קוד:פעולות עם נגזרות

\begin{thm} נניח $f,g:(a,b)\to \mathbb{R} $ גזירות ב- $x_0 $ אזי הפונקציות הבאות גזירות ומתקיים:

1. $(\alpha f + \beta g)'(x_0) = \alpha f'(x_0) + \beta g'(x_0) $ עבור $\alpha,\beta $ קבועים.

2. $(fg)'(x_0) = f'(x_0) g(x_0) + f(x_0)g'(x_0) $ (זה נקרא כלל לייבניץ)

3. במידה ו- $g(x_0)\neq 0 $ אז מוגדרת הנגזרת $(\frac{1}{g(x)})'(x_0) $ והיא שווה ל- $-\frac{g'(x_0)}{(g(x_0))^2} $

4. במידה ו- $g(x_0)\neq 0 $ אז מוגדרת הנגזרת $(\frac{f(x)}{g(x)})'(x_0) $ והיא שווה ל- $\frac{f'(x_0)g(x_0)-f(x_0)g'(x_0)}{(g(x_0))^2} $

\end{thm}

\begin{proof} 1. $\lim_{x\to x_0} \frac{\alpha f(x) + \beta g(x) - \alpha f(x_0)-\beta g(x_0)}{x-x_0} = \alpha \lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} + \beta \lim_{x\to x_0} \frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0} = \alpha f'(x_0)+\beta g'(x_0) $

2.$ f(x_0+t)\cdot g(x_0+t)=(f(x_0)+f'(x_0) t + o(t))(g(x_0)+g'(x_0) t + o(t))=f(x_0)g(x_0)+(f'(x_0)g(x_0)+f(x_0)g'(x_0))t+o(t) $ וממה שראינו על הדיפרנציאל, $(fg)'(x_0)=f'(x_0)g(x_0)+f(x_0)g'(x_0) $

3. $\frac{\frac{1}{g(x)}-\frac{1}{g(x_0)}}{x-x_0}=\frac{1}{g(x_0)g(x)} \frac{g(x_0)-g(x)}{(x-x_0)}\underset{x\to x_0}{\longrightarrow} \frac{1}{(g(x_0))^2} \cdot -g'(x_0) $

4. $(\frac{f}{g})'(x_0)=(f\cdot \frac{1}{g})'(x_0) = f'(x_0) \frac{1}{g(x_0)} -f(x_0) \frac{g'(x_0)}{(g(x_0))^2} = \frac{f'(x_0)g(x_0)-f(x_0)g'(x_0)}{(g(x_0))^2} $ \end{proof}

\begin{thm} $(x^n)'=nx^{n-1}$ \end{thm}

\begin{proof} באינדוקציה, ראינו שעבור $n=1$ זהו קו ישר שהנגזרת שלו היא $1=1\cdot x^0 $. כעת נניח שזה נכון עבור $n$ ונוכיח עבור $n+1$ :

$(x^n)'=(x\cdot x^{n-1})' = 1\cdot x^{n-1} + x\cdot (n-1)x^{n-2} = x^{n-1} + (n-1) x^{n-1} = nx^{n-1} $ \end{proof}