\end{definition}
\begin{theoremthm}\begin{enumerate}\item \operatorname{exp}(x)\cdot \operatorname{exp}(y)=\operatorname{exp}(x+y)
\operatorname{exp}(x)\cdot \operatorname{exp}(y)=\operatorname{exp}(x+y) item \operatorname{exp}(-x)=\frac{1}{\operatorname{exp}(x)}\end{enumerate}\end{theoremthm}
\begin{proof}
\begin{enumerate}
\item
הטור מתכנס בהחלט ולכן אפשר להשתמש בכפל טורים:
$$\operatorname{exp}(x)\cdot \operatorname{exp}(y)=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} \cdot \sum_{m=0}^\infty \frac{y^m}{m!} = \sum_{N=0}^\infty \sum_{n+m=N} \frac{x^n}{n!} \frac{y^m}{m!} = $$$$\sum_{N=0}^\infty \frac{1}{N!} \sum_{n+m=N} \frac{N! x^n y^m}{n!m!} = \sum_{N=0}^\infty \frac{1}{N!} (x+y)^N = \operatorname{exp}(x+y) $$\item$$1=\operatorname{exp}(0)=\operatorname{exp}(x-x)=\operatorname{exp}(x)\cdot \operatorname{exp}(-x) \Rightarrow \operatorname{exp}(-x)=\frac{1}{\operatorname{exp}(x)} $$\end{enumerate}
\end{proof}
מכל האמור לעיל נסיק ש- $\operatorname{exp}(x)= a^x $ כאשר $a=\operatorname{exp}(1) $ אבל הוכחנו בעבר ש- $\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}= e $ ומכאן ש- $\operatorname{exp}(x)=e^x $ . נסיק מכך ש- $e^x>1 $ עבור $x>0 $ ו- $e^x<1 $ עבור $x<0 $
\begin{theoremthm}
$\operatorname{exp}(x) $ מונוטונית עולה ממש
\end{theoremthm}
\begin{proof}
$$x<y \Rightarrow y-x>0 \Rightarrow \operatorname{exp}(y-x)=\frac{\operatorname{exp}(y)}{\operatorname{exp}(x)}>1 \Rightarrow \operatorname{exp}(y)>\operatorname{exp}(x) $$
\end{proof}
\begin{theoremthm}
$\lim_{x\to 0} \frac{e^x-1}{x} = 1 $
\end{theoremthm}
\begin{proof}
נשים לב ש- $e^x=1+x+o(x) , x\to 0 $ ולכן לפי הגדרה $$\lim_{x\to 0} \frac{e^x-1}{x}=\lim_{x\to 0} \frac{1+x+o(x)_{x\to 0}-1}{x} = 1+\lim_{x\to 0} \frac{o(x)_{x\to 0}}{x} = 1+0=1 $$
\end{proof}
\end{definition}
\begin{theoremthm}
$\lim_{t\to 0} \frac{\ln(1+t)}{t} = 1 $
\end{theoremthm}
\begin{proof}
$$ \lim_{t\to 0} \frac{\ln(1+t)}{t} = \{x=\ln(1+t)\}=\lim_{x\to 0} \frac{x}{e^x - 1} = 1 $$
\end{proof}
מסקנה:\begin{cor}
$\ln(1+t)=t+o(t),t\to 0 $
\end{cor}
\begin{theoremthm}
$e^x,\ln(x) $ רציפות
\end{theoremthm}
\begin{proof}
מספיק להוכיח ל- $e^x $ ואז מהמשפט שהוכחנו היום גם $\ln (x) $ בתור פונקציה הופכית לפונקציה רציפה תהיה גם רציפה.
$$\lim_{x\to x_0} e^{x-x_0} = \{y=x-x_0\} = \lim_{y\to 0} e^y = 1 \Rightarrow $$$$\lim_{x\to x_0} \frac{e^x}{e^{x_0}}=1 \Rightarrow \lim_{x\to x_0} e^x = e^{x_0} $ $ומכאן ש- $e^x $ רציפה.
\end{proof}
\end{definition}
\begin{theoremthm}
$\sin(x),\cos(x) $ רציפות.
\end{theoremthm}
\begin{proof}
$$|\sin x - \sin x_0| = \left |2\sin \frac{x-x_0}{2}\cos\frac{x+x_0}{2}\right | \leq 2\left |\sin \frac{x-x_0}{2}\right |\leq 2\frac{|x-x_0|}{2}=|x-x_0| $ $ולכן $\lim_{x\to x_0} \sin x = \sin x_0 $ . עבור קוסינוס באופן דומה
\end{proof}