קשר בין לכסינות לבין הפולינום המינימלי

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

משפט

A לכסינה \iff הפולינום המינימלי שלה הוא מהצורה m_A(t)=(t-\lambda_1)\cdots(t-\lambda_k) עבור \lambda_1,...,\lambda_k הע"ע השונים של A

הוכחה

\Leftarrow

A לכסינה ולכן קיים בסיס של ו"ע של A נקרא לו B=\{v_1,...v_n\}. ברור שהפולינום המינימלי של A חייב להכיל את הגורמים האי פריקים t-\lambda_i לכל הע"ע של A. לכן אם הפולינום p(t)=(t-\lambda_1)\cdots(t-\lambda_k) מקיים p(A)=0 אזי הוא הפולינום המינימלי (בוודאי אין פולינום קטן ממנו...)


אנו יודעים שעבור כל v_i קיים \lambda_j כך שAv_i=\lambda_j v_i. מה הערך של (A-\lambda_r)v_i עבור r\neq j?

(A-\lambda_r)v_i = \lambda_j v_i - \lambda_r v_i = (\lambda_j - \lambda_r)v_i


הבה נסתכל ב p(A)v_i:

p(A)v_i=(A-\lambda_1I)\cdots(A-\lambda_jI)\cdots(A-\lambda_kI)v_i=(A-\lambda_1I)\cdots(A-\lambda_jI)(\lambda_j-\lambda_{j+1})\cdots(\lambda_j-\lambda_k)v_i=

=(\lambda_j-\lambda_{j+1})\cdots(\lambda_j-\lambda_k)(A-\lambda_1I)\cdots(A-\lambda_jI)v_i


אבל (A-\lambda_jI)v_i=0


ולכן p(A)v_i=0 לכל v_i \in B

B בסיס ולכן כל וקטור v ניתן להצגה כצירוף לינארי של איברי B:

v=\sum_{i=1}^{n}\alpha_iv_i

ולכן p(A)v=p(A)\sum_{i=1}^{n}\alpha_iv_i=\sum_{i=1}^{n}\alpha_ip(A)v_i=0

אם p(A)\neq 0 אז קיימת לה עמודה j שונה מאפס, אזי p(A)e_j\neq 0. אבל ראינו ש \forall v \in V :p(A)v=0 ולכן p(A)=0 ולכן p=m_A.


\Rightarrow

קודם כל הפולינום המינימלי של A מכיל גורמים לינאריים בלבד ולכן כך גם הפולינום המאפיין של A.

n_i כלומר החזקה של הגורם t-\lambda_i בפולינום המינימלי שווה לאחד עבור כל אחד מהע"ע של A. לכן לפי משפט הקיום והיחידות של ז'ורדן הבלוק המקסימלי של כל ע"ע בצורת הז'ורדן של A הוא מגודל אחד. כלומר A לכסינה (כי היא סכום ישר של מטריצות בגודל 1\times1 ).