:: 4. ההוכחה הזו דומה לזו שנתנו בכתה: הרעיון הוא לבנות התאמה בין קוסטים של המרכז לבין אברים במחלקת הצמידות.
:: 5. אלגוריתמית, בהנתן לוח הכפל של החבורה - בוודאי: אפשר לעבור על כל התמורות האפשריות, ולבחון אלו מהן שומרות על הפעולה. בפועל השיטה הזו אינה מעשית, וכדי למצוא את *כל* האוטומורפיזמים צריך להכיר את מבנה החבורה, למשל דרך "צורה נורמלית" (כלומר צורה מוגדרת היטב שאליה אפשר להביא כל איבר בחבורה, באופן כזה ששני אברים עם צורה נורמלית שונה מוכרחים להיות שונים), ואז לפתור את המשוואות שהיחסים שלה מגדירים. התשובה הקצרה היא: לא. [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] 11:34, 8 בפברואר 2012 (IST)
== בניית שדה מסדר 27 ==
'''שאלה'''. בנה שדה מסדר 27, ומצא בו איבר מסדר 13 בחבורה הכפלית.
'''פתרון'''. נתבונן בפולינום <math>\ x^{27} - x</math> מעל השדה <math>\ F=\mathbb{Z}_3</math>. הוכחנו שיש שדה המפצל את הפולינום הזה, ובתוך אותו שדה, אוסף השורשים של הפולינום מהווה שדה מסדר 27. זוהי אינה בניה מפורשת, ולכן נפנה לשיטה מעשית יותר.
הוכחנו שאם f הוא פולינום אי-פריק מעל F, אז חבורת המנה <math>\ K=F[x]/F[x]f(x)</math> היא שדה, שממדו המעלה של f. עלינו למצוא, אם כך, פולינום ממעלה 3 מעל השדה F. לפולינומים מהצורה <math>\ x^3 - a</math> יש שורשים (ולכן אינם פריקים); נבחר את הפולינום <math>\ f(x) = x^3-x+1</math>. עבור הפולינום הזה, K כולל את השאריות של כל הפולינומים מהצורה <math>\ a+bx+cx^2</math> (שמספרם כמובן 27), ופעולת הכפל מקיימת את החוק <math>\ x^3 = x-1</math> (ב-K). החבורה הכפלית של K היא ציקלית מסדר 26 (החבורה הכפלית של כל שדה סופי היא ציקלית). לכן תת-החבורה מסדר 13 היא זו הכוללת את כל הריבועים של אברים ב-K, ובפרט היא נוצרת (כפלית) על-ידי <math>\ x^2</math>. [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] 21:30, 9 בפברואר 2012 (IST)