שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 8

בקשר לשאלה 4 בתרגיל 6

בשאלה אנו דרושים למצוא סכומים של סדרות. האם אנו צריכים להוכיח קודם כי קיים גבול ורק אחר כך למצוא אותו, או אפשר ישר למצוא אותו? תודה.

תשובה

חובה גם להוכיח שזה מתכנס. אבל אני לא רואה איך אפשר למצוא את הסכום בלי להוכיח שזה מתכנס ממילא... --ארז שיינר 02:44, 25 בנובמבר 2010 (IST)

תרגיל 7

כאשר אני בודקת התכנסות בהחלט האם אפשר להשתמש בכל המבחני השוואה לטורים חיוביים?

תשובה

אם מדובר בטור חיובי, מותר להשתמש במבחני ההשואה לטורים חיוביים, אם לא אז לא. נא לחדד את השאלה. --ארז שיינר 18:31, 23 בנובמבר 2010 (IST)

התכנסות טורים

בניגוד לבסדרות, שבהן למדנו שסכום ומכפלת סדרות מתנכסות מתכנסים, בטורים למדנו רק על סכום.(עריכה) זה אומר שמכפלת טורים מתכנסים לא בהכרח מתכנסת? תודה!

תשובה

אני מניח שאתה שואל לגבי מכפלת טורים. מכפלת סדרות הוא כפל איבר איבר, כלומר $c_n=a_n\cdot b_n$. אם תגדיר באופן דומה מכפלת טורים, ה"מכפלה" לא בהכרח תתכנס, ואם כן, בוודאי לא למכפלת הסכומים. דוגמאות:

• $1=\sum a_n=\sum\frac{1}{2^n}$, אבל $\sum a_n^2 = \sum \frac{1}{2^{2n}} <1 \neq 1\cdot 1$
• $\sum a_n=\sum\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$ מתכנס לפי לייבניץ, אבל אם תכפול אותו בעצמו תקבל את הטור ההרמוני שאינו מתכנס.

הדרך הנכונה לכפול טורים, בדומה למכפלת סכום, צריכה להוסיף מחוברים רבים אחרים. $(a_1+a_2)(b_1+b_2)=a_1b_1+a_2b_2+{\color{red}a_1b_2+a_2b_1}$. יש משפטים בנוגע למכפלת טורים, אני לא יודע אם אתם לומדים אותם. --ארז שיינר 01:27, 25 בנובמבר 2010 (IST)

לא למדנו עוד את לייבניץ אבל הבנתי את התשובה, תודה רבה!

משהו לא מובן לגבי טורים...

בקשר לטורים וסדרת הסכומים החלקיים שלהם- אם הסדרה של הס"חים מתכנסת אז הטור בהכרח מתכנס? או שהסדרה של הס"חים חייבת להתכנס לאפס? כי יש משפט שאומר שאם הטור מתכנס, אז הסדרה של הס"חים מתכנסת לאפס, אני צודק? אז זה אומר שאם יודעים שסדרה של ס"חים מתכנסת אז היא בוודאי מתכנסת? ואם אני יודע שסדרה של ס"חים מתכנסת אבל לא לאפס, זה אומר שהטור מתבדר? תודה

תשובה

תבדיל בין סדרת הסכומים החלקיים, לסדרה של הטור. כלומר, $\sum a_n$ הינו טור, הוא סכום איברי הסדרה $a_n$. סדרת הסכומים החלקיים הינה $S_n=\sum_{i=1}^na_i$.

לפי הגדרה טור מתכנס אם סדרת הסכומים החלקיים שלו $S_n$ מתכנסת, וסכום הטור מוגדר להיות גבול סדרת הסכומים החלקיים. אין הגדרה אחרת להתכנסות טור. סדרת הסכומים החלקיים יכולה להתכנס לכל גבול, ואין לה קשר מיוחד לאפס.

לפי משפט, אם טור מתכנס, הסדרה שלו שואפת לאפס, כלומר $\lim a_n = 0$. אבל, אם הסדרה הזו שואפת לאפס, אין זה אומר בהכרח שהטור מתכנס (לדוגמא - הטור ההרמוני $\sum{1}{n}$). --ארז שיינר 01:31, 25 בנובמבר 2010 (IST)

בדיוק מה שהייתי צריך, תודה רבה.

האם הטענה נכונה? (על התכנסות סדרות)

האם זה נכון להגיד, שאם מכפלה של סדרה לא חסומה(ולא מתכנסת) כפול סדרה מתכנסת, היא מתכנסת, אז הסדרה השנייה מתכנסת לאפס? כלומר: an סדרה לא חסומה, bn סדרה מתכנסת, cn=anbn, אז זה נכון שאם cn מתכנסת אז bn מתכנסת לאפס? (נראה לי שזה נכון אבל אני רוצה להיות בטוח כי הרבה פעמים יש לי טעויות.) תודה!

תשובה

זה נכון. לסדרה שאינה חסומה יש תת סדרה ששואפת לאינסוף. לכן אם b_n שואף למספר ששונה מאפס לc_n תהיה תת סדרה ששואפת לאינסוף (כי מספר קבוע כפול אינסוף נשאר פלוס מינוס אינסוף, חוץ מאשר אפס). --ארז שיינר 19:16, 25 בנובמבר 2010 (IST)

תודה

מציאת סכומים של טורים...

בקשר למציאת הסכום עצמו של טור מתכנס, אני זוכר שלמדנו רק על איך מוצאים סכום של סדרה הנדסית מתכנסת, ואולי מקרים מיוחדים כמו סכום טלסקופי וכו'. האם ישנם עוד דרכים? אולי יש קשר בין הגבול שאליו מתכנסת סדרת הטור לבין סכום הטור? או שיש דרך אחרת למצוא סכום של טור? תודה!

סדרה הנדסית וטור טלסקופי זה נכון. בכלל, כל דבר שאתה יודע לחשב היטב את סדרת הסכומים החלקיים שלו. אם מדובר בתרגיל 6, שים לב שאתה יכול להפריד לשברים. --ארז שיינר 19:04, 25 בנובמבר 2010 (IST)

שאלה 1 א תרגיל 7

אני יודע שהטור an אינו מתכנס בהחלט: כלומר: או שהטור an מתבדר או שהוא מתכנס על תנאי בנסוף אני יודע שan היא סדרה מתכנסת ל 0 אך היא לא מונוטונית יורדת,כלומר מכאן שהטור לא מקיים ת משפט לייבניץ, איך אני מחליט כעת אם הוא מתבדר או מתכנס על תנאי?

תשובה

קודם כל הסדרה כן מונוטונית יורדת לאפס, הרי בודקים את בלי הסימן. אבל אין שם פלוס מינוס לסירוגין כמו לייבניץ, אלא מינוס פעם ב3 איברים. אפשר לחלק את הטור לשניים ולהגיע לתוצאה מעניינת. --ארז שיינר 11:13, 26 בנובמבר 2010 (IST)

המשך

הצלחתי להוכיח שהחיוביים דואפים ל + אינסוף ושהשליליים ל - אינסוף אבל עדיין,איך מכאן אני יכול לדעת אם הסדרה מתכסת התנאי או מתבדר

בשום דרך. תנסה לעשות חלוקה אחרת שכן תעזור לפתור את התרגיל (הרי אי אפשר לדעת מה זה אינסוף ועוד מינוס אינסוף, אבל כן אפשר לדעת אינסוף ועוד אינסוף) --ארז שיינר 13:02, 26 בנובמבר 2010 (IST)

התכנסות זנבות

האם זה נכון להגיד שיש קשר אמ"מ בין התכנסות סדרה לבין התכנסות הזנבות שלה?

זה מה שנובע מהתרגיל, בסופו של דבר. --ארז שיינר 13:03, 26 בנובמבר 2010 (IST)

לא קראתי את השאלה טוב. התכנסות סדרה? בוודאי שלא. הרי לא לכל סדרה מתכנסת הטור מתכנס. --ארז שיינר 13:47, 26 בנובמבר 2010 (IST)

שאלה

האם מותר לי להשתמש במשפט דיריכלה שאותו לא למדנו במסגרת אינפי 1 כדי להוכיח את שאלה 3

אסור להשתמש במשפטים שלא הפיעו בהרצאה או בתרגול. --ארז שיינר 13:48, 26 בנובמבר 2010 (IST)

התכנסות סדרה הנדסית

רוצים לדעת מתי טור סדרה הנדסית מתכנס, ולאיזה סכום. כלומר יהי q כלשהו, רוצים לדעת מהו $\sum_{n=1}^\infty a_n =\sum_{n=1}^\infty q^n$.

למדנו כבר ש$|q|<1\iff\lim_{n\rightarrow\infty}q^n=0$, לכן עבור $|q|\geq 1$ הטור בהכרח מתבדר.

עבור $|q|<1$, נסתכל על סדרת הסכומים החלקיים. $S_n=a_1+...+a_n=q+q^2+...+q^n=q\frac{1-q^n}{1-q}$. אבל סכום הטור מוגדר להיות גבול סדרת הסכומים החלקיים, וגבול הסדרה הזו הינו $\frac{q}{1-q}$ מכיוון שכפי שהזכרנו למעלה, $q^n \rightarrow 0$.

--ארז שיינר 15:48, 26 בנובמבר 2010 (IST)

שאלונת על ln n

הסדרה an=ln n מתכנסת לאינסוף? תודה!

תשובה

כן. יותר מזה, lnx הינה פונקציה מונוטונית כלומר אם a>b אזי גם lna > lnb. זה נכון מכיוון שe^x הינה פונקציה מונוטונית, וln היא ההופכית שלה. --ארז שיינר 17:14, 26 בנובמבר 2010 (IST)

שאלה על סדרות וטורים

עם הסדרה של הטור (לא סדרת הסכומים החלקיים) מתבדרת, אפשר להגיד שהטור מתבדר או שזה לא נכון? תודה!

תשובה

כן, כי יש משפט שאומר שהסדרה של טור מתכנס תמיד שואפת לאפס. אם היא מתבדרת, בפרט, היא אינה שואפת לאפס ולכן זו תהיה סתירה אם הטור יתכנס. --ארז שיינר 17:15, 26 בנובמבר 2010 (IST)

לא - התכוונתי ההפך, כלומר המשפט הוא לא אם ורק אם. הרי טור יכול להתבדר גם אם הסדרה שלו לא שואפת לאפס. אבל יש מקרה אחד שנראה לי שכן אפשר לדעת שהטור מתבדר לפי הסדרה שלו-- אם הסדרה שלו מתבדרת, (בעצם, אם הסדרה שואפת לאינסוף, כי למשל הטור של מינוס אחד בחזקת n מתכנס לאפס) אז הטור מתבדר. זה נכון?

המשפט אומר שאם טור מתכנס אז הסדרה שלו מתכנסת לאפס. התנאי הזה שקול לוגית לתנאי "אם הסדרה של טור מסוים לא מתכנסת לאפס אז הטור מתבדר" (בדוק את זה! באופן כללי, הטענה $a =>b$ שקולה לטענה $not \ b => not \ a$, כפי שהוסבר לנו (התיכוניסטים) בקורס מתמטיקה בדידה (בסמסטר הקיץ האחרון). זהו בעצם העיקרון בו אנו משתמשים בהוכחות בדרך השלילה). לכן אם הסדרה של הטור תתבדר אז וודאי שהיא לא שואפת לאפס ולכן הטור יתבדר. מקווה שעזרתי, גל א.

תודה

שאלה כללית

יכול להיות טור שאף מבחן לא מצליח לבדוק האם הוא מתכנס או מתבדר? כלומר טור שאי אפשר לדעת בכלל האם הוא מתכנס או מתבדר?

תשובה

באופן כללי במתמטיקה, ייתכן שקיים טור שלא יודעים אם הוא מתכנס או לא בכלים הקיימים, זה לא אומר שאי אפשר לדעת בכלל, אלא שעוד לא פתרו את הבעייה הזו.

בשיעורי הבית, כל התרגילים פתירים בדרך זו או אחרת. --ארז שיינר 11:29, 27 בנובמבר 2010 (IST)

אריתמטיקה של גבולות עליונים/תחתונים?

האם קיימת האריתמטיקה בין הגבולות העליונים או התחתונים כמו אריתמטיקה של גבולות? לדוגמה האם מתקיים $limsup an + limsup bn = limsup (an+bn)$? תודה!

תשובה

השאלה לא מזכירה את תרגיל 4 שאלה 5? התשובה היא שלא, זה לא מתקיים תמיד. למשל $b_n=a_n=(-1)^n$ --ארז שיינר 11:33, 27 בנובמבר 2010 (IST)

שאלה קטנה על משהו שאני לא בטוח לגביו..

אם בבדיקת גבול או כל דבר אחר שאני עושה, אני מגיע לביטוי 1 חלקי אפס (או מספר חיובי חלקי אפס). אפשר להגיד בוודאות שזה אינסוף? תודה!

תלוי אם הביטוי במכנה מקבל ממש את הערך אפס (ואז החלוקה לא מוגדרת), או מקבל רק ערכיים שליליים קרובים לאפס (ואז הגבול הוא מינוס אינסוף) או מקבל גם ערכים חיוביים וגם שליליים (ואז הסדרה אפילו לא מתכנסת במובן הרחב, שכן היא קופצת בין פלוס אינסוף למינוס אינסוף) --ארז שיינר 12:04, 27 בנובמבר 2010 (IST)

כתבתי, במונה יש ביטוי חיובי קבוע, ובמכנה יש 0 ממש, 0 עצמו לא ביטוי עם n או משהו כזה. אז זה שווה לאינסוף?

מה פתאום, זה פשוט לא מוגדר. אסור לחלק באפס, לעולם. למדנו את זה באלגברה לינארית, החוק הזה לא השתנה. אין שום משמעות לביטוי חיובי חלקי אפס. במקרה זה פשוט הסדרה אינה מוגדרת, ולכן בוודאי אין לה גבול. אינסוף הוא לא מספר ממשי... --ארז שיינר 13:43, 27 בנובמבר 2010 (IST)

=[

צריך לפרט?

אם $\forall n\in\mathbb N:\ a_{n+1}=a_n$ אז $\forall n\in\mathbb N:\ a_n=a_1$. צריך לכתוב את ההוכחה, או שמספיק לומר "לפי אינדוקציה"? תודה, אור שחף^שיחה 15:52, 27 בנובמבר 2010 (IST)

לא צריך לפרט יותר מזה --ארז שיינר 19:30, 27 בנובמבר 2010 (IST)

תרגיל 6, שאלה 1.ב

שלום אפשר אולי לקבל קצת כיוון? אין לי מושג בכלל אם זה הפרכה או הוכחה... תודה!

(לא מתרגל/ת): הוכחה... אור שחף^שיחה 18:57, 27 בנובמבר 2010 (IST)

מה ההבדל בעצם בין הטור החדש לטור a_n? עד כמה הם רחוקים זה מזה? --ארז שיינר 19:32, 27 בנובמבר 2010 (IST)

אני לא רואה איך להתקדם, אני רואה שהטור החדש קטן מהטר הקודם, אבל מבחן ההשוואה זה הפוך... הכיוון קרוב או שזה משהו אחר לגמרי?

מה יקרה אם תכפול את אחד הטורים בקבוע מסויים? --ארז שיינר 21:35, 27 בנובמבר 2010 (IST)