שינויים

'''שאלה'''. בנה הוכח שקיים שדה מסדר 27, ומצא בו איבר מסדר 13 בחבורה הכפלית.

'''פתרון'''. נתבונן בפולינום <math>\ x^{27} - x</math> מעל השדה <math>\ F=\mathbb{Z}_3</math>. הוכחנו שיש שדה המפצל את הפולינום הזה, ובתוך אותו שדה, אוסף השורשים של הפולינום סגור לחיבור וכפל, ולכן הוא מהווה שדה מסדר 27. זוהי אינה בניה מפורשת, ולכן נפנה לשיטה מעשית יותר.

'''שאלה'''. בנה שדה מסדר 27. '''פתרון'''. הוכחנו שאם f הוא פולינום אי-פריק מעל F, אז חבורת המנה <math>\ K=F[x]/F[x]f(x)</math> היא שדה, שממדו המעלה של f. עלינו למצוא, אם כך, פולינום ממעלה 3 מעל השדה F. לפולינומים מהצורה <math>\ x^3 - a</math> יש שורשים (ולכן אינם פריקים); נבחר את הפולינום <math>\ f(x) = x^3-x+1</math>. עבור הפולינום הזה, K כולל את השאריות של כל הפולינומים מהצורה <math>\ a+bx+cx^2</math> (שמספרם כמובן 27), ופעולת הכפל מקיימת את החוק <math>\ x^3 = x-1</math> (ב-K).  '''שאלה'''. בשדה מסדר 27 הנתון בשאלה הקודמת, מצא בו איבר שסדרו בחבורה הכפלית הוא 13. '''פתרון'''. החבורה הכפלית של K היא ציקלית מסדר 26 (החבורה הכפלית של כל שדה סופי היא ציקלית). לכן תת-החבורה מסדר 13 היא זו הכוללת את כל הריבועים של אברים ב-K, ובפרט היא נוצרת (כפלית) על-ידי <math>\ x^2</math>. [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] 21:30, 9 בפברואר 2012 (IST)