<latex2pdf>
<tex>קוד:ראש</tex>
עד כה הגדרנו רציפות באופן נקודתי ואמרנו שפונקציה רציפה בקטע אם היא רציפה בכל נקודה בקטע בנפרד.
\begin{definition}
פונקציה f נקראת רציפה במידה שווה (רציפה במ"ש) בקטע A אם:
*לכל $$\forall \epsilon varepsilon>0$ קיים $\exists \delta>0$ כך שלכל זוג נקודות $\forall x_1,x_2\in A$ המקיימות $: |x_1-x_2|<\delta$ מתקיים $\Rightarrow |f(x_1)-f(x_2)|<\epsilonvarepsilon$$
שימו לב כי ברציפות רגילה בקטע A, לכל נקודה בקטע ההתאמה של הדלתא לאפסילון עשוייה להיות שונה. כאשר הפונקציה רציפה במ"ש, לכל אפסילון יש דלתא המתאים לכל הקטע A.
הערה: ברור שאם פונקציה רציפה במ"ש על קטע A, היא גם רציפה במ"ש על כל קטע המוכל ב-A.
\end{definition}
\begin{example}
נבחן את הפונקציה $f(x)=x$, ונוכיח כי היא רציפה במ"ש על כל ציר הממשיים. \\
אכן, לכל אפסילון ניקח דלתא שווה לאפסילון ונקבל כי $|f(x_1)-f(x_2)|=|x_1-x_2|<\delta=\epsilon$
\end{example}
בדוגמא הבאה נלמד כי פונקציה מסויימת עשוייה להיות רציפה במ"ש בקטע מסויים אך לא רציפה במ"ש בקטע אחר. כפי שנראה בהמשך, כל פונקציה הרציפה על קטע סופי וסגור רציפה בו במ"ש, ואילו ישנן פונקציות רציפות שאינן רציפות במ"ש על כל ציר הממשיים.
ראשית, נביט ב $f(x)=x^2$ על הקטע הסופי $(a,b)$. יהי אפסילון גדול מאפס, אזי:
$|f(x_1)-f(x_2)|=|x_1^2-x_2^2|=|(x_1-x_2)(x_1+x_2)|\leq |x_1-x_2|\cdot 2max(|a|,|b|)$
כעת, אם ניקח $\delta = \frac{\epsilon}{2max(|a|,|b|)}$ נקבל את הדרוש.
\begin{example}
לפעמים פונקציה מסויימת עשוייה להיות רציפה במ"ש בקטע מסויים אך לא רציפה במ"ש בקטע אחר.
ראשית, נביט ב $ f(x)=x^2 $ על הקטע הסופי $(a,b)$. יהי $\varepsilon>0$, אזי:
$$|f(x_1)-f(x_2)|=|x_1^2-x_2^2|=|(x_1-x_2)(x_1+x_2)|\leq |x_1-x_2|\cdot 2\max\{|a|,|b|\}$$
כעת, אם ניקח $\delta = \frac{\epsilon}{2\max\{|a|,|b|\}}$ נקבל שהפונקציה רבמ"ש בתחום.\\
עכשיו, נבחן את אותה הפונקציה $f(x)=x^2$ על כל הממשיים, ונוכיח כי היא אינה רציפה שם במ"ש.
ניקח $\epsilon=1$. צריך להוכיח כי לכל $\delta>0$ קיים זוג מספרים ממשיים המקיימים $|x_1-x_2|<\delta$ וגם $|f(x_1)-f(x_2)|\geq 1$. \\
ניקח $x_2=x_1+\frac{\delta}{2}$ ונראה כי אם נבחר את $x_1$ להיות גדול מספיק, נקבל את הדרוש. ברור כי $|x_1-x_2|=\frac{\delta}{2}<\delta$
$$|f(x_1)-f(x_2)|=|x_1^2-x_2^2|=|(x_1-x_2)(x_1+x_2)|=\frac{\delta}{2}|2x_1+\frac{\delta}{2}|$$
ברור שאם נגדיל את $x_1$ מספיק נקבל את הדרוש.
\beginend{example}
\begin{thm}
\begin{proof}
יהי $x_0 \in A $ , נרצה להראות ש- $f$ רציפה בו. כלומר $$\forall \varepsilon>0 \exists \delta \forall x : |x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon $ . $אבל ידוע מהנתון שלכל אפסילון קיים דלתא כך שהתנאי נכון לכל $x_1,x_2 $ שמרחקם זה מזה קטן מ- $\delta $ , בפרט ל- $x,x_0 $ .
\end{proof}
נגדיר $\delta = \min\{\delta_1, \delta_2 \} $ . יהיו $x_1,x_2 $ כך ש- $|x_1-x_2|<\delta $ . נראה כי
$$|\alpha f(x_1)+\beta g(x_1)-(\alpha f(x_2)+\beta g(x_2))|\leq |\alpha| \cdot |f(x_1)-f(x_2)| + |\beta| \cdot |g(x_1)-g(x_2)| < $$ $$|\alpha| \frac{\varepsilon}{2|\alpha|} + \beta \frac{\varepsilon}{2|\beta|} = \varepsilon $$
\end{proof}
\begin{proof}
נניח הקטע הסופי הוא מהצורה בשלילה ש- $(af$ לא חסומה מלעיל,b) ועבור חסומה מלרע ההוכחה דומה. מההנחה מתקיים$ $\forall n\in \mathbb{N} \exists x_n : x_n >n$$נניח בה"כ שהמרחק בין איברי $x_n$ גדול או שווה ל-1, משום שאם זה לא המצב אפשר לקחת תת סדרה שתקיים את זה.כיוון ש- $x_n$ סדרה חסומה (עבור קטעים סופיים אחרים יותר קלמוכלת בקטע סופי)יש לה תת סדרה מתכנסת $y_k=x_{n_k} $ . ידוע שכעת נסתכל על הסדרה $y_k$ ועל הסדרה $y_{k+1} $ , כיוון שהסדרות מתכנסות לאותו דבר, $|y_{k+1}- y_k |\to 0 $אבל מצד שני $|f(y_{k+1})-f(y_k)|\geq 1 $ , ולכן הפונקציה לא רבמ"ש על הקטע אזי .
$$\exists \delta \forall x_1,x_2 : |x_1-x_2|\leq \delta \Rightarrow |f(x_1)-f(x_2)|<1 $$
נקבע $x_0\in (a,b) $ ונסתכל על הסדרה $b_n=x_0+\delta n \to \infty $ ומכאן שלכל $x>x_0 $ קיים $N_x $ כך ש- $x<b_{N_x} $ ואז מתקיים ש-
$$|f(x)-f(x_0)|=|f(x)-f(b_{N_x -1})+f(b_{N_x -1})-\cdots -f(x_0)| =\leq$$
$$|f(x)-f(b_{N_x -1})|+|f(b_{N_x -1})-f(b_{N_x -2})| +\cdots + |f(b_1)-f(x_0)| <1+1+\cdots 1 \leq N_x$$
אבל $N_x \not \to \infty $ כש- $x\to b $, ומכאן שבכל אופן יש איזה $N_b $ מקסימלי ומתקיים ש- $\forall x>x_0 : |f(x)-f(x_0)|<N_b $ . באופן דומה $\forall x<x_0 : |f(x)-f(x_0)|<N_a $
לכן הפונקציה חסומה מלעיל ע"י $f(x_0)+N_a+N_b $ ומלרע ע"י $f(x_0)-N_a-N_b $
\end{proof}
בעתיד, כשנלמד על נגזרות נראה שיש עוד דרך להוכיח רציפות במ"ש.
<tex>קוד:זנב</tex>
</latex2pdf>