים כרצוננו אחד מהשני בסדרה) יהיה קטן כרצוננו.
 
כלומר המרחק בין איברי הסדרה קטן באופן כזה שמאיזהשהו מקום בסדרה והלאה, מרחק בין 2 איברים (שיכולים להיות במקומות רחוקים כרצוננו אחד מהשני בסדרה) יהיה קטן כרצוננו.
 +
\end{definition}
  
−
$\\$
+
\begin{thm}
−
\underline{משפט:} בכל תת קבוצה $A\subseteq \mathbb{R} $, אם סדרה שמורכבת מאיברי הקבוצה מתכנסת אז היא סדרת קושי (בפרט זה נכון לכל סדרה ב- $\mathbb{R} $ ).
+
בכל תת קבוצה $A\subseteq \mathbb{R} $, אם סדרה שמורכבת מאיברי הקבוצה מתכנסת אז היא סדרת קושי (בפרט זה נכון לכל סדרה ב- $\mathbb{R} $ ).
−
\underline{הוכחה:} יהי אפסילון גדול מ-0, אזי $\exists_N \forall_{n>N} |x_n-L|<\frac{\epsilon}{2} $. לכן מתקיים:
+
\end{thm}
 +
 
 +
\begin{proof}
 +
יהי אפסילון גדול מ-0, אזי $\exists_N \forall_{n>N} |x_n-L|<\frac{\epsilon}{2} $. לכן מתקיים:
  
 
$\forall_{n,m>N}: |x_n-x_m|=|(x_n-L)+(L-x_m)|\leq |x_n-L| + |L-x_m| <\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon $
 
$\forall_{n,m>N}: |x_n-x_m|=|(x_n-L)+(L-x_m)|\leq |x_n-L| + |L-x_m| <\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon $
  
−
$\\$
+
\end{proof}
−
\underline{הגדרה:} $A\subseteq \mathbb{R} $ נקרא "שלם" אם כל סדרת קושי המורכבת מאיבריו מתכנסת לאיבר בתוכו.
+
  
−
\underline{דוגמה:} $\mathbb{Q} $ לא שלם, כיוון שאם ניקח את $ 3,3.1,3.14,3.141,3.1415,3.14159,\cdots \to \pi\not\in\mathbb{Q} $ . זוהי סדרה שמתכנסת ב- $\mathbb{R}$ ולכן, מהמשפט הקודם, היא סדרת קושי. אבל היא סדרת קושי שמורכבת מאיברים רציונאליים ולא מתכנסת למספר רציונאלי, ולכן קבוצת המספרים הרציונאליים לא מהווה מרחב שלם.
+
\begin{definition}
 +
$A\subseteq \mathbb{R} $ נקרא "שלם" אם כל סדרת קושי המורכבת מאיבריו מתכנסת לאיבר בתוכו.
 +
\end{definition}
  
−
$\\$
+
\begin{example}
−
\underline{מסקנה מהמשפט הקודם:} בכל מרחב שלם, סדרה מתכנסת אם ורק אם היא סדרת קושי.
+
$\mathbb{Q} $ לא שלם, כיוון שאם ניקח את
 +
$$ 3,3.1,3.14,3.141,3.1415,3.14159,\cdots \to \pi\not\in\mathbb{Q} $$
 +
זוהי סדרה שמתכנסת ב- $\mathbb{R}$ ולכן, מהמשפט הקודם, היא סדרת קושי. אבל היא סדרת קושי שמורכבת מאיברים רציונאליים ולא מתכנסת למספר רציונאלי, ולכן קבוצת המספרים הרציונאליים לא מהווה מרחב שלם.
 +
\end{example}
  
−
\underline{הוכחה:} מימין לשמאל זה נכון באופן כללי מהמשפט הקודם (סדרה מתכנסת היא תמיד סדרת קושי) ומשמאל לימין נובע מההגדרה של מרחב שלם, שדורש שכל סדרת קושי תתכנס למשהו בתוכו, ובפרט תתכנס.
+
\begin{cor}
 +
בכל מרחב שלם, סדרה מתכנסת אם ורק אם היא סדרת קושי.
 +
\end{cor}
  
−
$\\$
+
\begin{proof}
−
\underline{משפט: $ \mathbb{R} $ שלם}
+
מימין לשמאל זה נכון באופן כללי מהמשפט הקודם (סדרה מתכנסת היא תמיד סדרת קושי) ומשמאל לימין נובע מההגדרה של מרחב שלם, שדורש שכל סדרת קושי תתכנס למשהו בתוכו, ובפרט תתכנס.
 +
\end{proof}
  
−
\underline{הוכחה:} נניח $\{x_n\}_{n=1}^\infty $ סדרת קושי, אזי לכל אפסילון חיובי $\exists_N \forall_{n,m>N} |x_n-x_m|<\epsilon $ ואז $x_m-\epsilon<x_n<x_m+\epsilon $ וזה נכון לכל $n>N$ ולכן $x_m-\epsilon \leq l_{N+1} \leq L_{N+1} \leq x_m+\epsilon $ . מהעברת אגפים מקבלים ש- $ 0\leq L_{N+1}-l_{N+1}\leq 2\epsilon $ . אם ניקח לכן סדרת אפסילונים ששואפת ל-0 ובהתאם אליהם ניקח את ה- $N$ים המתאימים וממשפט הסנדוויץ' נקבל שהגבול העליון והתחתון שווים, ואז לפי משפט הסדרה מתכנסת אליהם.
+
\begin{thm}
 +
$\mathbb{R}$ שלם
 +
\end{thm}
  
−
$\\\\$
+
\begin{proof}
−
דוגמה: נסתכל על $x_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n} $. נראה כי המרחק בין איברים עוקבים בסדרה הולך ושואף ל-0: $x_{n+1}-x_n=\frac{1}{n+1}\to 0 $ , אף על פי כן, הסדרה לא תתכנס. כל סדרה מתכנסת היא סדרת קושי, ולכן אם נראה שהסדרה הזאת לא סדרת קושי, אז בהכרח היא לא מתכנסת. אכן, נראה כי $ x_{2n}-x_n=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots + \frac{1}{2n} \geq \frac{1}{2n}+\frac{1}{2n}+\cdots +\frac{1}{2n}=\frac{n}{2n}=\frac{1}{2} $, כלומר אין מקום בו משם והלאה המרחק בין כל 2 איברים קטן מחצי, ולכן זו לא סדרת קושי.
+
נניח $\{x_n\}_{n=1}^\infty $ סדרת קושי, אזי לכל אפסילון חיובי
 +
$$\exists_N \forall_{n,m>N} |x_n-x_m|<\epsilon $$ ואז $x_m-\epsilon<x_n<x_m+\epsilon $ וזה נכון לכל $n>N$ ולכן
 +
$$x_m-\epsilon \leq l_{N+1} \leq L_{N+1} \leq x_m+\epsilon $$
 +
מהעברת אגפים מקבלים ש- $ 0\leq L_{N+1}-l_{N+1}\leq 2\epsilon $ . אם ניקח לכן סדרת אפסילונים ששואפת ל-0 ובהתאם אליהם ניקח את ה- $N$ים המתאימים וממשפט הסנדוויץ' נקבל שהגבול העליון והתחתון שווים, ואז לפי משפט הסדרה מתכנסת אליהם.  
 +
\end{proof}
  
−
מסקנה: הטור ההרמוני, שמוגדר להיות $ \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} $ שווה לאינסוף.
+
\begin{example}
 +
נסתכל על
 +
$$x_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n} $$
 +
נראה כי המרחק בין איברים עוקבים בסדרה הולך ושואף ל-$0$: $x_{n+1}-x_n=\frac{1}{n+1}\to 0 $ , אף על פי כן, הסדרה לא תתכנס. כל סדרה מתכנסת היא סדרת קושי, ולכן אם נראה שהסדרה הזאת לא סדרת קושי, אז בהכרח היא לא מתכנסת. אכן, נראה כי
 +
$$ x_{2n}-x_n=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots + \frac{1}{2n} \geq \frac{1}{2n}+\frac{1}{2n}+\cdots +\frac{1}{2n}=\frac{n}{2n}=\frac{1}{2} $$
 +
כלומר אין מקום בו משם והלאה המרחק בין כל 2 איברים קטן מחצי, ולכן זו לא סדרת קושי.
 +
\end{example}
  
 +
\begin{cor}
 +
הטור ההרמוני, שמוגדר להיות $ \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} $ שווה לאינסוף.
 +
\end{cor}
 
הסבר: הסדרה הזאת היא מונוטונית עולה ולכן מתכנסת ל- $\sup x_n$ אבל אם זה היה מספר ממשי היינו מקבלים סדרה מונוטונית עולה וחסומה מלעיל ולכן מתכנסת, בסתירה למה שהרגע הוכחנו. לכן בהכרח $\sup x_n = \infty $ ולשם הסדרה שואפת.
 
הסבר: הסדרה הזאת היא מונוטונית עולה ולכן מתכנסת ל- $\sup x_n$ אבל אם זה היה מספר ממשי היינו מקבלים סדרה מונוטונית עולה וחסומה מלעיל ולכן מתכנסת, בסתירה למה שהרגע הוכחנו. לכן בהכרח $\sup x_n = \infty $ ולשם הסדרה שואפת.

גרסה מ־19:15, 3 בספטמבר 2014

\begin{definition} אומרים שסדרה $\{x_n\}_{n=1}^\infty $ היא סדרת קושי $(\text{Cauchy}\ \text{sequence})$ אם מתקיים התנאי: $$\forall_{\epsilon>0}\exists_N \forall_{n,m>N} : |x_n - x_m| <\epsilon $$

כלומר המרחק בין איברי הסדרה קטן באופן כזה שמאיזהשהו מקום בסדרה והלאה, מרחק בין 2 איברים (שיכולים להיות במקומות רחוקים כרצוננו אחד מהשני בסדרה) יהיה קטן כרצוננו. \end{definition}

\begin{thm} בכל תת קבוצה $A\subseteq \mathbb{R} $, אם סדרה שמורכבת מאיברי הקבוצה מתכנסת אז היא סדרת קושי (בפרט זה נכון לכל סדרה ב- $\mathbb{R} $ ). \end{thm}

\begin{proof} יהי אפסילון גדול מ-0, אזי $\exists_N \forall_{n>N} |x_n-L|<\frac{\epsilon}{2} $. לכן מתקיים:

$\forall_{n,m>N}: |x_n-x_m|=|(x_n-L)+(L-x_m)|\leq |x_n-L| + |L-x_m| <\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon $

\end{proof}

\begin{definition} $A\subseteq \mathbb{R} $ נקרא "שלם" אם כל סדרת קושי המורכבת מאיבריו מתכנסת לאיבר בתוכו. \end{definition}

\begin{example} $\mathbb{Q} $ לא שלם, כיוון שאם ניקח את $$ 3,3.1,3.14,3.141,3.1415,3.14159,\cdots \to \pi\not\in\mathbb{Q} $$ זוהי סדרה שמתכנסת ב- $\mathbb{R}$ ולכן, מהמשפט הקודם, היא סדרת קושי. אבל היא סדרת קושי שמורכבת מאיברים רציונאליים ולא מתכנסת למספר רציונאלי, ולכן קבוצת המספרים הרציונאליים לא מהווה מרחב שלם. \end{example}

\begin{cor} בכל מרחב שלם, סדרה מתכנסת אם ורק אם היא סדרת קושי. \end{cor}

\begin{proof} מימין לשמאל זה נכון באופן כללי מהמשפט הקודם (סדרה מתכנסת היא תמיד סדרת קושי) ומשמאל לימין נובע מההגדרה של מרחב שלם, שדורש שכל סדרת קושי תתכנס למשהו בתוכו, ובפרט תתכנס. \end{proof}

\begin{thm} $\mathbb{R}$ שלם \end{thm}

\begin{proof} נניח $\{x_n\}_{n=1}^\infty $ סדרת קושי, אזי לכל אפסילון חיובי $$\exists_N \forall_{n,m>N} |x_n-x_m|<\epsilon $$ ואז $x_m-\epsilon<x_n<x_m+\epsilon $ וזה נכון לכל $n>N$ ולכן $$x_m-\epsilon \leq l_{N+1} \leq L_{N+1} \leq x_m+\epsilon $$ מהעברת אגפים מקבלים ש- $ 0\leq L_{N+1}-l_{N+1}\leq 2\epsilon $ . אם ניקח לכן סדרת אפסילונים ששואפת ל-0 ובהתאם אליהם ניקח את ה- $N$ים המתאימים וממשפט הסנדוויץ' נקבל שהגבול העליון והתחתון שווים, ואז לפי משפט הסדרה מתכנסת אליהם. \end{proof}

\begin{example} נסתכל על $$x_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n} $$ נראה כי המרחק בין איברים עוקבים בסדרה הולך ושואף ל-$0$: $x_{n+1}-x_n=\frac{1}{n+1}\to 0 $ , אף על פי כן, הסדרה לא תתכנס. כל סדרה מתכנסת היא סדרת קושי, ולכן אם נראה שהסדרה הזאת לא סדרת קושי, אז בהכרח היא לא מתכנסת. אכן, נראה כי $$ x_{2n}-x_n=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots + \frac{1}{2n} \geq \frac{1}{2n}+\frac{1}{2n}+\cdots +\frac{1}{2n}=\frac{n}{2n}=\frac{1}{2} $$ כלומר אין מקום בו משם והלאה המרחק בין כל 2 איברים קטן מחצי, ולכן זו לא סדרת קושי. \end{example}

\begin{cor} הטור ההרמוני, שמוגדר להיות $ \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} $ שווה לאינסוף. \end{cor} הסבר: הסדרה הזאת היא מונוטונית עולה ולכן מתכנסת ל- $\sup x_n$ אבל אם זה היה מספר ממשי היינו מקבלים סדרה מונוטונית עולה וחסומה מלעיל ולכן מתכנסת, בסתירה למה שהרגע הוכחנו. לכן בהכרח $\sup x_n = \infty $ ולשם הסדרה שואפת.

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=קוד:סדרות_קושי&oldid=56558