קוד:קיבוץ איברים בטור

אנחנו רגילים מחיי היום יום שחוק הקיבוץ עובד לחיבור: $(a+b)+c=a+(b+c) $ . האם זה ככה בטורים?

נסתכל על $$1-1+1-1+1-1+\cdots=(1-1)+(1-1)+(1-1)+\cdots=0+0+0+\cdots = 0 $$ אפשר גם להגיד ש- $$1-1+1-1+1-1+1-\cdots=1-(1-1)-(1-1)-(1-1)-\cdots=1-0-0-0-\cdots=1 $$ לסיכום, אי אפשר באופן כללי, אבל מתי כן?

\begin{thm} אם טור מתכנס, אפשר להשתמש בחוק הקיבוץ. יותר פורמלית, אם נגדיר $n_k$ סדרה מונוטונית עולה של טבעיים אז הטור $(a_1+a_2+\cdots+a_{n_1})+(a_{n_1+1}+\cdots a_{n_2})+\cdots = \sum_{k=1}^\infty (\sum_{p=n_{k-1}+1}^{n_k} a_p) $ מתכנס לאותו מספר כמו הטור המקורי. \end{thm}

\begin{proof} לשם ההוכחה נסמן את הסס"ח של הטור המקורי בתור $A_n$ והסס"ח של הטור "החדש" בתור $\tilde{A_n} $. סדרת הסכומים החלקיים במקרה הזה תהיה פשוט $$\tilde{A_m} = \sum_{p=1}^{n_m} a_p = A_{n_m} $$ וכיוון ש- $A_{n_m} \to S$ בתור תת סדרה של $A_n $ שמתכנסת אז גם $A_m \to S $ . \end{proof}

\underline{תרגיל בית:} יהי הטור $\sum a_n $ ונתון ש- $a_n\to 0 $ וגם ש- $\exists C : \forall k : |n_{k+1} -n_k | <C $ אז אם הסס"ח$\tilde{A_n} $ מתכנסת אז גם $A_n$ מתכנסת. בעצם התרגיל הוא על טור שאיבריו שואפים ל-0 והקיבוץ לא "רחב כרצוננו" אז אם הטור החדש מתכנס גם הטור המקורי.