<math>\mathbb{Z}_{4}</math>
<math>\mathbb{Z}_{2}X \times \mathbb{Z}_{2}</math> .
<math>\mathbb{Z}_{81}</math>
<math>\mathbb{Z}_{3}X\times\mathbb{Z}_{27}</math>
<math>\mathbb{Z}_{9}X\times\mathbb{Z}_{9}</math>
<math>\mathbb{Z}_{9}X\times\mathbb{Z}_{3}X\times\mathbb{Z}_{3}</math>
<math>\mathbb{Z}_{3}X\times\mathbb{Z}_{3}X\times\mathbb{Z}_{3}X\times\mathbb{Z}_{3}</math>.
אם עושים עכשיו מכפלה קרטזית בין כל אחת משתיי החבורות שיתקבלו מהגורם הראשון, לבין כל 5 החבורות שיתקבלו מהגורם השני, מקבלים 10 חבורות.
מהמכפלה של <math>\mathbb{Z}_{2}X\times\mathbb{Z}_{2}</math> עם כל 5 החבורות שיתקבלו מהגורם השני, מקבלים את החבורות:
<math>\mathbb{Z}_{2}X\times\mathbb{Z}_{2}X\times\mathbb{Z}_{81}</math>
<math>\mathbb{Z}_{2}X\times\mathbb{Z}_{2}X\times\mathbb{Z}_{3}X\times\mathbb{Z}_{27}</math>
<math>\mathbb{Z}_{2}X\times\mathbb{Z}_{2}X\times\mathbb{Z}_{9}X\times\mathbb{Z}_{9}</math>
<math> \mathbb{Z}_{2}X\times\mathbb{Z}_{2}X\times\mathbb{Z}_{9}X\times\mathbb{Z}_{3}X\times\mathbb{Z}_{3} \cong \mathbb{Z}_{2}X\times\mathbb{Z}_{18}X\times\mathbb{Z}_{3}X\times\mathbb{Z}_{3}</math> (*)
<math>\mathbb{Z}_{2}X\times\mathbb{Z}_{2}X\times\mathbb{Z}_{3}X\times\mathbb{Z}_{3}X\times\mathbb{Z}_{3}X\times\mathbb{Z}_{3}X\times\mathbb{Z}_{3}</math>
לחבורה (*) יש אקספוננט 18 ולאחרות אין? החבורה שמסומנת ב-(*) היא התשובה לשאלה?
:הפירוק של החבורה שהצגת הוא מדויק, ונותר רק לחשב את האקספוננט של כל פירוק שכזה. אקספוננט של חבורה הוא הכפולה המשותפת הקטנה ביותר של כל סדרי איבריה. במקרה שפרקת את החבורה להצגה קנונית, כפי שעשית כאן, הרי שהחישוב הוא קל: לכל גורם ראשוני p בוחרים את החזקה המקסימלית שלו שמופיעה בפירוק, ומכפילים הכל. במקרה שלנו מתקיים <math>18=2^13^2</math>, ולכן אנו מחפשים פירוק שבו החזקה המקסימלית של 2 תהיה 1, ושל 3 תהיה 2. כדי שהחזקה המקסימלית של 2 תהיה 1, עלינו לבחור את <math>\mathbb{Z}_{2}\times \mathbb{Z}_{2}</math>, כי האפשרות השניה נותנת חזקה גבוהה יותר, <math>2^2</math>. בדומה, מבין חמש האפשרויות של חבורה אבלית מסדר 81 עלינו לבחור את זו שבה הסדר הגדול ביותר הוא 9, דהיינו '''אחת''' משתי האפשרויות <math>\mathbb{Z}_{9}\times\mathbb{Z}_{9}</math> ו-<math>\mathbb{Z}_{9}\times\mathbb{Z}_{3}\times\mathbb{Z}_{3}</math>. בסך הכל מצאנו שתי תשובות אפשריות: <math>\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{9}\times\mathbb{Z}_{9}</math> ו-<math> \mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{9}\times\mathbb{Z}_{3}\times\mathbb{Z}_{3}</math>. חיים רוזנר 05:00, 26 בינואר 2014 (EST)
== צורה קנונית ==