:: 3. אלגוריתמית, בהנתן לוח הכפל של החבורה - בוודאי: אפשר לעבור על כל התמורות האפשריות, ולבחון אלו מהן שומרות על הפעולה. בפועל השיטה הזו אינה מעשית, וכדי למצוא את *כל* האוטומורפיזמים צריך להכיר את מבנה החבורה, למשל דרך "צורה נורמלית" (כלומר צורה מוגדרת היטב שאליה אפשר להביא כל איבר בחבורה, באופן כזה ששני אברים עם צורה נורמלית שונה מוכרחים להיות שונים), ואז לפתור את המשוואות שהיחסים שלה מגדירים. התשובה הקצרה היא: לא. [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] 11:34, 8 בפברואר 2012 (IST)
== הומומורפיזמים ==
'''שאלה'''. רציתי לדעת מה הכלים שלי בדיוק כאשר מבקשים ממני לבנות הומומורפיזם? לדוג' במועד ג בשנת תשסט ביקשת לבנות שיכון מZ3XZ3 לS9 איך בדיוק אמורים לעשות את זה? מה הדרך שלי לבנות המומרפיזם כזה?
'''תשובה'''. משפט קיילי נותן שיכון של חבורה מסדר n לחבורה הסימטרית S_n, על-ידי הפעולה של כפל משמאל. כלומר, אם אברי החבורה הם <math>\ G = \{g_1,\dots,g_n\}</math>, אז האיבר <math>\ g_i</math> מתאים לתמורה <math>\ g_j \mapsto g_ig_j</math> (זוהי אכן פונקציה חד-חד-ערכית ועל, ולכן איבר של <math>\ S_G</math>, שהיא - בהגדרה - חבורת התמורות על אברי G, ולכן איזומורפית ל-<math>\ S_{|G|}</math>).
כדאי גם לשים לב שכדי לבנות הומומורפיזם מחבורה G לחבורה כלשהי, מספיק להגדיר אותו על קבוצת יוצרים של G. במקרה שלנו מספיק להגדיר את הפונקציה על הוקטורים <math>\ (0,1),(1,0)</math>, והתשובה היא, עבור מספור טבעי של אברי החבורה, <math>\ (0,1)\mapsto (123)(456)(789), (1,0) \mapsto (147)(258)(369)</math> (שימו לב שתמורות אלו מתחלפות - כפי שהן מוכרחות לעשות כדי שההומומורפיזם יהיה מוגדר היטב). [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] 19:21, 12 בפברואר 2012 (IST)
== על חבורות אבליות ==
'''תשובה'''. ב"העלאה בחזקה" ו"כפל בקבוע" מדובר על אותה פעולה: ביצוע חוזר של פעולת החבורה על כל האברים. בחבורה שבה הפעולה מסומנת ב"+" הגיוני לדבר על כפל בקבוע, וכשהפעולה היא כפל, מדובר על העלאה בחזקה. נכון שאם שתי חבורות הן איזומורפיות, אז כשמכפילים את שתיהן באותו מספר, התוצאות איזומורפיות. לעובדה הזו אין שום קשר עם הצורה הקנונית. נכון גם שאם מכפילים את הצורה הקנונית בקבוע, התוצאה נתונה גם היא, למרבה הנוחות, בצורה קנונית. [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] 22:18, 11 בפברואר 2012 (IST)
== בניית שדה מסדר 27 שאלות על שדות ==
'''שאלה'''. הוכח שקיים שדה מסדר 27.
עליכם לדעת מהו שדה מפצל, וכיצד מוכיחים שהוא קיים. הבניה בפועל דורשת פירוק של פולינום הנתון מעל שדה קטן, לגורמים המוגדרים מעל שדה גדול יותר. זו אכן משימה לגיטימית (אם מעלת הפולינום אינה גדולה מדי), שאולי תופיע בבחינה בשנה הבאה. [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] 20:48, 11 בפברואר 2012 (IST)
'''שאלהמספר שאלות:'''. אתה יכול להסביר מהו שדה מפצל, ואיך מוכיחים שהוא קיים? כמו כן איך מפרקים פולינום מעל שדה מסויים? מה משפיע בחירת הפולינום האי פריק(במידה ויש כמה) שאני בוחר לבנות איתו את השדה?תודה! '''תשובה'''.נניח שפולינום f מוגדר מעל שדה F (כלומר, המקדמים של הפולינום נמצאים בשדה. גם כשמדובר על פולינום שהמקדמים שלו נמצאים כביכול "בכל שדה", כמו למשל <math>\ x^3+2</math>, חשוב מאד לדעת מעל איזה שדה מדובר. הפולינום הזה פריק כשחושבים עליו כפולינום מעל <math>\ \mathbb{Z}_2</math>, אבל לא כפולינום מעל הרציונליים). שדה K, המכיל את F, '''מפצל''' את f אם מעל השדה K אפשר לפרק את f לגורמים ליניאריים. במלים אחרות ופחות מדוייקות, "כל השורשים של f נמצאים ב-K". זה גם רומז איך אפשר לבנות שדה פיצול כשהפולינום מוגדר מעל הרציונליים: מוסיפים לשדה הנתון F את כל השורשים החיים בשדה המרוכבים. אבל אצלנו, מכיוון שהשדות הסופיים *אינם* מוכלים במרוכבים (זו לא אותה פעולה!), השיטה הזו אינה עוזרת. הוכחה שתמיד קיים שדה מפצל: ראו סעיף 13 ב[[89-214 סמסטר א' תשעב/תקצירים#שדות סופיים - גרסה נטולת חוגים|שעור על שדות סופיים]]. איך מפרקים פולינום מעל שדה: לא למדתם שיטות כלליות, ואינני מצפה מכם לדעת אותן. אבל תמיד אפשר לחפש שורשים, וכידוע כל שורש משרה גורם ליניארי. הקשר בין הפולינום לשדה המתקבל: מכיוון שהשדה מסדר q=p^n הוא יחיד (עובדה שלא הוכחנו בשעור!), כל השדות <math>\ F[x]/F[x]f(x)</math>, כאשר f פולינום אי-פריק ממעלה n מעל השדה הסופי F, הם איזומורפיים זה לזה. [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] 22:36, 11 בפברואר 2012 (IST) == תמורות == משפט:2 תמורות הם זהות אמ"מ יש להם את אותו מבנה מחזור. במהלך ההוכחה יש חישוב שטאו סיגמא טאו מינוס אחד שווה לסיגמא תאג. החישוב נסמך על העובדה שבעצם מפעילים רק את טאו על סיגמא ולא צריך להפעיל את טאו מינוס אחד. מדוע אם יש טאו סיגמא טאו מינוס אחד אפשר לחשב את זה כאילו נפעיל רק את טאו על סיגמא?