הבדלים בין גרסאות בדף "קוד:ערך מוחלט ואי שיוויונים"
Ofekgillon10 (שיחה | תרומות) (יצירת דף עם התוכן "\begin{definition} באופן אינטואיטיבי, הערך המוחלט של מספר ממשי הוא המרחק שלו מ-$0$. לדוגמא: $|7|=|-7|=7$\\...") |
Ofekgillon10 (שיחה | תרומות) |
||
| שורה 2: | שורה 2: | ||
באופן אינטואיטיבי, הערך המוחלט של מספר ממשי הוא המרחק שלו מ-$0$. לדוגמא: $|7|=|-7|=7$\\ | באופן אינטואיטיבי, הערך המוחלט של מספר ממשי הוא המרחק שלו מ-$0$. לדוגמא: $|7|=|-7|=7$\\ | ||
ההגדרה המדוייקת של הערך המוחלט היא: | ההגדרה המדוייקת של הערך המוחלט היא: | ||
| − | |||
$$|x|=\begin{cases}x & x\geq 0 \\ -x & x<0\end{cases}=\sqrt{x^2}$$ | $$|x|=\begin{cases}x & x\geq 0 \\ -x & x<0\end{cases}=\sqrt{x^2}$$ | ||
| − | |||
\end{definition} | \end{definition} | ||
| − | |||
| − | + | \begin{remark}[תכונות בסיסיות של ערך מוחלט] | |
| + | $\\$ | ||
| + | \begin{enumerate} | ||
| + | \item $\forall x : |x|=|-x|$ | ||
| + | \item $\forall x : |x|\geq 0 $ | ||
| + | \item $x=0 \Leftrightarrow |x|=0$ | ||
| + | \item $\forall x,y: |x\cdot y| = |x|\cdot |y|$ | ||
| + | \item $\forall x: x\leq |x|$ | ||
| + | \end{enumerate} | ||
| + | \end{remark} | ||
| + | \begin{remark} | ||
| + | המרחק בין $x$ ל-$y$ הוא $|x-y|$. נשים לב שזה כמובן כמו המרחק בין $y$ ל-$x$, שלפי ההגדרה הזו הוא $|y-x| $. | ||
| + | \end{remark} | ||
| + | \begin{thm}[אי שיוויון המשולש] | ||
| + | $$\forall x,y: |x+y|\leq |x|+|y| , ||x|-|y||\leq |x-y|$$ | ||
| + | \end{thm} | ||
| − | $ | + | \begin{remark}[תכונות בסיסיות של אי שיוויונים] |
| − | + | $\\$ | |
| − | + | \begin{enumerate} | |
| − | + | \item $ x\leq y \Leftrightarrow -x\geq -y $ | |
| − | $ | + | \item נניח $0\leq x,y$ אזי $x\leq y$ אם ורק אם $ x^2\leq y^2 $ |
| − | + | \item נניח $0< x,y$ אזי $x\leq y$ אם ורק אם $\frac{1}{x} \geq \frac{1}{y}$ | |
| − | + | \end{enumerate} | |
| − | + | ||
| − | $ | + | |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | $ | + | |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | $ | + | |
| − | + | ||
| + | \end{remark} | ||
| + | \begin{remark}[ערך מוחלט ואי שיוויונים] | ||
נניח $L\geq 0$ אזי | נניח $L\geq 0$ אזי | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | + | \begin{enumerate} | |
| + | \item $|x|\leq L \Leftrightarrow -L<x<L$ | ||
| + | \item $|x|\geq L \Leftrightarrow x\geq L \text{ or } x\leq -L $ | ||
| + | \end{enumerate} | ||
| + | \end{remark} | ||
גרסה מ־21:55, 17 בספטמבר 2014
\begin{definition} באופן אינטואיטיבי, הערך המוחלט של מספר ממשי הוא המרחק שלו מ-$0$. לדוגמא: $|7|=|-7|=7$\\ ההגדרה המדוייקת של הערך המוחלט היא: $$|x|=\begin{cases}x & x\geq 0 \\ -x & x<0\end{cases}=\sqrt{x^2}$$ \end{definition}
\begin{remark}[תכונות בסיסיות של ערך מוחלט] $\\$ \begin{enumerate} \item $\forall x : |x|=|-x|$ \item $\forall x : |x|\geq 0 $ \item $x=0 \Leftrightarrow |x|=0$ \item $\forall x,y: |x\cdot y| = |x|\cdot |y|$ \item $\forall x: x\leq |x|$ \end{enumerate} \end{remark}
\begin{remark} המרחק בין $x$ ל-$y$ הוא $|x-y|$. נשים לב שזה כמובן כמו המרחק בין $y$ ל-$x$, שלפי ההגדרה הזו הוא $|y-x| $. \end{remark}
\begin{thm}[אי שיוויון המשולש] $$\forall x,y: |x+y|\leq |x|+|y| , ||x|-|y||\leq |x-y|$$ \end{thm}
\begin{remark}[תכונות בסיסיות של אי שיוויונים] $\\$ \begin{enumerate} \item $ x\leq y \Leftrightarrow -x\geq -y $ \item נניח $0\leq x,y$ אזי $x\leq y$ אם ורק אם $ x^2\leq y^2 $ \item נניח $0< x,y$ אזי $x\leq y$ אם ורק אם $\frac{1}{x} \geq \frac{1}{y}$ \end{enumerate}
\end{remark}
\begin{remark}[ערך מוחלט ואי שיוויונים] נניח $L\geq 0$ אזי
\begin{enumerate} \item $|x|\leq L \Leftrightarrow -L<x<L$ \item $|x|\geq L \Leftrightarrow x\geq L \text{ or } x\leq -L $ \end{enumerate} \end{remark}
