<latex2pdf>
<tex>קוד:ראש</tex>
\begin{definition}
נגדיר את $\operatorname{exp}(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} $ ונראה כי מוגדר היטב לכל $x\in\mathbb{R} $ משום שלפי מבחן השורש של קושי $\lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{|\frac{x^n}{n!}|}=|x|\cdot \lim_{n\to \infty} \frac{1}{\sqrt[n]{n!}} = 0 < 1 $ ומכאן שמתכנס.
\end{definition}
\begin{theorem}
$\lim_{t\to 0} \frac{\ln(1+t)}{t} = 1 $
\end{theorem}
<tex>קוד\begin{proof}\lim_{t\to 0} \frac{\ln(1+t)}{t} = \{x=\ln(1+t)\}=\lim_{x\to 0} \frac{x}{e^x - 1} = 1 $\end{proof} מסקנה:זנב</tex></latex2pdf>$\ln(1+t)=t+o(t),t\to 0 $ \begin{theorem}$e^x,\ln(x) $ רציפות\end{theorem} \begin{proof}מספיק להוכיח ל- $e^x $ ואז מהמשפט שהוכחנו היום גם $\ln (x) $ בתור פונקציה הופכית לפונקציה רציפה תהיה גם רציפה. $\lim_{x\to x_0} e^{x-x_0} = \{y=x-x_0\} = \lim_{y\to 0} e^y = 1 \Rightarrow \lim_{x\to x_0} \frac{e^x}{e^{x_0}}=1 \Rightarrow \lim_{x\to x_0} e^x = e^{x_0} $ ומכאן ש- $e^x $ רציפה.\end{proof}