שיחה:89-214 הדרכות והסברים

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

תרגיל 5

5.3.9

הבהרה לגבי חבורת קיילי (K) - אם תשימו לב, בתרגיל 5.5 יש תרגיל שמבקש להוכיח שזו היא תת-חבורה נורמלית של S_4. אתם רשאים להתשתמש בעובדה זו כמשפט. ייתכן שנוכיח אותה בתרגול או ניתן כתרגיל בית בהמשך.

5.3.13

היכנם מתבקשים להראות מצד אחד שהליבה היא תת-חבורה נורמלית, ומצד שני שהיא מקסימלית ביחס להכלה מבין כל תתי-חבורות הנורמליות של G שמוכלות ב H. זאת אומרת, לכל תת-חבורה N נורמלית של G שמוכלת ב H, מתקיים N\leq \cap_{g\in G} g^{-1}Hg


שאלה: אתם יכולים לתת דוגמא לאיך האיברים בליבה ניראים? אם יש לנו נגיד a,b,c\in G אז זה חיתוך של קבוצה שנראית ככה: ah_{1}a^{-1} , ah_{2}a^{-1}\dots עם קבוצה שנראית ככה: bh_1b^{-1} , bh_2b^{-1}\dots וכו'.

תשובה: איבר היחידה הוא בליבה. מעבר לזה - אין צורך לדעת לצורך פתרון של השאלה. בסה"כ הבנת את ההגדרה נכון.

שאלה קטנה נוספת: אז לא צריך להוכיח שהיא תת חבורה? רק נורמליות ואז להראות מקסימליות?

תשובה לשאלה הקטנה: צריך. שים לב שההוכחה לוקחת בערך שורה.

5.3.11

הכוונה היא לחבורה שנוצרת על ידי הקבוצה \{g^2:g\in G \}. זאת אומרת אוסך כל המכפלות הסופיות מהצורה a^2_{1}\dots a^2_{k}, a_i\in G . אין צורך להוכיח זאת בתרגיל, אבל תבדקו עם עצמכם שאתם מבינים מדוע זו חבורה בכלל. עליכם להראות שחבורה זו נורמלית.

5.3.14

לשאלת התלמידים ששאלו איך לפתור את סעיף ג' - הרעיון הוא להשתמש בסעיף א. כיצד הראתם נורמליות של G^{n-1}?

שימו לב שמדובר ב-n נתון מראש. בנוסף - יש להראות ש G^n היא תת-חבורה של G. בסעיף א' ובכל שאר הסעיפים מדובר באותו n שמופיע בנתון.