למה שתיי מחלקות חייבות לקיים שהן או שוות, או זרות? למה לא יתכן שיהיה להן איבר משותף ושהן לא יהיו שוות?
== שאלה ==
אני רוצה להוכיח את הטענה שאומרת שבהינתן תת-קבוצה <math>H</math> סופית ולא ריקה בחבורה <math>G</math> מתקיים:
<math>H</math> תת חבורה של <math>G</math> אם ורק אם <math>HH=H</math>.
האם שתיי ההוכחות הבאות מדוייקות?
הוכחה ראשונה: (של הכיוון מימין לשמאל)
נניח <math>H</math> ת"ח של <math>G</math>.
צריך להוכיח: <math>HH=H</math>.
נוכיח זאת ע"י הכלה דו כיוונית:
1. נוכיח כי <math>H\subseteq HH</math>.
יהי <math>h \in H</math> .
נשים לב כי: <math>h=he</math>
כיוון ש- <math>h\in H , e\in H</math> אז מהגדרת כפל של קבוצות, נובע ש- <math>h=he\in HH</math> זאת אומרת: <math>h\in HH</math>.
לכן <math>H\subseteq HH</math>.
2. נוכיח כי <math>HH\subseteq H</math>.
יהי <math>h\in HH</math>.
<math>h\in H , e\in H</math> ומסגירות של <math>H</math> נובע כי <math>he\in H</math>.
אבל <math>h=he</math> ולכן <math>h\in H</math>.
לכן <math>HH\subseteq H</math>.
עד כאן ההוכחה הראשונה.
הוכחה שנייה (לאותו דבר בדיוק):
נניח כי <math>H</math> תת חבורה.
מסגירות של <math>H</math> נקבל:
<math>HH=\left \{ h1h2|h1,h2\in H \right \}\sqsubset H</math>.
מצד שני, <math>H=eH\sqsubset HH</math>.
ומשתיי ההכלות נובע השיוויון <math>H=HH</math>
שאלה: למה eH\sqsubset HH?
ועוד שאלה: האם שתיי ההוכחות נכונות? (שתיי ההוכחות הן של הכיוון מימין לשמאל)