|
|
| שורה 9: |
שורה 9: |
| | # אם אינכם מקבלים כאן תשובה בתוך זמן קצר (הגדירו כרצונכם), אתם מוזמנים לשלוח קישור למרצה. | | # אם אינכם מקבלים כאן תשובה בתוך זמן קצר (הגדירו כרצונכם), אתם מוזמנים לשלוח קישור למרצה. |
| | | | |
| − | ==תרגיל 4 סעיף 2== | + | == ארכיונים == |
| | | | |
| − | לא הבנתי איך להוכיח בהנתן גרעין את ההומומורפיזם של פונקציה
| + | * [[שיחה:88-211 תשעג סמסטר א/תרגילים/ארכיון 1|ארכיון 1]] |
| − | אני מבקש מלואי פולב הסבר .
| + | |
| − | | + | |
| − | תודה מראש יבגני פודוקשיק.
| + | |
| − | | + | |
| − | <n>.owiki>[[משתמש:יבגני פודוקשיק|יבגני פודוקשיק]] 11:11, 24 בנובמבר 2012 (IST)</nowiki
| + | |
| − | | + | |
| − | == תרגיל 1, שאלה 2, סעיף ה ==
| + | |
| − | בשאלה 2 ה יש צורך להוכיח אסוציאטיביות הפרש סימטרי?
| + | |
| − | זה ארוך, מייגע ובאופן כללי לא נושא התרגיל.
| + | |
| − | ::כמובן שאין צורך להוכיח כי ההפרש הסימטרי הינו אסוציאטיבי. כבר הוכחתם את הטענה הזאת בבדידה... --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 18:42, 31 באוקטובר 2012 (IST)
| + | |
| − | | + | |
| − | == שאלה ==
| + | |
| − | | + | |
| − | תרגיל שנתקלתי בו בחוברת של המרצה: תרגיל 1.1.8
| + | |
| − | אם 'f:X→X איזומורפיזם, אז f−1 (הפכי) גם הוא איזומורפיזם.
| + | |
| − | | + | |
| − | ::יש כאן שאלה? או סתם הגיגים?... =)--[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 11:40, 29 באוקטובר 2012 (IST)
| + | |
| − | | + | |
| − | == תרגיל 1, שאלה מס' 3 ==
| + | |
| − | | + | |
| − | האם בתת הסעיף הראשון של א (וגם של סעיף ב' למעשה..) יש משמעות להאם זה מודולו 7 או לא?
| + | |
| − | כי אחרת גם בא' וגם ב-ב' זאת בדיוק אותה תשובה, לא?!
| + | |
| − | ::כן... זה אותו הרעיון... --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 18:43, 31 באוקטובר 2012 (IST)
| + | |
| − | | + | |
| − | ==תרגיל 1 שאלה 5 סעיף ב'==
| + | |
| − | ''בחבורה למחצה <math>S</math> יש 7 יחידות משמאל.''
| + | |
| − | | + | |
| − | רק כדי לוודא, הכוונה היא ל-7 יחידות שונות זו מזו משמאל?
| + | |
| − | ::כן, יש 7 יחידות '''שונות''' משמאל. --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 21:03, 1 בנובמבר 2012 (IST)
| + | |
| − | | + | |
| − | == תרגיל 1, שאלה 3 ==
| + | |
| − | | + | |
| − | האם מותר להסתמך על האסוציטיבות במרוכבים, במקום לבדוק מחדש? אותו דבר לגבי ארבע, תודה.
| + | |
| − | *קודם כל - יפה ששמת לב לקשר עם המרוכבים! =) | + | |
| − | *שנית, אני אענה באופן כללי: ניתן להסתמך של האסוציאטיביות של פעולות ידועות. למשל: הפעולות הבאות הן אסוציאטיביות ואין צורך להוכיח זאת מחדש: הפרש סימטרי, כפל מטריצות, כפל וחיבור ממשי/מרוכב, כפל וחיבור <math>\mod n</math> וכדומה. --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 21:09, 1 בנובמבר 2012 (IST)
| + | |
| − | | + | |
| − | == תרגול כיתה (רגילים)- סתם הערה ==
| + | |
| − | | + | |
| − | בדוגמא הנגדית בשאלה האחרונה אפשר פשוט להגיד שהמטריצה ab שקיבלנו היא בעצם צורת ז'ורדן (עם ע"ע 1) ולכן לא ניתנת ללכסון ושונה מ I לכל n, נכון?! (במקום לתת לנו להוכיח את זה באינדוקציה =) )
| + | |
| − | ::לא בטוח שהבנתי את הטיעון. אני מסכים לכל המשפט :"שהמטריצה ab שקיבלנו היא בעצם צורת ז'ורדן (עם ע"ע 1) ולכן לא ניתנת ללכסון"
| + | |
| − | אבל לא ברור לי איך ממנו מסיקים(זאת אומרת בדרך השונה מאינדוקציה) שהמטריצה בחזקת n אינה I לכל n, על מה בדיוק הסתמכת? --[[משתמש:מני ש.|מני]] 12:03, 8 בנובמבר 2012 (IST)
| + | |
| − | | + | |
| − | ::למעשה, הנה הטענה הכללית יותר: יהי <math>J</math> בלוק ג'ורדן, אזי לכל <math>n\in \mathbb{N}</math> מתקיים <math>J^n \neq I</math>. למעשה, זהו תרגיל נחמד מאוד בליניארית.. נסו להוכיח =) אז אני מסכימה עם מני.. למרות שזה מסתבר להיות נכון, הקפיצה הלוגית שעשית היא לא כל כך טריוויאלית...--[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 21:19, 8 בנובמבר 2012 (IST)
| + | |
| − | | + | |
| − | == תרגיל 2, שאלה 4 ==
| + | |
| − | | + | |
| − | עבור כל אחד מהסעיפים א-ג, האם יש צורך לדעת באיזה פעולת כפל מדובר? (כלומר, חבורה ביחס לאיזה פעולה?)
| + | |
| − | אני מניח שמדובר על פעולת החיבור, לפחות בנוגע לסעיפים א,ב, אחרת היה מצויין כי מדובר בחבורה הכפלית,
| + | |
| − | אבל מה בנוגע לסעיף ג'? יכול להיות שאני פשוט מפספס משהו מבחינת הבנה?
| + | |
| − | ::<math>\mathbb {Z}_n </math> ביחס לכפל אינו חבורה אף פעם. אפילו אם <math>n</math> ראשוני שכן אין הופכי לאפס ביחס לכפל. לכן, יש טעם לדבר רק על החבורה החיבורית. הפעולה של שתי החבורות בשני הסעיפים א וב היא חיבור רכיב רכיב לפי מודולו n המתאים בכל רכיב.
| + | |
| − | לגבי סעיף ג' חבורת אוילר מוגדרת '''תמיד''' כחבורת ההפיכים של המונואיד <math>\mathbb {Z}_n </math> ביחס לכפל.--[[משתמש:מני ש.|מני]] 16:34, 8 בנובמבר 2012 (IST)
| + | |
| − | | + | |
| − | == סילבוס ==
| + | |
| − | | + | |
| − | היי ,
| + | |
| − | איפה ניתן לקבל את הסילבוס של הקורס שיועבר ע"י פרופסור וישנה ? האם החומר יהיה תואם לחומר שנלמד ע"י ד"ר מגרל בקיץ ?
| + | |
| − | ::הסילבוס שווה לשמות הפרקים שבחוברת הקורס (יש קישור לאתר המרצה שם החוברת נמצאת). גרסה מפורטת: שמות הסעיפים פרט לאלו שכתוב עליהם שאפשר לדלג. לכל מרצה יש את הדגשים שלו. לכן, קשה להתחייב שהחומר יהיה תואם לקיץ אם כי פחות או יותר אמורים לכסות חומר דומה. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 10:39, 11 בנובמבר 2012 (IST)
| + | |
| − | | + | |
| − | == תרגיל 2 שאלה 7 סעיף ב' ==
| + | |
| − | אפשר לקבל הסבר (דוגמה שלא קשורה לפתרון התרגיל תעזור גם כן) למה שנדרש?
| + | |
| − |
| + | |
| − | (מישהו אחר)
| + | |
| − | על אותו סעיף, מה פירוש 'שרשרת אינסופית (עולה)'? תודה
| + | |
| − | ::אתם יכולים לחשוב על סדרה של תתי חבורות. כך שהראשונה מוכלת ממש בשניה, השניה מוכלת ממש בשלישית וכו'. יש רמז לגבי התת חבורה הראשונה שאפשר לקחת. תנסו לחשוב אח"כ איך אתם יכולים למצוא תת חבורה של הרציונליים שמכילה ממש את הראשונה שבחרתם (יש יותר מאשר דרך אחת) וכך הלאה. אפשר לכל n טבעי להחליט מיהי התת חבורה בשלב הn שבחרתם ולהראות שהיא מכילה את זאת שנבחרה בשלב הקודם וכך לייצר את אותה שרשרת אינסופית עולה של תתי חבורות. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 19:48, 10 בנובמבר 2012 (IST)
| + | |
| − | | + | |
| − | == תרגיל 2 שאלה6 ==
| + | |
| − | כאשר יוצרים מונויד ציקלי האם צריך לדאוג שהאיבר שיוצר ייצור גם את איבר היחידה? או שהאיבר היחיד מוגד מראש להיות בתוך הקבוצה שהאיבר הנ"ל יוצר?
| + | |
| − | ::הוא יוצר את איבר היחידה בגלל שבדומה למצב בחבורה מגדירים
| + | |
| − | <math>m^0:=1</math> לכל <math>m</math> במונואיד. בחבורה כשדיברנו על יוצר אז דיברנו גם על חזקות שליליות אבל במונואיד לא כל איבר צריך להיות הפיך אז יש טעם לדבר רק על חזקות אי שליליות ובתוכן גם חזקת אפס. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 22:39, 10 בנובמבר 2012 (IST)
| + | |
| − | | + | |
| − | איך מוצאים מונואיד כזה??? אני לא מצליח! רמז? כיוון, משהו?
| + | |
| − | | + | |
| − | ::רמז? אוקיי... בעיקרון, הרי אין בעיה ליצור משהו ציקלי, הבעיה היא איך מונעים מהמבנה הזה להיות חבורה... והפתרון הוא לדאוג לכך שאחד האיברים (היוצר?) לא יהיה הפיך... נסו לקחת מבנה קטן ולשחק עם טבלאות כפל... --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 21:55, 13 בנובמבר 2012 (IST)
| + | |
| − | | + | |
| − | == פתרונות לתרגילים ==
| + | |
| − | | + | |
| − | אשמח אם תוכלו לפרסם פתרונות לתרגילים. תודה(:
| + | |
| − | | + | |
| − | == תרגיל 3 שאלה 3 סעיף א ==
| + | |
| − | האם הכוונה בסעיף זה היא לתת דוגמה לכך שקוסט ימני שונה מקוסט שמאלי לגבי אותו איבר?
| + | |
| − | ::לא זאת כוונת השאלה. קוסטים שמאליים הם מחלקות שקילות וכאשר מגדירים פונקציה על מחלקות שקילות צריך להראות שאין תלות בנציג מהמחלקה שבחרנו כדי שהפונקציה תהיה בכלל מוגדרת היטב (לא שולחת אותו איבר ליותר ממקום אחד). בשאלה הכוונה למצוא דוגמא שבה כן יש תלות כזו. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 19:14, 17 בנובמבר 2012 (IST)
| + | |
| − | | + | |
| − | == תרגיל 3 שאלה 7 סעיף ג' ==
| + | |
| − | האם <math>\phi(0)=0</math>?
| + | |
| − | | + | |
| − | ::<math>\phi(0)</math> אינו מוגדר. עם זאת <math>\phi(1)=1</math>, ובתרגיל המדובר הניחו ש- <math>a>1</math>. --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 19:50, 17 בנובמבר 2012 (IST)
| + | |
| − | | + | |
| − | :: הערך <math>\phi(0)</math> אכן אינו מוגדר, אבל אם היינו רוצים להגדיר אותו, הייתי בוחר בערך 2. נחזור על ההגדרה הכללית עבור n=0: "שקילות מודולו n" היא יחס השוויון, ולכן החבורה <math>\ \mathbb{Z}_n</math> עבור n=0 היא חבורת המספרים השלמים כולה. "חבורת אוילר" היא אוסף האברים ההפיכים בחבורה הזו (ביחס לכפל), כלומר המספרים <math>\ 1,-1</math>, שיש בה 2 אברים. אפילו משפט אוילר מתקיים (עבור n=0): לכל a "זר ל-0" (כלומר שווה ל-<math>\ 1,-1</math>), מתקיים <math>\ a^2 \equiv 1 \pmod{0}</math>. [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] 19:42, 18 בנובמבר 2012 (IST)
| + | |
| − | | + | |
| − | == הוכחה קשה באגודות ==
| + | |
| − | | + | |
| − | במבחן בקיץ הופיעה השאלה הבאה כבונוס:
| + | |
| − | הוכח שאם באגודה <math>S</math> יש לכל <math>a,b \in S</math> פתרונות יחידים <math>x,y \in S</math> למשוואות <math>ax=b, ya=b</math> אז <math>S</math> היא חבורה.
| + | |
| − | | + | |
| − | אפילו להוכיח שיש איבר יחידה לא הצלחתי... נראה שצריך לשחק עם הצבות של a=b. אשמח לעזרה.
| + | |
| − | | + | |
| − | :: (לא מתרגל) הדבר היחיד שאתה צריך להוכיח זה קיום של איבר יחידה (כללי), כי אז הפיכות נובע באופן מיידי. הנתון בעצם אומר שיש צמצמום משמאל ומימין.
| + | |
| − | | + | |
| − | :: לכל a באגודה, נסמן את הפתרון למשוואה <math>a*y=a</math> כ<math>e_{a}</math>.
| + | |
| − | | + | |
| − | :: יהיו a,b כלשהם, אז אפשר להבחין כי מתקיים: <math>(ab)*e_{ab}=ab</math>
| + | |
| − | | + | |
| − | :: ומכאן נובע (לפי הצימצום) כי: <math>b*e_{ab}=b</math>, וזה בעצם אומר <math>e_{ab}=e_{b}</math>.
| + | |
| − | | + | |
| − | :: וזה בעצם מראה שיש איבר יחידה מימין, כי לכל x בS ניתן למצוא y כך שyb=x.
| + | |
| − | | + | |
| − | :: באופן דומה אפשר לעשות משמאל, ולהראות שזה אותו איבר יחידה זה כבר קליל.
| + | |
| − | | + | |
| − | == תרגיל 3, שאלה 4 ==
| + | |
| − | | + | |
| − | שאלה לגבי הניסוח: האם צריך להיות כתוב "הקוסטים השמאליים של H ב-G"? תודה
| + | |
| − | | + | |
| − | ::למעשה, ניתן למצוא בספרות את שני הניסוחים:
| + | |
| − | ::"Left cosets of H in G"
| + | |
| − | ::"Left cosets of G with respect to H"
| + | |
| − | --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 23:58, 19 בנובמבר 2012 (IST)
| + | |
| − | | + | |
| − | == תרגיל 4- שאלה 3(ג) ==
| + | |
| − | | + | |
| − | "הסיקו מסעיף א'" בטוח שהכוונה הייתה לסעיף א'? נראה לי יותר מתאים להסיק מסעיף ב' לא?
| + | |
| − | ::נכון. צריך להסיק מסעיף ב' דווקא. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 13:06, 22 בנובמבר 2012 (IST)
| + | |
| − | | + | |
| − | == תרגיל4, שאלה2(ב) ==
| + | |
| − | | + | |
| − | האם צריך להניח שהסדרים של כל האיברים בחבורות סופי?
| + | |
| − | | + | |
| − | ועוד שאלה, על ג: צריך להראות שמספר היוצרים נשמר? תודה
| + | |
| − | ::גם אם הסדר של <math>a</math> הוא אינסופי אז אמור להתקים ואפשר להוכיח זאת <math>o(a)=o(\varphi(a))=\infty</math> ולכן אין צורך להניח שהסדר סופי.אפשר כמובן לטפל במקרה האינסופי בהתחלה ואז לדון במקרה הסופי.
| + | |
| − | | + | |
| − | לגבי ג: מספר היוצרים לא נשמר בהכרח. אם היה מדובר באיזומורפיזם אז זה היה נכון אך בשאלה אנו מניחים רק אפימורפיזם. יתכן בהחלט ש<math>\varphi(a_1)=\varphi(a_2)</math> כאשר <math>a_1,a_2</math> יוצרים של <math>G</math>. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 11:10, 23 בנובמבר 2012 (IST)
| + | |
| − | | + | |
| − | בסעיף ב לא מספיק להניח מונומורפיזם?
| + | |
| − | בסעיף ג' צריך להראות שהומ' לוקח קבוצת יוצרים של G (חבורה כלשהי) לקבוצת יוצרים שיוצרים את G או את <math>f(G)</math> ?
| + | |
| − | ::לגבי סעיף ב' נכון מספיק אפילו מונומורפיזם. לגבי סעיף ג' פרסמנו כבר תיקון שמדובר באפימורפיזם ולא הומומורפיזם. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 18:05, 24 בנובמבר 2012 (IST)
| + | |
| − | | + | |
| − | == שאלה 5(4) ==
| + | |
| − | | + | |
| − | מה הכוונה בסימון <math>x\mod3</math>? אני מניח שזה השארית אחרי חילוק ב-3(כלומר, 012), אבל אני לא בטוח.
| + | |
| − | תודה.
| + | |
| − | ::אתה צודק. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 18:06, 24 בנובמבר 2012 (IST)
| + | |
| − | | + | |
| − | == שאלה 2 סעיף ג' ==
| + | |
| − | | + | |
| − | האם צריך להוכיח גם עבור המקרה שהחבורות אינן נוצרות סופיות?
| + | |
| − | : לטובת מי שאינו יודע מהי "שאלה 2 סעיף ג'" (למשל: המרצה, וכל מי שילמד את הקורס בעוד שנה ושנתיים), אנא צטט את השאלה. [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] 23:05, 24 בנובמבר 2012 (IST)
| + | |
| − | | + | |
| − | ::שאלה 2, סעיף ג': ''הראו שאפימורפיזם מעביר קבוצת יוצרים לקבוצת יוצרים.''
| + | |
| − | ::: הטענה נכונה גם כשהחבורות אינן נוצרות סופית. תהי G חבורה ותהי S קבוצת יוצרים שלה. יהי <math>\ f : G \rightarrow H</math> אפימורפיזם. צריך להוכיח שתמונת S, כלומר הקבוצה <math>\ f(S) = \{f(x) \,: \, x \in S\}</math>, יוצרת את H. יהי <math>\ h \in H</math>. לפי ההנחה יש <math>\ g\in G</math> כך ש-<math>\ f(g) = h</math>. מכיוון ש-S יוצרת את G, אפשר להציג את g כמכפלה <math>\ g = x_1x_2\cdots x_n</math> עבור <math>\ x_1,\dots,x_n \in S \cup S^{-1}</math> (לא בהכרח שונים זה מזה). כעת <math>\ f(g) = f(x_1)f(x_2) \cdots f(x_n) \in \langle f(S)\rangle</math>, מש"ל. [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] 15:56, 25 בנובמבר 2012 (IST)
| + | |
| − | | + | |
| − | == תרגיל4, שאלה7 ==
| + | |
| − | | + | |
| − | מותר שלא להשתמש בהדרכה? תודה
| + | |
| − | ::כן. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 23:24, 25 בנובמבר 2012 (IST)
| + | |
| − | | + | |
| − | == שאלה- קשורה (או שלא?) איכשהו לתרגיל בית ==
| + | |
| − | | + | |
| − | אם יש לי שתי ת"ח בחבורה מסויימת,
| + | |
| − | יש איזשהו מצב שהאינדקס של החיתוך שלהן הוא בדיוק הכפולה המשותפת המינימלית של האינדקסים של כל אחת מהן בנפרד?או שבכלל אין קשר??
| + | |
| − | | + | |
| − | תודה.
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | יש קשר. למעשה ניתן להראות שבהינתן <math>H,K \leq G</math> אזי <math>[G: H \cap K] \geq lcm([G:H],[G:K])</math>. כמובן שאי אפשר להתשמש בזה בלי להוכיח. הנה תרגיל חביב: מצאו דוגמא שבה השוויון לא מתקיים (אפילו במקרה בו האינדקסים סופיים) --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 17:43, 26 בנובמבר 2012 (IST)
| + | |
| − | | + | |
| − | מממ בכל מקרה שהאינדקס של H ושל K זרים?
| + | |
| − | :: הכונה באי השויון הנ"ל (שהאינדקס של החיתוך בחבורה גדול או שווה ...) היתה תמיד עבור אינדקסים סופיים
| + | |
| − | בלי קשר אם האינדקסים זרים או לא. ישנן דוגמאות נגדיות לכך שאין שוויון אבל זה דווקא כשהאינדקסים אינם זרים ולזה לואי התכוונה.
| + | |
| − | במקרה שהאינדקסים זרים בוודאות לא תהיה דוגמא נגדית. כי אחרת...--[[משתמש:מני ש.|מני]] 18:57, 26 בנובמבר 2012 (IST)
| + | |
| − | | + | |
| − | חחח אז זהו..אחרי שעניתי קלטתי שלא עניתי על השאלה..כנראה שעניתי על ה"כי אחרת..." שלך..;)
| + | |
| − | ::גם ככה מצבך טוב (ביחס לתרגיל בית) :)--[[משתמש:מני ש.|מני]] 22:59, 26 בנובמבר 2012 (IST)
| + | |
| − | | + | |
| − | == תרגיל 4 שאלה 7 ==
| + | |
| − | | + | |
| − | האם ניתן להניח שהחבורות מסדר סופי, על מנת להשתמש במשפט לגראנז'?
| + | |
| − | ::לא. אבל אפשר להיעזר בתרגילים קודמים ובכך שהאינדקסים סופיים.--[[משתמש:מני ש.|מני]] 17:22, 27 בנובמבר 2012 (IST)
| + | |
| − | | + | |
| − | ==תרגיל 5, שאלה ראשונה, סעיף 1 ב' ==
| + | |
| − | משום מה אין לי אפשרות לפתוח כותרת חדשה - לכן אתייחס כאן לתרגיל 5 שאלה ראשונה חלק ראשון סעיף ב': מה הכוונה ב "תת חבורה הנוצרת ע י" המחלקות של"
| + | |
| − | על ידי שתי המחלקות ביחד? ואם כן אז באיזה אופן היא נוצרת על ידן?
| + | |
| − | | + | |
| − | הכוונה לחבורה הנוצרת על ידי שני האיברים הנתונים. הגדרתם בהרצאה חבורה נוצרת על ידי איברים. כאן מדובר בתת חבורה של חבורת המנה. איברי חבורת המנה הם מחלקות שקילות. תת החבורה המדוברת נוצרת על ידי שני איברים, כלומר על ידי שתי מחלקות שקילות. הפעולה בין שני האיברים היא הפעולה של חבורת המנה. --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 22:09, 27 בנובמבר 2012 (IST)
| + | |
| − | | + | |
| − | תודה רבה! זה מאוד הועיל...
| + | |
| − | | + | |
| − | == תרגיל 5 שאלה 2 סעיף א ==
| + | |
| − | | + | |
| − | ''תהי <math>H \leq G</math> הראו ש <math>H \cap Z(G) \subseteq Z(H)</math>, ותנו דוגמה '''שבה הכלה זו אמיתית.'''''
| + | |
| − | | + | |
| − | הכלה אמיתית, פירושה, הכלה ממש?
| + | |
| − | ::כן.--[[משתמש:מני ש.|מני]] 20:24, 29 בנובמבר 2012 (IST)
| + | |
| − | | + | |
| − | == שאלה 4(ב) תרגיל 5 ==
| + | |
| − | | + | |
| − | " מצאו תת חבורה מאינדקס 3 של S4"- הכוונה למצוא תת חבורה בת שמונה איברים?
| + | |
| − | | + | |
| − | כן. --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 20:11, 30 בנובמבר 2012 (IST)
| + | |
| − | | + | |
| − | == תרגיל5, שאלה1 ==
| + | |
| − | | + | |
| − | (2)אני לא מבין את <math>(\mathbb{Q},\cdot)</math> בהקשר זה? לא היה צריך רק <math>\mathbb{Q}</math>?
| + | |
| − | | + | |
| − | (1) האם צריך להראות ש<math>\mathbb{Z}</math> תת-חבורה נורמלית?
| + | |
| − | תודה.
| + | |
| − | ::לגבי 2 אכן יש שם טעות בהקלדה. הנקודה מייצגת את פעולת החבורה (כפל מטריצות)והיתה אמורה להיות מחוץ לסוגריים.
| + | |
| − | | + | |
| − | אין צורך להראות ש<math>\mathbb{Z}</math> היא תת-חבורה נורמלית. זה מיידי מכך ש<math>\mathbb{Q}</math> אבלית וכל תת חבורה שלה היא נורמלית. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 19:18, 1 בדצמבר 2012 (IST)
| + | |
| − | | + | |
| − | == תרגיל5, שאלה1 ==
| + | |
| − | | + | |
| − | האם "אינדקס לא סופי" נחשב תשובה, בניגוד ללומר למשל, <math>\aleph_0</math>? .תודה.
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | ::אם אתם יודעים את העוצמה, תכתבו את העוצמה. --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 17:31, 3 בדצמבר 2012 (IST)
| + | |
| − | | + | |
| − | == תרגיל 6- שאלה 1 ==
| + | |
| − | | + | |
| − | לא הבנתי כל כך מה צריכים לעשות. האם להראות שהמחזורים אינם צמודים ב-A4 זה להראות שהם אינם צמודים עם כל האיברים ב-A4 ?
| + | |
| − | ולהראות שהם צמודים ב-A5 זה להראות עם איבר אחד A5 ?
| + | |
| − | | + | |
| − | ::על מנת להראות ששני איברים אינם צמודים, יש להראות שכל איבר בחבורה לא מצמיד אותם. בפועל, לא באמת צריך לעבור על כל האיברים, אלא אפשר לקצר תוך שימוש בשיקולים מסויימים של הצמדה. כעת, על מנת להראות ששני איברים צמודים, מספיק להראות (וזאת ההגדרה!) שיש איבר אחד ש"מצמיד" אותם. --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 11:54, 5 בדצמבר 2012 (IST)
| + | |
| − | | + | |
| − | רק לראות שהבנתי. להראות שהתמורות צמודות ב- A5 זה למצוא איבר ב-A5 למשל נסמן אותו ב-x כך ש- (x(123)x^-1=(132 ?
| + | |
| − | ::נכון. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 14:12, 6 בדצמבר 2012 (IST)
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | == תרגיל 6 שאלה 3 ==
| + | |
| − | האם לא די להסתפק בכך שהחיתוך של H עם M שווה לחיתוך של H עם N מבלי להשתמש בכך שהם שווים לקב' היחידה?
| + | |
| − | ::כן.--[[משתמש:מני ש.|מני]] 23:26, 11 בדצמבר 2012 (IST)
| + | |
| − | | + | |
| − | == תרגיל 6 שאלה 6 ==
| + | |
| − | | + | |
| − | האם יש קשר למשפט האיזומורפיזם השלישי? אם לא אפשר לקבל רמז?
| + | |
| − | תודה(:
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | ::אני לא רואה כרגע דרך לפתור דרך איזומורפיזם שלישי אם כי אני לא פוסל את האפשרות הזו. בכל מקרה שווה לנסות אפילו משפט איזומורפיזם ראשון. לפי איזו ראשון חבורה B היא חבורת מנה של חבורה A (עד כדי איזומורפיזם) אם קיים אפימורפיזם מ A ל B. לכן כדאי למצוא אפימורפיזם שכזה. לא צריך לחפש רחוק מדי לפעמים הדברים הכי טבעיים עובדים. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 19:57, 10 בדצמבר 2012 (IST)
| + | |
| − | | + | |
| − | == פתרון של תרגיל 5 שאלה 5 סעיף ב' ==
| + | |
| − | בתחילת הפתרון ישנה טענה שלפיה אם G מודולו K איזומורפי ל Z אזי יש אפימורפיזם מ G ל Z. אפשר בבקש להסביר את הטענה? (אולי גם להכליל אותה)
| + | |
| − | | + | |
| − | * לא מתרגל/ת אבל אולי אוכל לעזור..זה ש-G מודולו K איזומורפי ל-Z= קיים הומומורפיזם חח"ע ועל מ-G ל-Z. ז"א שלכל איבר בטווח (Z אצלנו) יש מקור..ובפרט קיים הומומורפיזם על (=אפי') מ-G ל-Z.
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | ::אני חושש שההסבר שניתן כאן אינו נכון. זה ש-G מודולו K איזומורפי ל-Z לא אומר שקיים הומומורפיזם חח"ע ועל (ובקיצור איזו') מ-G ל- Z ואפשר למצוא דוגמאות נגדיות. אם הנתון היה שG עצמה איזומורפית לZ אז הטענה היתה נכונה פשוט לפי ההגדרה של איזו'.
| + | |
| − | | + | |
| − | ::בכל מקרה הרעיון הכללי של ההוכחה הוא: בהינתן חבורה <math>G</math> ותת חבורה נורמלית <math>K</math> תמיד קיים האפימורפיזם
| + | |
| − | ::<math>\varphi:G\to G/K, \ \varphi(g)=gK</math>. כעת, מכיון שקיים גם איזומורפיזם ובפרט אפימורפיזם <math>\psi:G/K\to \mathbb{Z}</math> אז ההרכבה נותנת אפימורפיזם מ G לZ. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 19:21, 13 בדצמבר 2012 (IST)
| + | |
| − | | + | |
| − | == תרגיל 7,שאלות ==
| + | |
| − | | + | |
| − | תרגיל7, שאלה1: שאלה אלמנטנרית. עבור תמורות a,b האם סדר החישוב של ab הוא הוא מימין לשמאל. אני חושב שכן, כי זה הרכבת פונקציות. אבל ראיתי גם ההפך.
| + | |
| − | | + | |
| − | תרגיל 7, שאלה"אולי שאלת בונוס". האם היא כמו יתר השאלות הרגילות או כבונוס? תודה.
| + | |
| − | | + | |
| − | ::1. נכון, יש ספרים שמחשבים הפוך גם הרכבה של פונקציות... :) אצלנו זה כמו שאמרת...
| + | |
| − | ::2. שאלת בונוס היא אכן בונוס. ה"אולי" מופיע שם בגלל שלא היינו בטוחים לגבי דרגת הקושי שלה... יש לה סעיף קל וסעיף קשה יותר... --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 20:26, 15 בדצמבר 2012 (IST)
| + | |
| − | | + | |
| − | == איזומורפיזם בין חבורות. ==
| + | |
| − | | + | |
| − | האם זה נכון להגיד ששתי חבורות שונות, בעלות אותו הסדר (סופי), אינן איזומורפיות כי מספר תתי החבורות שלהן, עבור סדר מסויים כלשהו, הוא שונה?
| + | |
| − | במידה וכן, האם אפשר לקבל כיוון להוכחת הדבר?
| + | |
| − | ::כן. זה נכון. אם <math>G_1,\ldots G_i</math> תתי חבורות שונות מסדר <math>n</math> של <math>G</math>
| + | |
| − | ו<math>f:G\to H</math> איזו' אז <math>f(G_1),\ldots f(G_i)</math> תתי חבורות שונות מסדר <math>n</math> של <math>H</math>. לכן מספר תתי החבורות מסדר <math>n</math> של <math>H</math> גדול או שווה למספר תתי החבורות מסדר <math>n</math> של <math>G</math>.
| + | |
| − | <math>f^{-1}:H\to G</math> גם היא איזו' ולכן ניתן להוכיח בצורה דומה שמספר תתי החבורות מסדר <math>n</math> של <math>G</math> גדול או שווה למספר תתי החבורות מסדר <math>n</math> של <math>H</math>. בסה"כ נקבל את השוויון הדרוש. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 16:56, 17 בדצמבר 2012 (IST)
| + | |
| | | | |
| | == תרגיל 8 שאלה 3 == | | == תרגיל 8 שאלה 3 == |
1. לגבי "...מכילה שני איברים.", האם בדיוק שניים?
2. יכול להיות שהנתון 
מיותר, או יותר מדויק, שבעצם חשוב רק הנתון 
?
