קוד:ערך מוחלט ואי שיוויונים

\begin{definition} באופן אינטואיטיבי, הערך המוחלט של מספר ממשי הוא המרחק שלו מ-$0$. לדוגמא: $|7|=|-7|=7$\\ ההגדרה המדוייקת של הערך המוחלט היא:

$$|x|=\begin{cases}x & x\geq 0 \\ -x & x<0\end{cases}=\sqrt{x^2}$$

\end{definition} \subsection{תכונות הערך המוחלט}

לכל x מתקיים $|x|\geq 0$

$|x|=0$ אם ורק אם $x=0$

$|x\cdot y| = |x|\cdot |y|$

$x\leq |x|$

אי שיוויון המשולש: $|x+y|\leq |x|+|y|$

$||x|-|y||\leq |x-y|$

$|x-y|$ הוא המרחק בין x לבין y

נניח $L\geq 0$ אזי $|x|\leq L$ אם ורק אם $-L\leq x\leq L$ $|x|\geq L$ אם ורק אם $x\geq L$ או $x\leq -L$

\subsection{תכונות של אי שיוויונים}

$x\leq y$ אם ורק אם $-x\geq -y$

נניח $0\leq x,y$ אזי $x\leq y$ אם ורק אם $x^2\leq y^2$

נניח $0< x,y$ אזי $x\leq y$ אם ורק אם $\frac{1}{x} \geq \frac{1}{y}$