|
|
| (26 גרסאות ביניים של 7 משתמשים אינן מוצגות) |
| שורה 1: |
שורה 1: |
| {{הוראות דף שיחה}}
| | *[[שיחה:88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/אינטגרלים|שאלות בנושא אינטגרלים]] |
| | | *[[שיחה:88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/כלליות|שאלות כלליות]] |
| =שאלות=
| |
| | |
| == מערך שיעור 1 ==
| |
| | |
| השקעתי מלא, אז בבקשה תפתחו קישור כמו שהיה באינפי למערכי שיעור ותדביקו את זה שם (כולל קרדיט לנמרוד ^_^ )
| |
| | |
| | |
| <big><big>'''חקירת פונקציות:'''</big></big>
| |
| | |
| נתונה פונקציה <math>f(x)</math>. אוספים מידע על f, ובסוף משרטטים את הגרף.
| |
| | |
| תכנית (אפשרית):
| |
| | |
| 1) תחום הגדרה של <math>f(x)</math> ונק' מיוחדות (אי-רציפות/גזירות), זוגית/אי-זוגית.
| |
| | |
| 2) מה קורה ל-<math>f(x)</math> כאשר <math>x \to \pm \infty</math>. (בפרט אם קיים <math>\lim_{x \to \pm \infty }f(x)=a</math>, <math>y=a</math> אסימפטוטה אופקית) אם קיימים <math>a,b</math> קבועים כך ש-<math>\lim_{x \to \pm \infty }[f(x)-(ax+b)]=0</math> אז <math>y=ax+b</math> אסימפטוטה משופעת. | |
| | |
| 3) אם עבור <math>a \in \real</math>: <math>\lim_{x \to a^\pm }f(x)=\infty \, \, or\, (-\infty)</math> אז הישר <math>x=a</math> אסימפטוטה אנכית.
| |
| | |
| 4) מחשבם את <math>f'(x)</math> ואיתה תחומי עליה/ירידה של <math>f</math> ונ' קריטיות.
| |
| | |
| 5) מחשבים <math>f''(x)</math> ואיתה תחומי קעירות/קמירות ונק' פיתול של <math>f</math>.
| |
| | |
| 6) טבלת ערכים הכוללת נק' חשובות:
| |
| | |
| {|class="wikitable"
| |
| |<math>f(x)</math>
| |
| |<math>x</math>
| |
| |-
| |
| |.
| |
| |.
| |
| |-
| |
| |.
| |
| |.
| |
| |-
| |
| |.
| |
| |.
| |
| |}
| |
| | |
| 7) מסרטטים את הגרף.
| |
| | |
| | |
| <big><big>'''אינטגרלים:'''</big></big>
| |
| | |
| <u>הגדרה:</u> תהי <math>f(x)</math> פונקציה המוגדרת בקטע כלשהו <math>I</math>. אומרים שהפונקציה <math>F(x)</math> קדומה ל- <math>f(x)</math> ב-<math>I</math> אם <math>F'(x)=f(x)</math> לכל <math>x \in I</math>.
| |
| | |
| <u>משפט 1:</u> תהי <math>f(x)</math> מוגדרת בקטע I. נניח ש-<math>G(x)</math> וגם <math>H(x)</math> קדומות ל <math>f</math> ב-<math>I</math> כך שלכל <math>x \in I</math>: <math>G(x)-H(x)=C</math>.
| |
| | |
| <u>הוכחה:</u> נגדיר <math>F(x)=G(x)-H(x)</math>, לפי הנתון <math>F'(x)=f(x)-f(x)=0</math> עפ"י אחת התוצאות של משפט לגרנג' <math>F(x)</math> קבועה, ולכן קיימת <math>C \in \real</math> עבורה <math>C=F(x)=G(x)-H(x)</math>.
| |
| | |
| <u>סימון מקובל:</u> אם <math>F(x)</math> קדומה ל-<math>f(x)</math> כותבים: <math>\int f(x)=F(x)+C</math> .
| |
| | |
| {|class="wikitable"
| |
| |<math>A(x)=\int f(t) dt</math> עבור כל <math>x \in [a,b]</math>
| |
| | |
| <u>טענה נועזת:</u> <math>A(x)</math> גזירה ו-<math>A'(x)=f(x)</math>.
| |
| | |
| <u>הוכחה:</u> <math>A'(x)=\lim_{\Delta x \to 0} \frac {A(x+\Delta x)-A(x)}{\Delta x}=f(x)</math> כעת, השטח שמתחת לגרף הוא <math>A(b)</math> (נעיר ש-<math>A(a)=0</math>)
| |
| | |
| כעת, תהי <math>F(x)</math> פונקציה קדומה ל-<math>f(x)</math> בקטע <math>[a,b]</math>. כיוון שכבר הוכחנו ש-<math>A(x)</math> קדומה ל-<math>f(x)</math>,
| |
| | |
| משפט 1 אומר ש- <math>F(x)=A(x)+C</math>. מכאן ש- <math>=\int^b_a f(x) dx</math>השטח<math>F(b)-F(a)=A(b)+C-[A(a)-C]=A(b)=</math>.
| |
| |[[קובץ:Graf.png]]
| |
| |}
| |
| | |
| <u>אינטגרל לא מסויים:</u> אינטגרל בלי גבולות - <math>\int f(x)dx</math> והתוצאה היא לפי פונקציה הקדומה: <math>F(x)+C</math>.
| |
| | |
| <u>טבלה של אינטגרלים בסיסיים:</u>
| |
| | |
| | |
| {|class="wikitable"
| |
| |<math>F(x)</math>
| |
| |<math>f(x)</math>
| |
| |-
| |
| |<math>\frac {(x+a)^{n+1}}{n+1}</math>
| |
| |<math>(x+a)^n \, \, (n \neq -1)</math>
| |
| |-
| |
| |<math>ln(x+a)</math>
| |
| |<math>(x+a)^{-1}</math>
| |
| |-
| |
| |<math>\sin (x+a)</math>
| |
| |<math>\cos (x+a)</math>
| |
| |-
| |
| |<math>-\cos (x+a)</math>
| |
| |<math>\sin (x+a)</math>
| |
| |-
| |
| |<math>e^{x+a}</math>
| |
| |<math>e^{x+a}</math>
| |
| |-
| |
| |<math>\frac{a^x}{\ln a}</math>
| |
| |<math>a^x</math>
| |
| |-
| |
| |<math>\arcsin x</math>
| |
| |<math>\frac {1}{\sqrt{1-x^2}}</math>
| |
| |- | |
| |<math>\arctan x</math>
| |
| |<math>\frac {1}{1+x^2}</math>
| |
| |-
| |
| |<math>\arcsin \frac{x}{a}</math>
| |
| |<math>\frac {1}{\sqrt{a^2-x^2}}</math>
| |
| |-
| |
| |<math>\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}</math>
| |
| |<math>\frac {1}{a^2+x^2}</math>
| |
| |}
| |
