'''פתרון'''. הוכחנו שאם f הוא פולינום אי-פריק מעל F, אז חבורת המנה <math>\ K=F[x]/F[x]f(x)</math> היא שדה, שממדו המעלה של f. עלינו למצוא, אם כך, פולינום ממעלה 3 מעל השדה F. לפולינומים מהצורה <math>\ x^3 - a</math> יש שורשים (ולכן אינם פריקים); נבחר את הפולינום <math>\ f(x) = x^3-x+1</math>. עבור הפולינום הזה, K כולל את השאריות של כל הפולינומים מהצורה <math>\ a+bx+cx^2</math> (שמספרם כמובן 27), ופעולת הכפל מקיימת את החוק <math>\ x^3 = x-1</math> (ב-K).
'''שאלה'''. בשדה מסדר 27 הנתון בשאלה הקודמת, מצא בו איבר שסדרו בחבורה הכפלית הוא 13.
'''שאלה'''. בשדה מסדר 27 הנתון בשאלה הקודמת, מצא בו איבר שסדרו בחבורה הכפלית הוא 13.
'''פתרון'''. החבורה הכפלית של K היא ציקלית מסדר 26 (החבורה הכפלית של כל שדה סופי היא ציקלית). לכן תת-החבורה מסדר 13 היא זו הכוללת את כל הריבועים של אברים ב-K, ובפרט היא נוצרת (כפלית) על-ידי <math>\ x^2</math>. [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] 21:30, 9 בפברואר 2012 (IST)
'''תשובה'''. לאחר שבונים את השדה, צריך להבין אותו. למשל, למצוא איבר מסדר 13 בשדה מסדר 27; או להוכיח שאין התאמה חד-חד-ערכית ועל השומרת על החיבור והכפל בין השדה מסדר 9 למספרים השלמים מודולו 9. דוגמאות נוספות אפשר יהיה למצוא בשאלה 6 של המבחנים במועד א' וב'.
עליכם לדעת מהו שדה מפצל, וכיצד מוכיחים שהוא קיים. הבניה בפועל דורשת פירוק של פולינום הנתון מעל שדה קטן, לגורמים המוגדרים מעל שדה גדול יותר. זו אכן משימה לגיטימית (אם מעלת הפולינום אינה גדולה מדי), שאולי תופיע בבחינה בשנה הבאה. [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] 20:48, 11 בפברואר 2012 (IST)
'''שאלה'''. אתה יכול להסביר מהו שדה מפצל, ואיך מוכיחים שהוא קיים? כמו כן איך מפרקים פולינום מעל שדה מסויים? תודה.