אין צורך לחקור קבוצות של טענות (כלומר, גרירות מהסוג <math>\ \psi_{i} \wedge \psi_{i'} \implies \psi_j</math> או <math>\ \psi_{i} \wedge \psi_{i'} \wedge \psi_{i''} \implies \psi_j</math>). [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] 19:01, 17 בדצמבר 2011 (IST)
== שאלות לקראת הבחינה ==
# (מתוך מועד ב' תשע"א) "תן דוגמא לתמורה ב-S7 שאין שום דרך להציג כמכפלה של מחזורים באורך 3": בפתרון ניתנה התמורה (2 1) כדוגמא, האם גם תמורת הזהות יכולה להתקבל כתשובה?
# (מתוך מועד ב' תשע"א) "קבע האם החבורות הבאות איזומורפיות או שאינן איזומורפיות": <math>A = Z48 X Z36 X Z4 , B = Z72 X Z16 X Z6</math>. בפתרון נכתבה ההצגה הקנונית של החבורות: <math>A = Z4 X Z12 X Z144 , B = Z2 X Z24 X Z144</math>. ברור לי שמכיוון שהאקספוננט של שתי החבורות הוא 144, ההצגה הקנונית של כל אחת מהן תסתיים עם Z144, אך לא ברור לי מדוע בהצגה של A התחלנו עם Z4 ואילו בזו של B עם Z2. נימוק אחר שהוצג בפתרון להיותן לא איזומורפיות היה ש-<math>36A = Z4 , 36B = Z2 X Z4</math>. האם זו דוגמא לשיטה אותה הצגת לקראת סיום ההרצאה ביום חמישי האחרון, בנוגע לקביעת איזומורפיות של חבורות אבליות סופיות, במקום להשתמש במשפט היחידות? האם יש תנאים מגבילים לשימוש בשיטה זו?
# (מתוך מועד ב' תשע"א) "מיין את החבורות האבליות A מסדר (5^3)*(5^2) כך ש- 4^2 = |4^A/A| ו- 4^3 = |3^A/A|. כתוב את הצורה הקנונית של כל חבורה כזו. כמה חבורות כאלה יש, עד כדי איזומורפיזם?": בפתרון נכתב כי יש לפרק את A למכפלה ישרה פנימית A=BC כאשר 5^2 = |B| ו- 5^3 = |C|. כיצד אנו בטוחים כי ת"ח B,C המוגדרות כך עומדות בתנאים למכפלה ישרה פנימית? במהשך נכתב כי כך נקבל:<math>(*) A^4 = B^4 \times C , A^3 = B\times C^3</math>. הבנתי את הדרישה לגבי הסדרים של 3^A ו- 4^A, אך לא הבנתי איך קיבלנו את שני הפירוקים שב- (*).
# (מתוך מועד א' תש"ע) "הוכח שמספר האיברים במחלקת צמידות מחלק את סדר החבורה": הפתרון שלי מעט שונה מזה שתואר בפתרון הבחינה (ומההרצאה). רציתי להראות שכל קוסט של המרכז (centralizer) בחבורה של איבר למעשה מגדיר איבר במחלקת הצמידות, אסמן את המרכז של איבר g כ- (C(g: טענתי שאיבר w שייך לקוסט של (C(g: <math> y*C(g)</math> אם"ם w = yx כאשר x איבר ב- (C(g. מכאן ש- <math>w*g*(w^{-1}) = (yx)*g*(yx)^{-1} = yx*g*(x^{-1})*(y^{-1}) = y*g*(y^{-1})</math> כלומר כל איבר בקוסט <math>y*C(g)</math> נותן איבר יחיד במחלקת הצמידות של g, ולכן מספר כל הקוסטים של (C(g הוא מספר האיברים במחלקת הצמידות. בכיוון השני טענתי שכל איבר במחלקת הצמידות ניתן לכתיבה כ- (כאשר x איבר ב- (C(g ), <math>y*g*(y^{-1}) =y*x*g*(x^{-1})*y^{-1} = yx*g*(yx)^{-1} = w*g*(w^{-1})</math> כלומר כל איבר במחלקת הצמידות מגדיר קוסט של (C(g. לכן:<math>| [g] | = [G:C(g)]</math>. ומכאן שמספר האיבירם במחלקת צמידות מחלק את סדר החבורה. האם הוכחה זו נכונה?
# האם יש דרך מובנית למציאת האוטומורפיזמים של חבורה כלשהי (או למי חבורת האוטומורפיזמים שלה איזומורפית)? <מתוך אימייל של סטודנט>