גרסה מ־19:18, 18 בנובמבר 2010

הוסף שאלה חדשה (רשום כותרת לשאלה, רשום את תוכן השאלה ולחץ על שמירה למטה מימין לסיום).

-עזרה על עיצוב הטקסט וכתיב מתמטי תוכלו למצוא כאן

אם אתם רוצים לשאול שאלה עליכם ליצור חשבון משתמש באתר.

ארכיון

שאלות

שאלה 1 תרגיל 6

האם שאלה 1 תרגיל 6 הכוונה למתבדר/מתכנס במובן הרחב או במובן הצר?

תשובה

במובן הצר. כלומר מתכנס = מתכנס לגבול ממשי ומתבדר = לא מתכנס לגבול ממשי. --ארז שיינר 16:52, 16 בנובמבר 2010 (IST)

טור מתבדר

אם טור מתבדר אז אפשר להגיד ש0.5 טור גם מתבדר??

תשובה

יש משפט שאומר שאם $\sum a_n$ מתכנס אז גם $\sum 2\cdot a_n$ מתכנס. תסיק לבד --ארז שיינר 22:57, 16 בנובמבר 2010 (IST)

שאלה כללית

בכדי להראות שאפסילון גדול 1\שורש n אפשר להישתמש בארכימדס ואם כן אז איך בדיוק?

תשובה

לא רוצים להראות שאפסילון גדול מאחד חלק שורש n אלא רוצים להראות שקיים n שמקיים את אי השיוויון הנ"ל. לכן, רוצים n שמקיים את אי השיוויון $n>\frac{1}{\epsilon^2}$ (העלאנו בריבוע ועשינו 'אחד חלקי').

עכשיו $\frac{1}{\epsilon^2}$ מספר ממשי ולכן לפי ארכימדס קיים מספר טבעי גדול ממנו, כפי שרצינו.

עוד שאלה כללית:]

צריך לדעת \ לכתוב בתרגיל [כלשהו] את ההוכחה לכך שהגבול של שורש n של n הוא 1? , או שמספיק לומר "ידוע שהגבול של an="..." הוא 1?

תשובה

אם זה לא התרגיל עצמו לא חייבים לדעת לפתור, אבל ייתכן שיבקשו מכם לפתור את זה. --ארז שיינר 22:31, 17 בנובמבר 2010 (IST)

הבהרת מושגים

לפני כשבוע כתבתי sup{an}, וארז, אמרת שזה סימון לא נכון ושזה לא קיים, אך כך הגדרנו בהרצאה ובתרגול את הסופ' של הקבוצה של איברי an מהאיבר הn.

תשובה

אם יש לכם הגדרה כזו, אז מצויין, תשתמשו בה, כל עוד אתם מבינים שמדובר בעצם על $sup\{a_n,a_{n+1},...\}$ . כל מרצה/מתרגל יכול להשתמש בסימונים שלו, אבל המהות נשארת אחת. --ארז שיינר 22:30, 17 בנובמבר 2010 (IST)

תרגיל 6

האם בטורים קיים משפט הסנדוויץ?

תשובה

לא יודע אם למדנו בכיתה, אבל זה נובע ישירות ממשפט הסנדוויץ של סדרות. אם $\forall n: a_n\leq b_n \leq c_n$ אזי גם $a_1+..+a_n \leq b_1+...+b_n \leq c_1 + ...+ c_n$ ולכן אם $\sum a_n = \sum c_n$ אז סדרות הסכומים החלקיים של הטורים האלה שואפות לאותו מספר. לפי משפט הסנדביץ לסדרות, סדרת הסכומים החלקיים של $\sum b_n$ מתכנסת לאותו מספר גם כן ולפיכך הטור. --ארז שיינר 00:12, 18 בנובמבר 2010 (IST)

גדולללללל

בואנה אדווה כל הכבודדדד! חבר'ה תסתכלו על פתרון של תרגיל 5 יש הוסיפו שמה דרך פתרון נוספת שאדווה חשבה עליה....

שאלה 1 תרגיל 6

האם מותר להשתמש במשפט הבא:"אם טור מתכנס איברו הכללי שואף ל-0 (מופיע בספר של ד. מייזלר)?

תשובה

כן, גם קל להוכיח את זה. --ארז שיינר 14:20, 18 בנובמבר 2010 (IST)

שאלה

האם אחד מהמשפטים הבאים קיים וניתן להשתמש בו ללא הוכחה?

-אם 1 חלקי an שואפת לאפס אז |an| שואף לאינסוף?

-אם 1 חלקי an שואפת לאפס וan סדרה עולה וחיובית אז an שואף לאינסוף?

תודה!

תשובה

1. נכון ומותר להשתמש.

2. נובע מאחד, ואין צורך ב'עולה'

--ארז שיינר 18:11, 18 בנובמבר 2010 (IST)

עוד שאלה

אם אני רוצה להוכיח שסדרה מתכנסת על פי הקריטריון של קושי. האם זה טריוויאלי מספיק להגיד שאפשר להוכיח את הטענה ע"י להראות ש $|a_{n+1}-a_n|</epsilon$ במקום $|a_m-a_n|</epsilon$ ? אם לא, האם אפשר להוכיח את הטענה בקצרה במקום בצורה מלאה עם אינדוקציה?

תשובה

לא רק שזה לא טריוויאלי, זה בכלל לא נכון, כפי שראינו בתרגיל.

אני לא יודע מתי צריך אינדוקציה, אני הראתי דוגמאות ללא אינדוקציה, לכן אני לא יכול לומר שבאופן כללי אפשר לדלג על חלק מהטענה. --ארז שיינר 18:12, 18 בנובמבר 2010 (IST)

זה לא נכון??? הנה הוכחה בקצרה (ללא אינדוקציה)

אם הוכחנו ש $|an+1-an|<e$ . אזי גם $|an+1-an|<e/p$ לכל P טבעי ואז <+|a_{n+1}-a_n|< e/p+...+e/p<e .//math>|a_{n+p}-a_n|<|a_{n+p}-a_{n+p-1}+a_{n+p-1}-...-a_{n+1}+a_{n+1}-a_n|<|a_{n+p}-a_{n+p-1}|+...{</math> (אחד מהמעברים היה אי שוויון המשולש רק לכמה גורמים). יש משהו לא נכון בהוכחה שלי?

עריכה: משהו השתבש מתמטיקה, לא מוצא איך לתקן, מקווה שתבין

כן, יש משהו לא נכון. לכל

\frac{\epsilon}{p}

יש מקום אחר בסדרה שהחל ממנו יתקיים אי השיוויון. בסדרת קושי צריך עבור כל אפסילון מקום קבוע בסדרה כך שהחל ממנו והלאה המרחק בין כל שני זוגות איברים יהיה קטן ממנו. נניח לקחת

\frac{\epsilon}{p}

אז ניקח

a_n,a_{n+p+1}

עבור הזוג הזה אי השיוויון לא יתקיים. --ארז שיינר 18:56, 18 בנובמבר 2010 (IST)

לא הבנתי, למה אי השוויון לא יתקיים? לא הבנתי גם מה לא נכון בהוכחה. כתבת את ההגדרה של סדרת קושי, וגם אני השתמשתי בהגדרה.

אתה מתחיל מאמירה שגוייה: אם הוכחנו ש $|a_{n+1}-a_n|<\epsilon$ . אזי גם $|a_{n+1}-a_n|<\frac{\epsilon}{p}$ לכל P טבעי. הרי בוודאי אי השיוויון השני לא נובע מהראשון. אם תנסח את זה היטב תראה שזה לא עובד, כפי שתארתי (עבור כל p אתה צריך להזיז את המקום בסדרה, שאמור להיות קבוע עבור אפסילון). --ארז שיינר 20:44, 18 בנובמבר 2010 (IST)

בטח שזה כן נכון להגיד את זה על כל P טבעי! לא חייב להיות אותו N שבשבילו לכל n>N זה מתקיים, אבל ברור שזה נכון לכל e/P כי האי שוויון an-am<e צריך להתקיים לכל e. לכן אפשר לשחק אם e ולהגיד עליו מה שרוצים כל עוד משאירים אותו חיובי, אפשר להגיד שזה נכון לשורש אפסילון, חצי אפסילון, אפסילון ועוד אלפיים חלקי מליון. זה כמו שהוכחנו כל מני הוכחות בכיתה שבהם השתמשנו בהוספה והורדה של איבר בתוך הערך המוחלט ואז הפיכתו לשני ערכים מוחלטים בעזרת אי שוויון המשולש, ואז אמרנו שכל אחד מהערכים המוחלטים קטן מe/2 כדי שהסכום שלהם יצור e. אפשר להגיד גם במילים אחרות במקום לכתוב שזה נכון ל e/p זה נכון לe ואז הסכום של הדברים בהוכחה שרשמתי יתן p*e; עכשיו נגדיר e'=pe ואז יוצא שהאי שוויון שלעיל נכון לכל e' שגדול מאפס ולכן הדרוש מוכח. ואם התכוונת שזה לא נכון כי יש בעיה כלשהי עם ה-

N_e

, אז ניקח ואת

N=max{N0,N1,N2,...}

כאשר Ni הוא הN שבשבילו לכל n<N מתקיים

$|a_{n+p-i}-a_{n+p-i-1}|</epsilon$ (לכל אפסילון כמובן) והNi רץ עד שמגיעים לאי שוויון $|a_{n+1}-a_n|</epsilon$ . ולN הזה האי שוויון שרשמתי בטוח נכון.

@@ שורה 106: / שורה 106: @@
 ::::אתה מתחיל מאמירה שגוייה: '''אם הוכחנו ש <math>|a_{n+1}-a_n|<\epsilon</math>. אזי גם <math>|a_{n+1}-a_n|<\frac{\epsilon}{p}</math> לכל P טבעי'''. הרי בוודאי אי השיוויון השני לא נובע מהראשון. אם תנסח את זה '''היטב''' תראה שזה לא עובד, כפי שתארתי (עבור כל p אתה צריך להזיז את המקום בסדרה, שאמור להיות קבוע עבור אפסילון). --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 20:44, 18 בנובמבר 2010 (IST)
 :::::בטח שזה כן נכון להגיד את זה על כל P טבעי! לא חייב להיות אותו N שבשבילו לכל n>N זה מתקיים, אבל ברור שזה נכון לכל e/P כי האי שוויון an-am<e צריך להתקיים '''לכל e'''. לכן אפשר לשחק אם e ולהגיד עליו מה שרוצים כל עוד משאירים אותו חיובי, אפשר להגיד שזה נכון לשורש אפסילון, חצי אפסילון, אפסילון ועוד אלפיים חלקי מליון. זה כמו שהוכחנו כל מני הוכחות בכיתה שבהם השתמשנו בהוספה והורדה של איבר בתוך הערך המוחלט ואז הפיכתו לשני ערכים מוחלטים בעזרת אי שוויון המשולש, ואז אמרנו שכל אחד מהערכים המוחלטים קטן מe/2 כדי שהסכום שלהם יצור e. אפשר להגיד גם במילים אחרות במקום לכתוב שזה נכון ל e/p זה נכון לe ואז הסכום של הדברים בהוכחה שרשמתי יתן p*e; עכשיו נגדיר e'=pe ואז יוצא שהאי שוויון שלעיל נכון לכל e' שגדול מאפס ולכן הדרוש מוכח. ואם התכוונת שזה לא נכון כי יש בעיה כלשהי עם ה-<math>N_e</math>, אז ניקח ואת <math>N=max{N0,N1,N2,...}</math> כאשר Ni הוא הN שבשבילו לכל n<N מתקיים
-<math>|a_{n+p-i}-a_{n+p-i-1}</math> (לכל אפסילון כמובן) והNi רץ עד שמגיעים לאי שוויון
+<math>|a_{n+p-i}-a_{n+p-i-1}|</epsilon</math> (לכל אפסילון כמובן) והNi רץ עד שמגיעים לאי שוויון
-<math>|a_{n+1}-a_n</math>.
+<math>|a_{n+1}-a_n|</epsilon</math>. ולN הזה האי שוויון שרשמתי בטוח נכון.

הבדלים בין גרסאות בדף "שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא"

גרסה מ־19:18, 18 בנובמבר 2010

תוכן עניינים

הוספת שאלה חדשה

ארכיון

שאלות

שאלה 1 תרגיל 6

תשובה

טור מתבדר

תשובה

שאלה כללית

תשובה

עוד שאלה כללית:]

תשובה

הבהרת מושגים

תשובה

תרגיל 6

תשובה

גדולללללל

שאלה 1 תרגיל 6

תשובה

שאלה

תשובה

עוד שאלה

תשובה

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים