משפט היחידות אומר שאם f(zn)=g(zn) כאשר zn סדרה לא מנוונת שגבולה בתחום האנליטיות של f אז בתחום זה f=g.
אם f שלמה, האם סדרה ששואפת לאינסוף נחשבת כסדרה שגבולה בתוך תחום האנליטיות של f ויכולה לקיים את תנאי המשפט?
וגם, אם ל zn אין גבול אבל היא נשארת תמיד בתוך סביבה שמוכלת ממש בתחום האנליטיות (למשל - רצה על מעגל היחידה), האם אפשר להפעיל את המשפט על zn או שהמשפט לא מתקיים עבור zn כזאת?
תודה!
: אנסה לתת ניסוח קצת שונה של המפשט - נניח שהפונקציות (g(z),f(z אנליטיות בתחום D שכולל קבוצה E שנקודת ההצטברות שלה, a, שייכת ל-D. נניח גם ש- (f(z)=g(z לכל <math>z\in E</math>. אזי (f(z)=g(z לכל <math>z\in D</math>. מכאן נקודת אינסוף לא מתאימה. חוץ מזה, אם תיזכר בהוכחת המשפט, אז הוכחתם ע"י פיתוח לטור טיילור סביב נק' a (תקן אם אני טועה והוכחתם אחרת). --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 20:36, 19 במאי 2012 (IDT)
::"קבוצה E שנקודת ההצטברות שלה" - מה אם לE יש יותר מנקודת הצטברות אחת, האם הכוונה היא שאם לכל נקודת הצטברות בE, הנק' שייכת לD, אז המשפט מתקיים?
::עריכה: הצלחתי להוכיח את הדרוש עם לקיחת תת סדרה מתאימה. תודה!
== תרגיל 8 שאלה 7 ב' ==
בשאלה 7 סעיף ב' לא ברור מה צריך לעשות בשאלה
: תודה. הועלה קובץ מתוקן. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 23:21, 21 במאי 2012 (IDT)
== מבחנים ==
אם תוסיפו מבחנים נוספים של המרצה לתרגול זה יהיה מאוד מועיל. תודה מראש וחג שמח.
: זה כל מה שיש אצלי. תבדקו בספריה, לאחרונה נבנה בנק בחינות. גם תסתכלו על המבחנים של מרצים אחרים, החומר לא משתנה יותר מדי. גם באוניברסיטאות אחרות אפשר למצוא הרבה מבחנים (לפעמים אפילו פתורים). --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 17:33, 24 במאי 2012 (IDT)
::יש בידי עוד כמה מבחנים של ד"ר הורוביץ. אוכל להוסיף אותם לאתר (אוכל לפתוח עמוד של בחינות תחת הדף הראשי של הקורס, ולהכניס לתוכו גם את הבחינות שגרישה העלה) אם זה בסדר עם המתרגלים.
::: תבדוק מה כבר העליתי. אם זה משהו חדש, אז תוסיף עוד קישור. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 23:24, 8 ביוני 2012 (IDT)
== הוספת מבחנים נוספים ==
האם ניתן להוסיף מבחנים משנים קודמות יותר ? תודה מראש.
: זה כל מה שיש אצלי. תבדקו בספריה, לאחרונה נבנה בנק בחינות. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 17:31, 24 במאי 2012 (IDT)
== תרגיל 8 שאלה 3 ==
האם ניתן להניח כי R תחום קשיר? אחרת לא ניתן להוכיח כי f היא 0 זהותית ב-R.
ובנוסף אם f(1/n) גדול ממש מ-0 אז f אינה רציפה, ולכ גם אינה אנליטית ב-R, לכן אי השיוויון המתאים הוא גדול או שווה.
: כן. כן. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 07:16, 1 ביוני 2012 (IDT)
== שארית באינסוף ==
שלום,
האם תוכלו להזכיר את הגדרת השארית באינסוף?
נוסף על כך, וללא קשר, האם אחד מהמתרגלים מתכנן לעשות שיעור חזרה (בבקשה?)?
תודה מראש.
: בעוד כשבוע אעלה את הפתרונות של תרגיל בית 10 ותראו את הדוגמאות. את ההגדרה המפורשת וגם דוגמאות אפשר למצוא בספר הקורס.
: בקצרה, כדי לחקור את התנהגות הפונקציה f(z) באינסוף אנו מחליפים משתנים: <math>z'=\frac{1}{z}\to \phi (z')=f(\frac{1}{z})</math> ובוחנים את התנהגות של <math>\phi(z')</math> בנקודה z=0.
: לגבי תרגול חזרה אני עוד לא בטוח שיש צורך בכך, תלוי בשאלות שאקבל לפני המבחן. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 22:22, 17 ביוני 2012 (IDT)
::תודה רבה. על איזה ספר מדובר?
::ואגב, תמיד יש צורך בתרגול חזרה :) שוב תודה.
::: פונקציות מרוכבות, בן ציון קון (זה מה שכתוב בסילאבוס). --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 07:53, 18 ביוני 2012 (IDT)
== תרגול חזרה ==
האם ניתן בבקשה להעלות פתרונות תרגילים ? ולעשות שיעור חזרה?
: העליתי תרגילים 9 ו- 10. את תרגיל 11 אעלה שבוע לפני המבחן (כדי לתת להגיש לכל מי שרוצה). --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 18:12, 27 ביוני 2012 (IDT)
== שאלה מבחינה ==
האם יש סיכוי לעזרה בשאלה 6 במבחן השלישי בקובץ שגרישה העלה? לא כל כך ברור לי איך לגשת אליה... תודה מראש.
: לא בטוח שזה כיוון יחיד, אבל אפשר לנסות להגדיר <math>g(z)=f^2(z)=sin(z)</math> ולבדוק מהו סדר של אפס בנקודה <math>z=0</math>. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 22:09, 11 ביולי 2012 (IDT)
== מועד א' - שאלה 5. סקיצה של פתרון ==
<math>g(w)={1\over{2\pi\cdot i}}\oint\limits_\gamma {{{z\cdot f'(z)}\over{f(z)-w}}dz} ,\ \ \ \ \ \forall w \in D'</math>
נעשה החלפת משתנים: <math>t=f(z),\ \ z=f^{-1}(t)</math>, לכן <math>dt=f'(z)dz</math>. מותר לעשות את זה כי f חח"ע ועל ולכן הפיכה.
נקבל:
<math>g(w)={1\over{2\pi\cdot i}}\oint\limits_{\gamma'} {{{f^{-1}(t)}\over{t-w}}dt} ,\ \ \ \ \ \forall w \in D'</math>
פונקציה f הפיכה ואנליטית ולכן גם <math>f^{-1}</math>. לכן מותר להשתמש בנוסחת קושי ונקבל:
<math>g(w)= {1\over{2\pi\cdot i}} \cdot 2\pi i\cdot f^{-1}(w)=f^{-1}(w) ,\ \ \ \ \ \forall w \in D'</math>.
מכאן g היא פונקציה הופכית של f.
אני מזכיר שזאת רק סקיצה של הפתרון, יש עוד להסביר מהו <math>'\gamma</math> ובאופן כללי להסביר את החוקיות של המעברים.
(פתרון באדיבות דנה ואקנין) --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 22:51, 15 ביולי 2012 (IDT)