<math>=dim\{T(u) \mid u \in V\} = dimIm(T) = rank(T)</math>
--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 18:31, 28 באוגוסט 2012 (IDT)
*ההוכחה שראינו בהרצאה (של מיטל):
הניסוח: יהיו V,W מ"ו מעל שדה F.נגדיר E בסיס לV, וכן F בסיס לW, ותהי T מV לW הע"ל. אז מתקיים:rank(T) = rank([T]_{F}^{E})
הוכחה: נסמן {v1,...vk} בסיס עבור (ker(T, וכן {(T(u1),...T(ul}, בסיס עבור (im(T, ולכן המימד של התמונה הוא l. מתקיים: {,u1,...ul,v1,...,vk} בסיס עבור V, נסמנו B (הוכחנו זאת כאשר הוכחנו את משפט הדרגה).
אזי מתקיים:
<math>\left[ T \right] ^{ B }_{ F }\quad =\quad ([T(v_{ n })]_{ F }...[T(v_{ n })]_{ F }[T(u_{ 1 })]_{ F }....[T(u_{ l })]_{ F })\quad =\quad (0...0[T(u_{ 1 })]_{ F }....[T(u_{ l })]_{ F })</math>
(כאשר מדובר במטריצה שעמודותיה הן הוקטורים האלו, כשרשום אפס הכוונה לעמודת אפסים). אבל אמרנו כי {(T(u1),...T(ul} בסיס, וכן F בסיס ולכן l העמודות האחרונות הן בת"ל, ומתקיים <math>r(\left[ T \right] ^{ B }_{ F })=l</math> . נותר להוכיח כי <math>r(\left[ T \right] ^{ B }_{ F })=r(\left[ T \right] ^{ E }_{ F })</math>.
מתקיים:
[http://www.math-wiki.com/images/e/e2/Gif.gif]
כאשר המעבר האחרון מתבצע בגלל המשפט שאומר: אם A הפיכה מתקיים (r(BA)=r(B, ובמקרה שלנו מטריצת המעבר היא הפיכה, ולכן הדרגות שוות.
ובסה"כ נקבל:[[http://www.math-wiki.com/images/9/9b/Gif_%281%29.gif]]
== משפט ההגדרה ==