למה הכוונה ב Ux?
--[[משתמש:ג.יפית|ג.יפית]] 14:46, 1 בדצמבר 2012 (IST)
תשובה: אני לא רואה איפה יש <math>U_x</math> בשאלה 7. באופן כללי <math>f_x\quad g_{st}</math> וכדומה מציינים נגזרות חלקיות.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:41, 1 בדצמבר 2012 (IST)
מופיע שמה שאלה 7 למטה באמ"ם זה כנראה טעות זה אמור להיות <math>f_x</math>?
תשובה: אני כנראה עיוור. כן,זה צריך להיות <math>f_x</math>.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 14:41, 2 בדצמבר 2012 (IST)
== נגזרת מכוונת ==
לא הבנתי את הפתרון - אפשר הסבר מפורט ?
תודה
תשובה: הפתרון הוא <math>(-f_x(x_0),-f_y(x_0),-||\nabla(f)(x_0)||^2)</math> כאשר <math>x_0</math> היא הנקודה המדוברת.
(שימו לב שזה וקטור כיוון, האורך שלו לא מעניין, רק הכיוון).
הסבר:
ראשית נסביר את 2 הקומפוננטות הראשונות: <math>-f_x(x_0),-f_y(x_0)</math>
היות ו<math>\nabla f(a)\cdot u = D_u(f)(a)</math> (אנחנו הרי מניחים ש <math>f</math> דיפרנציאבילית).
אז מתקיים שאם <math>||u||</math> וקטור יחידה אז <math>\nabla f(a)\cdot u = \frac{\partial f}{\partial u}(a)</math> כאשר
<math>\frac{\partial f}{\partial u}(a)</math> מייצג נגזרת כיוונית בכיוון <math>u</math> בנקודה <math>a</math>.
לפי אי שוויון קושי שורץ
<math> |\frac{\partial f}{\partial u}(a)|=|\nabla f(a)\cdot u|\leq ||\nabla f(a)||||u||=||\nabla f(a)||</math>
לכן <math>||\nabla f(a)||</math> חוסם את ערכי הנגזרת הכיוונית האפשריים.
קל לראות שמתקבל <math>max</math> כאשר <math>u=\frac{\nabla f(a)}{||\nabla f(a)||}</math> ו min כאשר
<math>u=-\frac{\nabla f(a)}{||\nabla f(a)||}</math>.
במילים אחרות: נגזרת כיוונית מירבית מתקבלת בכיוון הגרדיאנט ונגזרת כיוונית מזערית מתקבלת בכיוון מינוס הגרדיאנט.
המים ירצו לנוע כמה שיותר מהר למטה - לכיוון שבו השיפוע קטן ביותר = לכיוון שבו הנגזרת הכיוונית קטנה ביותר = לכיוון מינוס הגרדיאנט בנקודה.
זה מסביר את שיעורי ה<math>x,y</math>.
נותר להסביר את שיעור ה <math>z</math>.
הכיוון שאליו הכדור יפנה יהיה וקטור שנמצא על המישור המשיק למשטח בנקודה זו. (לצורך העניין זה נדרש מההגדרה של המושג - כיוון שאליו פונים)
המישור המשיק הוא כל הוקטורים שניצבים לגרדיאנט של <math>F(x,y,z)=f(x,y)-z=0</math>
הגרדיאנט הוא <math>(f_x,f_y,-1)</math>. כדי ש <math>(-f_x,-f_y,z)</math> יהיה ניצב אליו. צריך ש
<math>z=-f_x^2-f_y^2=-||\nabla f||^2</math>.
מקווה שזה ברור.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 23:01, 1 בדצמבר 2012 (IST)
ואם כבר אז אני אכתוב גם כאן מה שכתבתי בעמוד של התרגילים - בשאלה 4א, יש הרבה נקודות שמקיימות את הדרוש - ולכל נקודה שמקיימת את הדרוש יתאים <math>a</math> אחר. אתם מתבקשים רק למצוא נקודה אחת כזאת.
--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 23:05, 1 בדצמבר 2012 (IST)
== לגבי ציונים ==
היי,
רק עכשיו שמתי לב שיש ציונים באתר...
הגשתי את תרגיל 1 ולמרות זאת - אין לי ציון בדף התרגילים
אודה לבדיקת העניין,
לירון עמיחי. (313485567)
(מצטער שאני לא עושה זאת במייל, אבל פשוט הוא לא כתוב בשום מקום )
תשובה: יכול להיות שאתה קיבלת 98 ושכחת לכתוב שם?
שימו לב שיש שלושה תרגילים שלא כתבו עליהם שם. מי שזה שלו שישלח לי מייל. Steinita@walla.com--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 17:02, 18 בדצמבר 2012 (IST)
== תרגיל 8 שאלה 5 ==
האם אנחנו חייבים להשתמש בכופלי לגראנז'? לפחות שיש פתרון הרבה יותר קצר וטריוויאלי?
תשובה: אפשר לפתור איך שרוצים כל עוד הפתרון נכון.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 10:21, 23 בדצמבר 2012 (IST)
== תרגיל 8 שאלה 5 ==
מהם ה - <math>alpha_i</math> שם?
מספרים ממשיים כלשהם. (אני מצטער שהתשובות לשאלות הגיעו באיחור - היו אילוצים)--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 10:23, 23 בדצמבר 2012 (IST)
== שאלה 3 סעיף ב' ==
אפשר לקבל הכוונה?
תודה
אובד עצות
רמז: יש כלים שקשורים לדטרמיננטות שלמדתם באלגברה לינארית. נראה לי שהדרך הכי פשוטה לפתור את סעיף ב' היא להשתמש באחד מהם. מקווה שזה עוזר.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 12:07, 24 בדצמבר 2012 (IST)
== תרגיל 9 שאלה 6 ==
אפשר להשתמש בכך שאיחוד בן מנייה של קבוצות ממידה אפס הוא ממידה אפס?
אגב, בכל שאלה של כופלי לגראנז' יש קיצור דרך
תשובה:
לא חשבתי על זה.
זה לא הוגן להגיד לא. אפשר להשתמש בכל מה שראיתם בהרצאה או בכל דרך שתרצו.
מי שרוצה בכל זאת שיהיה קצת אתגר בשאלה שינסה להוכיח שלכל <math>\epsilon</math> יש כיסוי סופי.
בקשר לכופלי לגרנז' - בשאלה עם מרחק נקודה ממישור אני מבקש להשתמש בכופלי לגרנז' (אני יודע שיש דרכים אחרות).
בשאר השאלות - איך שאתם רוצים, אני ממליץ כופלי לגרנז' כי בסופו של דבר זה מה שאתם לומדים.
--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 15:49, 1 בינואר 2013 (IST)
== איתמר, הזכרת בתרגול שלא ניתן לחשב בדרך אחרת נפח כדור ==
http://he.wikipedia.org/wiki/23_%D7%94%D7%91%D7%A2%D7%99%D7%95%D7%AA_%D7%A9%D7%9C_%D7%94%D7%99%D7%9C%D7%91%D7%A8%D7%98
תוכל לפרט? בכל אופן, אין קשר לבעיות של הילברט...
תשובה: דיברתי על נפח פירמידה, זאת הבעיה השלישית של הילברט (והראשונה שנפתרה)
http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%94%D7%91%D7%A2%D7%99%D7%94_%D7%94%D7%A9%D7%9C%D7%99%D7%A9%D7%99%D7%AA_%D7%A9%D7%9C_%D7%94%D7%99%D7%9C%D7%91%D7%A8%D7%98
הצגתי אותה באופן קצת פשטני. בכל מקרה זאת הייתה הערת אגב, אני לא מבין גדול בנושא.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 15:53, 17 בינואר 2013 (IST)
== שאלה 5ב במבחן ==
אשמח אם מישהו יעלה לפה את המבחן.
בכל אופן, השאלה הייתה כזו:
מצא את נפח הגוף החסום ע"י המשטחים הבאים: <math>z=x^{2}+y^{2},z=0,x^{2}+y^{2}=x,x^{2}+y^{2}=2x</math>
גישה פשוטה שנראית לי נכונה: בוא נגיד ש D הוא התחום הנ"ל.
<math>\int _D 1 dxdydz = \int _E x^{2}+y^{2} dxdy</math>
כאשר E זה השטח שחסום בין המעגלים <math>x^{2}+y^{2}=2x,x^{2}+y^{2}=x</math> וזה נובע בקלות ממשפט פרוביני (ה"מורחב").
אותם עיגולים בכתיב קצת שונה הם <math>(x-1)^{2}+y^{2} \leq 1, (x-0.5)^{2}+y^{2} \leq 0.25</math>.
בואו נגיד ש G זה התחום שהוא העיגול הראשון (הגדול) ו F הוא העיגול הקטן, אז קיבלנו:
<math>\int _E x^{2}+y^{2} dxdy = \int _G x^{2}+y^{2} dxdy - \int _F x^{2}+y^{2} dxdy</math>
בשביל הפשטות בואו נזיז את העיגולים G,F שיהיו בראשית הצירים ז"א עיגולים ברדיוסים 1,0.5 בהתאמה סביב ראשית הצירים, ונקרא להם 'G',F.
אז קיבלנו עכשיו שכל הלמעלה שווה ל
<math>\int _{G'} x^{2}+2x+1+y^{2} dxdy - \int _{F'} x^{2}+x+0.25 + y^{2} dxdy</math>
אבל עיגול סביב ראשית הצירים הוא סימטרי ביחס לציר x, לכן הביטויים "x" ו "2x" לא רלוונטיים.
<math>\int _{G'} x^{2}+1+y^{2} dxdy - \int _{F'} x^{2}+0.25 + y^{2} dxdy</math>
עכשיו, מה זה <math>x^{2}+y^{2}</math> בהצבה פולארית? זה <math>r^{2}</math>. אז אם באמת נעבור להצגה פולארית בכל אחד מהאינטגרלים יהיה איזה <math>r^{3}</math> [בגלל ההצבה הוספנו r] וזה אינטגרל שנעשה על r-ים מתאימים ועל זווית מ 0 עד 2pi.
לכן סה"כ קיבלנו (שימו לב שאנחנו יודעים כמה זה שטח של עיגול, אז אינטגרציה של קבוע על מעגל זה קל):
<math>( \pi 1 + 2\pi \cdot 0.25 \cdot (1-0)) - ( \pi \cdot 0.25 \cdot 0.25 + 2\pi \cdot 0.25 \cdot (\frac{1}{16}-0)) = \frac{45}{32} \pi</math>
האם זו התשובה שיצאה גם לכם? [תבדקו שוב, קל מאוד לטעות במבחן].