== שאלה על תרגיל בית 7 שאלה 2 סעיף 1 ==
שואלים האם החבורות הבאות איזומורפיות: <math>\mathbb{Z}_{11}X\mathbb{Z}_{11}</math> ו- <math>\mathbb{Z}_{121}</math>.
כמה שאלות כלליות לפני השאלה הספציפית הזו:
ב'. מהם הדרכים להוכיח שחבורות אינן איזומורפיות זו לזו?
:הדרך האולטימטיבית להראות ששתי חבורות איזומורפיות זו לזו היא למצוא איזומורפיזם ביניהן.
:כעצה להגדרת הומומורפיזם, אם ידועה קבוצה יוצרת של אחת החבורות, מספיק להגדיר את הפונקציה על הקבוצה היוצרת, ולוודא שניתן להרחיב זאת להומומורפיזם. לאחר מכן, יש לבדוק שזה אכן חח"ע ועל, ואז הוא איזומורפיזם. כמובן, הפונקציה הזו צריכה לשמור על סדרי האיברים, ולכן אין טעם לבדוק הומומורפיזם שלוקח איבר מהקבוצה היוצרת לאיבר מסדר שונה, וכן הלאה.
:הדרך להראות כי שתי חבורות '''אינן''' איזומורפיות זו לזו היא לשלול קיומו של איזומורפיזם שכזה.
:יש מספר עצום של דרכים לוודא זאת. דרך אחת היא להראות שמספר האיברים מסדר x בחבורה זו שונה ממספרם בחבורה השנייה. דרך אחרת היא להראות שהאחת אבלית והשנייה לא. דרך שלישית היא להראות שמרכזי החבורות אינן איזומורפיים. וכן הלאה.
:בגדול, כל מושג בקורס שהגדרתו התחילה במילים 'תהי G חבורה' צריך להישמר תחת איזומורפיזם, ולכן די למצוא מושג אחד כזה שבו יש שוני, ושללנו קיום איזומורפיזם. חיים רוזנר 06:47, 14 בינואר 2014 (EST)
ובנוגע לשאלה הספציפית הזו:
1. באיזו פעולה מדובר כאן?
2. בתשובות כתוב שב- <math>\mathbb{Z}_{11}X\times\mathbb{Z}_{11}</math> אין איבר מסדר 121. איך אני מראה שאין שם איבר מסדר 121? 3. למה מהעובדה ש-1 איבר יוצר של <math>\mathbb{Z}_{121}</math> , ומכך שב- <math>\mathbb{Z}_{11}X\mathbb{Z}_{11}</math> אין איבר מסדר 121, נובע שהחבורות אינן איזומורפיות?
3. למה מהעובדה ש-1 איבר יוצר של <math>\mathbb{Z}_{121}</math>, ומכך שב- <math>\mathbb{Z}_{11}\times\mathbb{Z}_{11}</math> אין איבר מסדר 121, נובע שהחבורות אינן איזומורפיות?
אם אפשר בבקשה תשובות מפורטות. לא ברור לי הדברים האלה.
תודה!
# שני הרכיבים של <math>\mathbb{Z}_{11}\times\mathbb{Z}_{11}</math> כמו גם <math>\mathbb{Z}_{121}</math> הן חבורות חיבוריות. ראה עוד פירוט לעיל בדף השיחה, לגבי החבורה Z10 X Z10.
# אתה מראה שלכל איבר בחבורה קיים n קטן מ-121 כך שיתקיים <math>(a,b)^n=(e,e)</math>.
# אילו היה איזומורפיזם כזה, הוא היה שולח את 1, היוצר, לאיבר מאותו סדר ב-<math>\mathbb{Z}_{11}\times\mathbb{Z}_{11}</math>. אבל אין איבר מאותו סדר ב-<math>\mathbb{Z}_{11}\times\mathbb{Z}_{11}</math>, ולכן אין איזומורפיזם כזה. חיים רוזנר 06:47, 14 בינואר 2014 (EST)
== תרגיל 7 שאלה 2 סעיף 2 ==