ב Math Wiki מוצע פתרון לשאלה זו בעזרת האי שיוויון הבא: <math>\frac{(-1)^{n}}{n+11} \le \frac{(-1)^{n}}{n-6sin(n)+5} \le \frac{(-1)^{n}}{n-1}</math>
ומכיוון שגם שני הטורים <math>\sum \frac{(-1)^{n}}{n+11} , \sum \frac{(-1)^{n}}{n-1}</math> מתכנסים לפי לייבניץ, אז נקבל שהטור המבוקש מתכנס בתנאי. --[[משתמש:Edan|Edan]] ([[שיחת משתמש:Edan|שיחה]]) 10:49, 9 בדצמבר 2015 (UTC)
:אני לא חושב שההצעה האחרונה נכונה. אני לא מכיר טענה כזו. הבנתי שראיתם פתרון לפני הבוחן. בכל מקרה אני מוסיף הצעה להתחלה של פתרון באדיבותו של המתרגל אחיה בר-און. תכפילו את המונה והמכנה ב"צמוד" <math>n+6sin(n)+5</math> נסו לפרק את האיבר הכללי של הטור שהתקבל לסכום של שני איברים. טור אחד יתכנס לפי לייבניץ (יתכן שתצטרכו לחקור פונקציה מתאימה כדי לבדוק שהסדרה מונוטונית יורדת ממקום מסוים וטור שני יתכנס לפי מבחן דיריכלה שימו לב שהטור <math>\sum(-1)^nsin(n)\</math>חסום. --[[משתמש:מני ש.|מני]] ([[שיחת משתמש:מני ש.|שיחה]]) 18:42, 10 בפברואר 2016 (UTC)
:: אני קצת לא קשור לקורס אבל: 1) מני עשה את כל החישובים (אני סך הכל זרקתי הערה קטנה..) 2) הטענה כי <math>\frac{(-1)^{n}}{n+11} \leq \frac{(-1)^{n}}{n-6sin(n)+5}</math> דורשת הסבר שהרי מתקיים באופן פשוט (עבור n מספיק גדול) כי <math>\frac{1}{n+11} \le \frac{1}{n-6sin(n)+5}</math> ואם מוסיפים החלפת סימון <math>(-1)^n</math> נראה שהיחס בין <math>\frac{(-1)^{n}}{n+11} , \frac{(-1)^{n}}{n-6sin(n)+5}</math> אמור להחלף בהתאם לסימן [[משתמש:אחיה בר-און|אחיה בר-און]] ([[שיחת משתמש:אחיה בר-און|שיחה]])
::מסתבר שהטור השני שאמרתי לגביו שהוא מתכנס לפי דיריכלה (מה שנכון) מתכנס למעשה בהחלט (ולכן גם מתכנס) פשוט לפי מבחן השוואה ראשון והעובדה שפונקצית סינוס חסומה. בקיצור אין צורך במבחן דיריכלה בשאלה הזו.--[[משתמש:מני ש.|מני]] ([[שיחת משתמש:מני ש.|שיחה]]) 12:21, 16 בפברואר 2016 (UTC)
== התכנסות טור ==
''אמת ויציב שהפיתוח הטרינרי איננו יחיד. אתם יכולים להניח שאנו לוקחים את הפיתוח המירבי המקסימלי (כלומר זה האינסופי מבין אלו שהצעת) עבור כל מספר שהצגתו בבסיס טרינרי איננה יחידה.''--[[משתמש:Nir568|ניר]] ([[שיחת משתמש:Nir568|שיחה]]) 15:52, 9 בינואר 2016 (UTC)
== שאלה 1 תרגיל 10 סעיף א' ==
''3. בהתאם להקשר בלבד. לדוגמה: בנושא הרציפות, אם תראה שעבור נקודת הצטברות <math>x\in\text{Dom}(f)</math> כלשהי, כל תת סדרה <math>\text{Dom}(f)\ni x_n\to x</math> מקיימת <math>f(x_n)\to f(x)</math> אז זו הוכחה לרציפות בנקודה זו. ''--[[משתמש:Nir568|ניר]] ([[שיחת משתמש:Nir568|שיחה]]) 16:04, 9 בינואר 2016 (UTC)
== שאלה 2 תרגיל 11 סעיף ב ==
סעיף זה מבקש ממני להראות שהנגזרת שחישבתי בסעיף א' בתחום (1,1-) אינה חסומה.
לדעתי, הנגזרת שקיבלתי היא אכן חסומה. האם יש טעות? אם יש צורך, אומר מהי הנגזרת.
''בראש ובראשונה יש לבדוק אם גזרת נכונה (טעות חישוב כידוע לעולם חוזרת). לאחר מכן, שים לב שאתה נדרש לחסימות '''בכל''' נקודה בקטע. האם זהו המצב?''--[[משתמש:Nir568|ניר]] ([[שיחת משתמש:Nir568|שיחה]]) 17:06, 13 בינואר 2016 (UTC)
קיבלתי שהנגזרת היא ----. להזכירכם, הפונקציה המקורית שאנו צריכים לגזור היא <math>(x^2)\cdot \sin(1/x)</math> עבור x שאינו אפס ובאפס ערכה הוא אפס.
בקטע הנתון כל מרכיבי הנגזרת: ---- הם חסומים ולכן הפונקציה חסומה ב - x שאינו אפס ובאפס היא מוגדרת ולכן גם חסומה. הרי, לפי ויקיפדיה ההגדרה של פונקציה חסומה היא ש:
<math>\exists M\in\mathbb{R},\forall x\in(-1,1) : |f(x)|\le M</math>
''המנע ממתן רמזים שיתכן והם מטעים בעמוד שו"ת זה. לגופו של עניין, אני מציע שתבחן מחדש את החישוב של חסימות בכל נקודה. אולי יעזור לקחת גבול?''--[[משתמש:Nir568|ניר]] ([[שיחת משתמש:Nir568|שיחה]]) 18:58, 13 בינואר 2016 (UTC)
להבנתי, חסימות היא תכונה של '''קטע''' ואינה קשורה ישירות '''לגבול''', אלא לערך עצמו של הפונקציה בנקודות שעל הקטע. לכן, לא הבנתי מדוע בדיוק זה יעזור.
''יש עניין כללי שצריך כאן לעמוד עליו והוא הקשר בין חסימות וגבול (בין אם של סדרה,פונקציות או בסמסטר הבא שילוב של שניהם). התבונן לדוגמה ב<math>h(x)=\tan(x)</math>. חשב את הגבול שלה ב-0. לאחר מכן בדוק מה זה אומר מהגדרת הגבול.''--[[משתמש:Nir568|ניר]] ([[שיחת משתמש:Nir568|שיחה]]) 05:25, 14 בינואר 2016 (UTC)
אני ממש מתנצל אבל עשינו טעות הקלדה בשאלה הזאת. הכוונה הייתה לפונקציה
<math>x^2 \sin(\frac{1}{x^2})</math>
תיקנתי את זה.--[[משתמש:איתמר|איתמר]] ([[שיחת משתמש:איתמר|שיחה]]) 15:41, 14 בינואר 2016 (UTC)
== המבחנים באתר של בועז צבאן: מס' 7 שאלה 6 (סמסטר א 17.1.1984) ==
בשאלה זו נמצא הנתון <math>f(c^{-})<f(c^{+})</math>. לא הבנתי מה משמעות נתון זה.
כמו כן, לא הצלחתי לקרוא מה עליי להוכיח בתרגיל זה.
קישור למבחנים הוא [http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Infi/InfiExamsBIU.pdf כאן]
''זה סימון <math>f(a^+)=\lim_{x\to a^+} f(x),f(a^-)=\lim_{x\to a^-}f(x)</math>. אתה צריך להוכיח שהתמונה היא לא קטע יחיד.''--[[משתמש:Nir568|ניר]] ([[שיחת משתמש:Nir568|שיחה]]) 18:10, 18 בינואר 2016 (UTC)
תודה על התשובה הזריזה, רק שאלה אחת נוספת - תמונה באיזה קטע? האם מדובר בקטע [a,b] כולו?
''כן. עליך להראות כי <math>f([a,b])</math> איננו קטע.''--[[משתמש:Nir568|ניר]] ([[שיחת משתמש:Nir568|שיחה]]) 19:48, 18 בינואר 2016 (UTC)
''שכחתי לציין פרט מאוד מעניין: התכונה של "תמונה של כל תת קטע של המקור היא תת קטע בתחום" נקראת לפעמים '''תכונת קושי'''. ניתן להעזר בתכונת קושי בצירוף עם תכונה נוספת עליה לא דיברנו בקורס (סגירות התמונה ההפוכה של כל נקודון) כדי להוכיח גרסה פרטית של משפט חשוב באנליזה בשם '''משפט הגרף הסגור''', שאומר שפונקציה היא רציפה אם ורק אם הגרף שלה סגור ולא ניתן לחלק אותו לשתי תתי קבוצות סגורות לא טריוויאליות. ''--[[משתמש:Nir568|ניר]] ([[שיחת משתמש:Nir568|שיחה]]) 03:15, 19 בינואר 2016 (UTC)
== שאלה ממבחן לדוגמה תשע"ב הורוביץ ==
הוכח/הפרך: אם <math>f(x)</math> מוגדרת ובעלת נגזרת שנייה חסומה בקטע <math>I</math> אז <math>f</math> רציפה במ"ש ב<math>I</math>.
האם אפשר לבחור את <math>f(x)=x^2</math> ואת <math>I</math> להיות כל הממשיים? או שעליי לבחור קטע שלא מעורב בו אינסוף?
מצטער שאני עונה מאוחר. ניר, לא הבנתי מה כתבת. הדוגמא שהסטודנט הביא היא הפרכה טובה. גם כל הישר הממשי הוא קטע.--[[משתמש:איתמר|איתמר]] ([[שיחת משתמש:איתמר|שיחה]]) 08:25, 11 בפברואר 2016 (UTC)
מה שניר ציין (ומחק) זה שהטענה נכונה עבור קטע סופי ולהוכיח את זה יכול להיות תרגיל טוב לקראת המבחן.--[[משתמש:איתמר|איתמר]] ([[שיחת משתמש:איתמר|שיחה]]) 08:04, 14 בפברואר 2016 (UTC)
== תיקון טעות משיעור חזרה ==
במבחן שפתרנו (תשע"ה מועד ב) בשאלה 5 ב הנחתי הנחה שלא קיימת ולא צריך אותה. ההנחה שהנחתי היא ש <math>\lim_{x\to 0+}f'(x)</math> קיים. כאמור אין צורך להניח זאת ומספיק להניח מה שרשום בשאלה- שהנגזרת הימנית באפס קיימת. נניח שהנגזרת האחרונה הזו שווה ל- <math>L</math> מזה ומכך ש
<math>f(0)=0</math> נקבל <math>\lim_{x\to 0+}\frac{f(x)}{x}=L</math>.
מכאן,
<math>\lim_{x\to 0+}f(x)ln(x)=\lim_{x\to 0+}\frac{f(x)}{x}\cdot \lim_{x\to 0+}xln(x)= L\cdot 0=0 </math>. השוויון <math>\lim_{x\to 0+}xln(x)= 0</math> הוא לפי לופיטל. --[[משתמש:מני ש.|מני]] ([[שיחת משתמש:מני ש.|שיחה]]) 09:13, 11 בפברואר 2016 (UTC)
== השלמה לשיעור חזרה ==
אני משלים כאן את השאלה שלא הצלחנו לסיים לפתור בשיעור חזרה.
השאלה הייתה האם הפונקציה
<math>x^4 \sin (\frac{1}{x^2})</math>
רציפה במ"ש בכל <math>\mathbb{R}</math>
(אחרי שמתקנים את אי הרציפות הסליקה ב <math>0</math>.)
הפתרון שעשינו היה כמעט מלא והיה חסר רק שלב אחד בסוף.
זיהינו שזה בעצם
<math>x^2 \frac{\sin(\frac{1}{x^2})}{\frac{1}{x^2}}</math> ולפי זה ניחשנו שאין רציפות במ"ש. לצורך הפרכה השתמשנו באותן סדרות שמפריכות את <math>x^2</math>
נגדיר
<math>a_n=\sqrt{n+1},\quad b_n=\sqrt{n}</math>
כידוע <math>a_n-b_n</math> מתכנס ל <math>0</math> (כפל בצמוד) עכשיו נראה ש <math>f(a_n)-f(b_n)</math> לא מתכנס ל <math>0</math>.
נציב ונחשב
<math>(n+1)\frac{\sin{\frac{1}{n+1}}}{\frac{1}{n+1}}-(n)\frac{\sin{\frac{1}{n}}}{\frac{1}{n}}</math>
<math>=n(\frac{\sin{\frac{1}{n+1}}}{\frac{1}{n+1}}-\frac{\sin{\frac{1}{n}}}{\frac{1}{n}})+\frac{\sin{\frac{1}{n+1}}}{\frac{1}{n+1}}</math>
עכשיו נשים לב שהביטוי הימני מתכנס ל <math>1</math> והביטוי השמאלי חיובי (את זה נוכיח עוד מעט) ולכן אין סיכוי שהנ"ל יתכנס ל <math>0</math>.
עכשיו נשאר להוכיח ש
<math>n(\frac{\sin{\frac{1}{n+1}}}{\frac{1}{n+1}}-\frac{\sin{\frac{1}{n}}}{\frac{1}{n}})</math>
חיובי. כדי להוכיח את זה מספיק לוודא ש
<math>\frac{\sin(x)}{x}</math>
יורדת מימין ל <math>0</math>.
הנגזרת של הנ"ל היא
<math>\frac{\cos(x)x-\sin(x)}{x^2}</math>
צריך לוודא שהנגזרת שלילית (עבור <math>x</math> -ים גדולים מ0) כלומר ש
<math>\cos(x)x < \sin x</math>
כלומר
<math>x < \tan(x)</math>
את זה קל לוודא כי יש שוויון עבור <math>x=0</math>
והנגזרות הן
<math>1<\frac{1}{\cos^2(x)}</math>
וכך קיבלנו הדרוש.
--[[משתמש:איתמר|איתמר]] ([[שיחת משתמש:איתמר|שיחה]]) 09:32, 15 בפברואר 2016 (UTC)
== התבדרות טור שלא הצלחנו אתמול בשיעור החזרה של ניר ==
אתמול, שאלנו האם הטור <math>\sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^k\cos k}{k\log k}</math> מתכנס בהחלט. ניתן להראות שהטענה לא נכונה באופן הבא:
<math>\sum_{k=1}^\infty\frac{|\cos k|}{k\log k}\ge \sum_{k=1}^\infty\frac{\cos^2 k}{k\log k}=\sum_{k=1}^\infty\frac{0.5+0.5\cos 2k}{k\log k}</math> (המעבר האחרון הוא לפי זהויות טריגונומטריות). כעת ניתן לפצל זאת לשני טורים, האחד שיתבדר לפי מבחן העיבוי ולעומת זאת <math>\sum\frac{\cos 2k}{k\log k}</math> מתכנס לפי מבחן דיריכלה והטור אכן לא יתכנס בהחלט. --[[משתמש:Nir568|ניר]] ([[שיחת משתמש:Nir568|שיחה]]) 08:42, 17 בפברואר 2016 (UTC)
== אפשר בבקשה את קובץ של הטופס המקורי ללא התשובות שלכם? ==
*בשביל חבר שלומד באוניברסיטה אחרת*
* כן. אני אעלה היום/מחר.--[[משתמש:איתמר|איתמר]] ([[שיחת משתמש:איתמר|שיחה]]) 19:32, 27 בפברואר 2016 (UTC)