הבדלים בין גרסאות בדף "קוד:שקילות בין הגדרות הגבול של קושי והיינה"
מ (2 גרסאות יובאו) |
Ofekgillon10 (שיחה | תרומות) |
||
| שורה 1: | שורה 1: | ||
| − | + | \begin{thm} | |
| + | הגדרות הגבול של קושי והיינה שקולות.\\ | ||
| + | במילים אחרות, $\lim_{x\to a} f(x)=L $ לפי קושי אם ורק אם $\lim_{x\to a} f(x)=L $ לפי היינה | ||
| + | \end{thm} | ||
\begin{proof} | \begin{proof} | ||
| שורה 5: | שורה 8: | ||
$\boxed{\Leftarrow}$ | $\boxed{\Leftarrow}$ | ||
| − | תהי סדרה לא טריוויאלית ששואפת ל-$a$, נרצה להוכיח ש- $f(x_n)\to L $ . יהי אפסילון גדול מ-0, לפי הגדרת הגבול של קושי | + | תהי $x_n$ סדרה לא טריוויאלית ששואפת ל-$a$, נרצה להוכיח ש- $f(x_n)\to L $ .\\ |
| − | + | יהי אפסילון גדול מ-$0$, לפי הגדרת הגבול של קושי קיים $\delta>0 $\\ | |
| − | $x_n \to a \Rightarrow \exists N \forall n>N : |x_n-a|<\delta $ ולכן אם ניקח את ה-$N$ הזה יתקיים ש- $\forall n>N : |f(x_n)-L|<\ | + | כך שלכל $x$ ש- $0<|x-a|<\delta $ מתקיים ש- $|f(x)-L|<\varepsilon $ . נחזור לסדרה: |
| + | $$x_n \to a \Rightarrow \exists N \forall n>N : |x_n-a|<\delta $$ | ||
| + | ולכן אם ניקח את ה-$N$ הזה יתקיים ש- $\forall n>N : |f(x_n)-L|<\varepsilon $. | ||
$\boxed{\Rightarrow}$ | $\boxed{\Rightarrow}$ | ||
| − | נניח בשלילה ש-$L$ לא גבול לפי קושי. אזי $\exists \varepsilon >0 \forall \delta>0 \exists x : |x-a|<\delta \land |f(x)-L| | + | נניח בשלילה ש-$L$ לא גבול לפי קושי למרות שהוא גבול לפי היינה. אזי |
| + | $$\exists \varepsilon >0 \forall \delta>0 \exists x : |x-a|<\delta \land |f(x)-L|\geq \varepsilon $$ | ||
| + | זה נכון \textbf{לכל} דלתא, אז ניקח סדרת דלתות $\delta_n=\frac{1}{n} $ ומהשורה הקודמת לכל דלתא קיים $x_n$ שמקיים | ||
| + | $$ |x_n-a|<\delta \land |f(x_n)-L|\geq \varepsilon $$ | ||
| + | ואז מתקיים ש- $x_n\to a $ אבל $f(x_n)\not\to L $ | ||
\end{proof} | \end{proof} | ||
גרסה אחרונה מ־13:04, 15 באוקטובר 2014
\begin{thm} הגדרות הגבול של קושי והיינה שקולות.\\ במילים אחרות, $\lim_{x\to a} f(x)=L $ לפי קושי אם ורק אם $\lim_{x\to a} f(x)=L $ לפי היינה \end{thm}
\begin{proof}
$\boxed{\Leftarrow}$
תהי $x_n$ סדרה לא טריוויאלית ששואפת ל-$a$, נרצה להוכיח ש- $f(x_n)\to L $ .\\ יהי אפסילון גדול מ-$0$, לפי הגדרת הגבול של קושי קיים $\delta>0 $\\ כך שלכל $x$ ש- $0<|x-a|<\delta $ מתקיים ש- $|f(x)-L|<\varepsilon $ . נחזור לסדרה: $$x_n \to a \Rightarrow \exists N \forall n>N : |x_n-a|<\delta $$ ולכן אם ניקח את ה-$N$ הזה יתקיים ש- $\forall n>N : |f(x_n)-L|<\varepsilon $.
$\boxed{\Rightarrow}$
נניח בשלילה ש-$L$ לא גבול לפי קושי למרות שהוא גבול לפי היינה. אזי $$\exists \varepsilon >0 \forall \delta>0 \exists x : |x-a|<\delta \land |f(x)-L|\geq \varepsilon $$ זה נכון \textbf{לכל} דלתא, אז ניקח סדרת דלתות $\delta_n=\frac{1}{n} $ ומהשורה הקודמת לכל דלתא קיים $x_n$ שמקיים $$ |x_n-a|<\delta \land |f(x_n)-L|\geq \varepsilon $$ ואז מתקיים ש- $x_n\to a $ אבל $f(x_n)\not\to L $
\end{proof}
