שינויים
:אחת מן הטענות בתרגול בעצם הראתה כי אפשר להגדיר יחס שקילות על האיברים של <math>G</math> שמוגדר כך שאיברים <math>a,b</math> שקולים אם הם נמצאים באותה מחלקה שמאלית של <math>H</math>. מחלקות השקילות תחת יחס השקילות הזה הן בדיוק המחלקות השמאליות.
== שאלה HH=H ==
אני רוצה להוכיח את הטענה שאומרת שבהינתן תת-קבוצה <math>H</math> סופית ולא ריקה בחבורה <math>G</math> מתקיים:
<math>H</math> תת חבורה של <math>G</math> אם ורק אם <math>HH=H</math>.
:(הערה לטובת הקוראים: להלן יופיעו שתי הוכחות לטענה <math>H\leq G \Rightarrow HH=H</math>.)
האם שתיי ההוכחות הבאות מדוייקות?
לכן <math>H\subseteq HH</math>.
:הצד הזה נראה לי נכון. חיים רוזנר 04:21, 22 בדצמבר 2013 (EST)
2. נוכיח כי <math>HH\subseteq H</math>.
יהי <math>h\in HH</math>.
:ניסוח שכזה איננו מתבקש. ההגדרה של HH היא של מכפלות מהצורה <math>h_1\cdot h_2</math>, ולכן היה מתבקש כאן לומר 'יהי <math>h_1 \cdot h_2 \in HH</math>'.
<math>h\in H , e\in H</math> ומסגירות של <math>H</math> נובע כי <math>he\in H</math>.
:כאן כבר יש טעות נגררת. לא ניתן להניח כי <math>h \in H</math>, סתם כך מהנתון <math>h\in HH</math>. חיים רוזנר 04:21, 22 בדצמבר 2013 (EST)
אבל <math>h=he</math> ולכן <math>h\in H</math>.
מסגירות של <math>H</math> נקבל:
<math>HH=\left \{ h1h2h_1h_2|h1h_1,h2h_2\in H \right \}\sqsubset subseteq H</math>.
מצד שני, <math>H=eH\sqsubset subseteq HH</math>.
ומשתיי ההכלות נובע השיוויון <math>H=HH</math>
שאלה: למה <math>eH\sqsubset subseteq HH</math>? :בעזרת ההגדרה <math>AB=\{ab\colon a\in A, b\in B\}</math>, מתקיים השויון <math>gH=\{g\}H</math>. חיים רוזנר 04:40, 22 בדצמבר 2013 (EST)
ועוד שאלה: האם שתיי ההוכחות נכונות? (שתיי ההוכחות הן של הכיוון מימין לשמאל)
:בכיוון 2 של הראשונה מצאתי טעות. בשאר ההוכחות לא. חיים רוזנר 04:40, 22 בדצמבר 2013 (EST)
== איך מוכיחים את הטענה הזו...אמורה להיות פשוטה.. ==
:תת־חבורה היא חבורה בעצמה. לכל איבר <math>g \in G</math> בחבורה נמצא גם ההופכי שלו <math>g^{-1} \in G</math>. ידוע לנו שמתקיים <math>\left(g^{-1}\right)^{-1}=g</math> לכל איבר. זה כמעט מסיים את ההוכחה.
== מנסה להוכיח משהו ללא הצלחה... HK חבורה אםם HK=KH ==
זו הטענה:
ידוע ש: <math>(HK)^{-1}=HK</math>.
:מנין זה ידוע? וודא שיש לך הוכחה ראויה לטענה זו. חיים רוזנר 04:55, 22 בדצמבר 2013 (EST)
יהא <math>g\in HK</math> לכן <math>g=hk</math> כך ש- <math>h\in H , k\in K</math>.
(יצאנו מ-<math>g\in HK</math> לכן צריך להראות ש- <math>g\in KH</math>).
'''האם יש דרך אחרת להוכיח את הכיוון הזה?'''
:אני הייתי מתחיל 'יהי <math>g\in HK</math>, אזי גם <math>g^{-1}\in HK</math>.' הייתי מנסה להמשיך משם. חיים רוזנר 04:55, 22 בדצמבר 2013 (EST)
גם בהוכחה ש- <math>HK=KH</math> גורר <math>HK</math> תת חבורה, יש לי בעיה...
סגירות:
יהיו <math> g1g_1,g2g_2\in HK</math>.
לכן <math>g1g_1=h1k1 h_1k_1 , h1h_1\in H , k1k_1\in K</math>.
כמו כן,
<math>g2g_2=h2k2 h_2k_2 , h2h_2\in H , k2k_2\in K</math>. מקבלים <math>g_1g_2=(h_1k_1)(h_2k_2)=h_1(k_1h_2)k_2</math>
מתקיים ש <math>k1k_1=k1ek_1e</math> ו- <math>h2h_2=eh2eh_2</math> ומכאן ש <math>k1k_1,h2h_2\in KH</math>.
'''למה הטיעון הבא נכון:'''
<math>HK=KH</math> לכן קיימים <math>k3k_3\in K , h3h_3\in H </math> כך ש <math> k1h2k_1h_2=h3k3h_3k_3</math>?
נראה לי שעשו שם עוד מעבר בלי לציין. אפשר הסבר מפורט יותר???
:אני לא מבין טיעון זה בעצמי. אולי הם ניסו להוכיח <math>k_1h_2\in HK</math> איכשהו? חיים רוזנר 04:55, 22 בדצמבר 2013 (EST)
'''ושאלה אחרונה, כמו קודם, האם גם את ההוכחה האחרונה אפשר להוכיח בדרך אחרת?'''
:אני הייתי מתחיל 'יהי <math>g_1\in HK</math>, ויהי <math>g_2\in KH</math>'. ומנסה להתקדם משם. חיים רוזנר 04:55, 22 בדצמבר 2013 (EST)
== כמה שאלות חשובות על מעברים בהוכחה של משפט לגראנז' שלא מובנים לי ==
<math>H</math> תת חבורה של G ולכן עוצמתה קטנה או שווה לעוצמת G, לכן הסדר של H הוא <math>o(H)=m</math>.
'''<math>H</math> מחלקת את החבורה <math>G</math> למחלקות זרות שכל אחת מהן מכילה <math>o(H)</math> איברים, ומספר המחלקות הוא בהכרח סופי.'''.
בשורה האחרונה כתובות 3 טענות. אין לי את ההוכחות שלהן.
השלב האחרון בהוכחה שגם כן לא מובן לי, אומר ש
אם מספר המחלקות הוא <math>j</math>, אזי <math>o(G)=o(H)*\cdot j</math>.
אפשר בקשה הסבר גם על המעבר הזה?
תודה רבה על העזרה
:ננסח את הטענות בצורה אחרת. הטענה הראשונה היא 'החלוקה של G למחלקות שמאליות של H היא חלוקה למחלקות זרות', דהיינו שתי מחלקות שמאליות הן שוות זו לזו או זרות זו לזו. הטענה השנייה היא 'עוצמת כל מחלקה שמאלית gH שווה לעוצמת H', <math>|gH|=|H|</math>. הוכחות לשתי הטענות האלו הופיעו בשיעור התרגיל, בתחילת הנושא 'מחלקות שמאליות'. הוכחת הטענה השלישית היא שאין יותר מחלקות לא ריקות של החבורה G מאשר איברי החבורה G, ובפרט מספר זה הוא סופי. :השלב האחרון הוא נסיון לחשב את מספר האיברים ב-G בשתי דרכים: דרך ראשונה היא לפי הסדר של G. אפשרות שנייה היא לפי סכום של מספר האיברים בכל מחלקה. מספר זה הוא קבוע לכל מחלקה, לפי הטענה השנייה, וזה מיושם כאן במובלע. :נעיר כאן בשולי הדברים כי <math>o(G)</math> הוא סימון אחר לסדר של G, וכי <math>o(g)</math> הוא סימון אחר לסדר של g. חיים רוזנר 05:09, 22 בדצמבר 2013 (EST) = שאלה = מספר המחלקות השמאליות ==
אם <math>G</math> חבורה ו-<math>H</math> תת חבורה של <math>G</math>.
'''לכן מספר המחלקות של תת חבורה <math>H</math> של <math>G</math> הוא: <math>|G-H|+|H|=|G|</math> ?'''
:הטענה איננה נכונה. הליקוי בטיעון הוא שיש מקרים בהם <math>g_1\neq g_2</math>, ועדיין <math>g_1H=g_2H</math>, ולכן ספרת כאן <math>|G|</math> צורות רישום שונות, אבל יש יותר מצורת רישום אחת למחלקה. הדוגמא הנגדית היא <math>2\mathbb Z \le \mathbb Z</math>. מתקיים <math>0+2\mathbb Z=2+2\mathbb Z</math>, ולכן יש כאן יותר צורות רישום מאשר מחלקות. חיים רוזנר 05:18, 22 בדצמבר 2013 (EST)
== מחלקות של תת חבורה ==
: לא.
: קח/י את החבורה <math>\mathbb{Z}</math>, קח/י את תת החבורה <math>2\mathbb{Z}</math>, מספר המחלקות של <math>2\mathbb{Z}</math> ב-<math>\mathbb{Z}</math> הוא 2.
::תודה רבה ל[[לא מתרגל]]. חיים רוזנר 05:23, 22 בדצמבר 2013 (EST)
== סדר ==
:(לא מתרגל)
:לא.
:החבורה הדיהדרלית למשל (לאף אחד מאיבריה אין סדר ששווה לסדר החבורה), ולמעשה כל חבורה שאינה ציקלית (אין לה יוצריםיוצר, ובפרט אין לה איברים שהסדר שלהם הוא כסדר החבורה). ::תודה רבה ל[[לא מתרגל]]. חיים רוזנר 05:26, 22 בדצמבר 2013 (EST)
== משפט אוילר. ..אפשר בקשה הסבר לשלב האחרון בהוכחה? ==
משפט אוילר:
יהיו <math>n,m</math> מספרים טבעיים זרים, אז <math>m^{\phi (n)}\equiv 1(modn)\pmod n</math>,
כאשר <math>\phi (n)</math> היא פונקציית אוילר, '''המחזירה את מספר המספרים הטבעיים שזרים ל-n וקטנים ממש מ-n'''.
'''הוכחה'''
קבוצת המספרים הטבעיים שקטנים מ-<math>n</math> וזרים ל-<math>n</math> הם חבורה <math>GU_n</math> ביחס לכפל מודולו <math>n</math>.
סדר חבורה זו הוא <math>\phi (n)</math>.
<math>GU_n</math> חבורה סופית מסדר <math>\phi (n)</math> ולכן בחבורה זו מתקיים:
<math>g^{\phi (n)}=e</math> לכל <math>g\in GU_n</math>.
בחבורה זו איבר היחידה הוא 1.
כל השלב הבא, לא מובן לי לחלוטין''':
לכן לכל <math>m</math> שזר ל-<math>n</math> קיים <math>0<m1m_1<n</math> כך ש
<math>m^{\phi (m)}\equiv m1m_1^{\phi (m)}\equiv 1(modn)\pmod n</math>.
מישהו יכול להסביר את השלב הזה. כל השלב הזה לא מובן לי מתחילתו ועד סופו.
:(בוצעו תיקוני לאטך, וקראתי לחבורת הזרים ל-n הקטנים ממנו בשמה, <math>U_n</math>). עד לשלב זה הוּכְחָה הטענה לכל <math>m\in U_n</math>, דהיינו לכל m זר ל-n וקטן ממנו. אנו רוצים להרחיב את ההוכחה גם ל-m זר ל-n אבל גדול ממנו. הטענה היא שלכל <math>m</math> שכזה קיים <math>m_1\in U_n</math> שתואם לו, דהיינו מקיים <math>m \equiv m_1 \pmod n</math>. חיים רוזנר 05:36, 22 בדצמבר 2013 (EST)
::כתבת ש"הטענה היא שלכל...." למה הטענה הזו נכונה?
:::לפי משפט החילוק, לכל <math>m</math> שלם קיימים <math>m_1</math> ו-<math>q</math> שלמים כך ש- <math>m=qn+m_1</math>. <math>m_1</math> ו-<math>q</math> האלה הם יחידים אם קובעים <math>0\le m_1 < n</math>. כעת, עלינו להראות כי אם <math>m</math> זר ל-<math>n</math>, אז גם <math>m_1</math> זר ל-<math>n</math>. וזה נובע מכך שההפרש ביניהם הוא כפולה של <math>n</math>, ולכן השארית שלהם ב-<math>n</math> היא שווה. שארית זו, הלוא היא <math>m_1</math> בעצמה, זרה ל-<math>n</math>. לסיכום, מצאנו כי <math>m_1 \in U_n</math>. חיים רוזנר 04:59, 5 בינואר 2014 (EST)
== טעות בהגדרת מושגים בתרגיל 7? ==
בהרצאה הניסוח היה אחר: אם <math>f: G\rightarrow H</math> '''הומומורפיזם'''. אזי ההעתקה <math>\hat{f}:G/kerf\rightarrow Imf</math> היא איזומורפיזם.
כלומר מספיק ש-<math>f</math> היא הומו', היא לא צריכה להיות גם מונו'.
:תודה על התיקון. העליתי נוסח מתוקן, בהתאם. חיים רוזנר 05:43, 22 בדצמבר 2013 (EST)
== מה הדרך הנכונה להפעיל פרמוטציה אחת על השניה? ==
נניח שיש לי הרכבה של שתי פרמוטציות: <math>\alpha =(234), \beta=(351)</math> ואני רוצה לחשב את <math>\alpha\beta=(234)(351)</math>.
את מי אני מפעיל קודם, את <math>\alpha</math> או את <math>\beta</math>? כי אני מקבל תוצאות שונות בשני המקרים...
:פרמוטציות, או תמורות, הן פונקציות. הפעולה שלהן היא הרכבה, וכמו כל הרכבה אנו מפרשים אותה '''מימין לשמאל'''. דהיינו, במקרה הכללי, <math>f \circ g (x)=f(g(x))</math>. אם כן, גם את התמורות מפעילים מימין לשמאל. בדוגמא שלעיל, מפעילים קודם את <math>\beta</math> ואחריה את <math>\alpha</math>. כך, לדוגמא, <math>\beta</math> מעבירה את <math>1</math> ל-<math>3</math>, ואחריה <math>\alpha</math> מעבירה את <math>3</math> ל-<math>4</math>. לכן ההרכבה מעבירה את <math>1</math> ל-<math>4</math>. ובנוסחא, <math>\alpha\circ\beta(1)=\alpha(\beta(1))=\alpha(3)=4</math>. חיים רוזנר
::תודה.
== הרכבה של שתי פרמוטציות. ==
האם זה נכון שהרכבה של שתי פרמוטציות מאותה ''צורה'' (כלומר יש להם את אותו מבנה של מחזורים זרים) גם תיתן פרמוטציה מאותה הצורה?
למשל: <math>\sigma_1=(a_1a_2a_3)(a_4a_5)</math> ו-<math>\sigma_2=(a_5a_6a_4)(a_8a_7)</math> (המחזורים זרים). האם <math>\sigma_1\sigma_2</math> גם יהיה מהצורה הנ"ל (כלומר שני מחזורים באורך 2 ו-3 שזרים זה לזה)?
אם כן, האם אפשר להשתמש בזה בתרגיל? (ואיפה אפשר למצוא לזה הוכחה?)
:בדוק את המקרה <math>\sigma_1=(12),\sigma_2=(13)</math>. אנחנו אמרנו בשיעור התרגיל שעבור תמורה <math>\sigma</math> נתונה, ועבור תמורה נוספת <math>\tau</math> כלשהי, לתמורות <math>\sigma</math> ו-<math>\tau\sigma\tau^{-1}</math> אותו מבנה מחזורים. חיים רוזנר
::תודה.
== תאריך הגשה לתרגיל 8? ==
לא ציינתם למתי להגיש את תרגיל 8.
:פורסם. תודה. חיים רוזנר 05:12, 6 בינואר 2014 (EST)
== טעות בתרגיל 8, שאלה 8 סעיף ג. ==
נדרשנו להוכיח:
יהי <math>\alpha=(a_1a_2...a_r)</math> מחזור, <math>r</math> ראשוני.
אזי כל חזקה של <math>\alpha</math> היא מחזור.
הטענה הזאת לא נכונה.
עבור כל חזקה שהיא כפולה של <math>r</math>, נקבל את פרמוטציית הזהות, והיא לא מחזור.
:תמורת הזהות היא מחזור מאורך 1: היא מסובבת את האיבר(ים) בסדרה (1), ומשאירה במקומם את כל שאר האיברים בקבוצה. כך אנו מתייחסים אליה, ולכן היא מחזור. חיים רוזנר 05:53, 14 בינואר 2014 (EST)
== טעות בתרגיל 8, שאלה 11? ==
צ"ל <math>D_n\cong S_{2n}</math> לכל <math>n\geq 3</math> ולא <math>D_n\cong S_{n}</math> לכל <math>n\geq 3</math>
:יש לשים לב מבקשים להוכיח כי <math>D_n</math> איזומורפית לת"ח של <math>S_n</math>, לא כי היא איזומורפית ל-<math>S_n</math>. שני האיזומורפיזמים שרשמת אינם נכונים עבור <math>n \ge 4</math>.
::התכוונתי שזה אמור להיות <math>D_n</math> איזומורפית לתת"ח של <math>S_{2n}</math> ולא <math>D_n</math> איזומורפית לתת"ח של <math>S_n</math>, כי ב-<math>D_n</math> יש <math>2n</math> איברים.
:::ובכן, אמת. לפי משפט קיילי ניתן לטעון ש-<math>D_n</math> משוכנת ב-<math>S_{2n}</math>, אבל השאלה בתרגיל היא כנראה לפי טענה אחרת, שמראה ש-<math>D_n</math> משוכנת גם ב-<math>S_n</math>. לטענתך, אינני סבור כי יש טעות בתרגיל זה. נראה לי שלמעשה יש קונצנזוס של שלושת המתרגלים בעניין. :( חיים רוזנר 06:06, 14 בינואר 2014 (EST)
== שאלה על תרגיל בית 7 שאלה 2 סעיף 1 ==
שואלים האם החבורות הבאות איזומורפיות: <math>\mathbb{Z}_{11}X\mathbb{Z}_{11}</math> ו- <math>\mathbb{Z}_{121}</math>.
כמה שאלות כלליות לפני השאלה הספציפית הזו:
א'. מהם הדרכים להוכיח שחבורות הן איזומורפיות זו לזו?
ב'. מהם הדרכים להוכיח שחבורות אינן איזומורפיות זו לזו?
:הדרך האולטימטיבית להראות ששתי חבורות איזומורפיות זו לזו היא למצוא איזומורפיזם ביניהן.
:כעצה להגדרת הומומורפיזם, אם ידועה קבוצה יוצרת של אחת החבורות, מספיק להגדיר את הפונקציה על הקבוצה היוצרת, ולוודא שניתן להרחיב זאת להומומורפיזם. לאחר מכן, יש לבדוק שזה אכן חח"ע ועל, ואז הוא איזומורפיזם. כמובן, הפונקציה הזו צריכה לשמור על סדרי האיברים, ולכן אין טעם לבדוק הומומורפיזם שלוקח איבר מהקבוצה היוצרת לאיבר מסדר שונה, וכן הלאה.
:הדרך להראות כי שתי חבורות '''אינן''' איזומורפיות זו לזו היא לשלול קיומו של איזומורפיזם שכזה.
:יש מספר עצום של דרכים לוודא זאת. דרך אחת היא להראות שמספר האיברים מסדר x בחבורה זו שונה ממספרם בחבורה השנייה. דרך אחרת היא להראות שהאחת אבלית והשנייה לא. דרך שלישית היא להראות שמרכזי החבורות אינן איזומורפיים. וכן הלאה.
:בגדול, כל מושג בקורס שהגדרתו התחילה במילים 'תהי G חבורה' צריך להישמר תחת איזומורפיזם, ולכן די למצוא מושג אחד כזה שבו יש שוני, ושללנו קיום איזומורפיזם. חיים רוזנר 06:47, 14 בינואר 2014 (EST)
ובנוגע לשאלה הספציפית הזו:
1. באיזו פעולה מדובר כאן?
2. בתשובות כתוב שב- <math>\mathbb{Z}_{11}\times\mathbb{Z}_{11}</math> אין איבר מסדר 121. איך אני מראה שאין שם איבר מסדר 121?
3. למה מהעובדה ש-1 איבר יוצר של <math>\mathbb{Z}_{121}</math>, ומכך שב- <math>\mathbb{Z}_{11}\times\mathbb{Z}_{11}</math> אין איבר מסדר 121, נובע שהחבורות אינן איזומורפיות?
אם אפשר בבקשה תשובות מפורטות. לא ברור לי הדברים האלה.
תודה!
# שני הרכיבים של <math>\mathbb{Z}_{11}\times\mathbb{Z}_{11}</math> כמו גם <math>\mathbb{Z}_{121}</math> הן חבורות חיבוריות. ראה עוד פירוט לעיל בדף השיחה, לגבי החבורה Z10 X Z10.
# אתה מראה שלכל איבר בחבורה קיים n קטן מ-121 כך שיתקיים <math>(a,b)^n=(e,e)</math>.
# אילו היה איזומורפיזם כזה, הוא היה שולח את 1, היוצר, לאיבר מאותו סדר ב-<math>\mathbb{Z}_{11}\times\mathbb{Z}_{11}</math>. אבל אין איבר מאותו סדר ב-<math>\mathbb{Z}_{11}\times\mathbb{Z}_{11}</math>, ולכן אין איזומורפיזם כזה. חיים רוזנר 06:47, 14 בינואר 2014 (EST)
== תרגיל 7 שאלה 2 סעיף 2 ==
מראים שם מדוע החבורות <math>\mathbb{Z}_{21}</math> ו-<math>\mathbb{Z}_{3}\times\mathbb{Z}_{7}</math> הן איזומורפיות.
אשמח להסבר מפורט על השאלות הבאות: (אין טעם להפנות אותי לתרגולים/הרצאות כי כבר קראתי שם וזה לא עוזר לי בשום אופן כאן).
1. איך מוכיחים של-<math> \mathbb{Z}_{21}</math> יש יוצר יחיד? 1 הוא יוצר...בסדר. למה אבל 1 הוא היחיד?
:התכוונתי לומר שהקבוצה <math>\{1\}</math> היא קבוצה יוצרת. מכיוון שיש קבוצה יוצרת בת איבר יחיד, החבורה הזו ציקלית. כמובן, יש עוד יוצרים לחבורה הזו.
2. למה היוצר של <math>\mathbb{Z}_{3}\times\mathbb{Z}_{7}</math> הוא (1,1)? הרי החבורה היא <math> \mathbb{Z}_{3}\times\mathbb{Z}_{7}=\left \{ 0,1,2 \right \}\times\left \{ 0,1,2,3,4,5,6 \right \}</math>. אפשר בבקשה להדגים לי איך בדיוק האיבר (0,2) למשל, נוצר ע"י (1,1)? או איך למשל האיבר (2,5) נוצר ע"י (1,1)?
:ראשית, נראה כי (1,1) הוא יוצר: הוא איבר בחבורה מסדר 21, ולכן סדרו מחלק את 21. האפשרויות הן 1, 3, 7 ו-21. חישוב קל פוסל את שלוש האפשרויות הראשונות, ולכן הסדר הוא 21.
:דרך אחרת היא לחפש פתרון למשוואה <math>n(1,1)=(a,b)</math>, לכל a ו-b מתאימים. אם נפרק את הטענה לשני הרכיבים של מכפלת החבורות <math>\mathbb{Z}_{3}\times\mathbb{Z}_{7}</math>, ונעבור לרישום מודולו, ונקבל את שתי המשוואות להלן: <math>n\equiv b \pmod 7</math>, <math>\mathbb{Z}_{3}\times\mathbb{Z}_{7}</math>. לפי משפט השאריות הסיני, משוואה זו פתירה.
:בפרט, <math>9(1,1)=(9,9)=(0,2)</math>, וכן <math>5(1,1)=(5,5)=(2,5)</math>. לסיכום, אם m ו-n זרים, אז החבורה <math>\mathbb{Z}_{m}\times\mathbb{Z}_{n}</math> היא ציקלית, ולפי משפט השאריות הסיני, <math>(1,1)</math> הוא יוצר שלה.
3. למה (1,1) הוא יוצר יחיד של החבורה <math>\mathbb{Z}_{3}\times\mathbb{Z}_{7}</math>? איך מוכיחים שאין עוד?
:התשובה לשאלה 1 יפה כוחה גם כאן.
4. האיזומורפיזם שהגדירו בתשובה לא מובן.
מה המשמעות של <math>[1]->(1,1)</math> מה זה בדיוק <math>[1]</math>? זו הקבוצה שנוצרת ע"י 1? אם כן, עדיין לא ברור לי מה זה האיזומורפיזם הזה וכיצד הוא מוגדר. איזומורפיזם אמור להיות מוגדר כך שלכל איבר ב- Z21 מותאם ערך כלשהו.
:הכוונה בסימון היא לאיבר 1 בחבורה <math>\mathbb{Z}_{21}</math>. ניתן להתעלם מהסוגריים המרובעים. הם מציינים כאן שקילות מודולו 21, דהיינו <math>[22]=[1]</math>, אבל זה עלול לסבך יותר מאשר לעזור.
:האיזומורפיזם הוא זה שלוקח את 1 ל-<math>(1,1)</math>. מכיוון שהגדרנו אותו על קבוצת יוצרים, ניתן להרחיב העתקה זו להומומורפיזם לכל היותר באופן יחיד. במקרה שלנו, ההומומורפיזם הוא <math>f(n)=(n,n)</math>. אם לוקחים את התמונה תחת מודולו, בהתאם לרכיב, הרי שמתקבל הומומורפיזם. ניתן להראות כי הוא הפיך, לפי הטענה ש-(1,1) יוצר את <math>\mathbb{Z}_{3}\times\mathbb{Z}_{7}</math>, ולכן זהו איזומורפיזם. חיים רוזנר 07:47, 14 בינואר 2014 (EST)
אם אפשר בבקשה הסברים מפורטים, זה יעזור המון.
ותודה.
== שאלה על קוסטים וחבורות מנה ==
מגדירים העתקה כזו:
<math>f:G\rightarrow G/H</math> כך ש:
<math>f(g)=Hg</math>.
<math>G</math> היא קבוצת המטריצות ההפיכות.
<math>H</math> היא קבוצת המטריצות עם דטרמיננטה 1
למה מטריצה בקבוצה <math>G</math> בעלת דטרמיננטה 3, תישלח לקוסט שמכיל מטריצות עם דטרמיננטה 3? לא ממש רואה את זה..אפשר הסבר?
:נניח A מטריצה עם דטרמיננטה 3. אז יתקיים <math>f(A)=HA=\{BA\colon\det B =1\}</math>. הדטרמיננטה של מטריצה בקבוצה זו היא לפיכך <math>\det(BA)=\det(B)\det(A)=1\cdot 3=3</math>. לכן התמונה היא כל המטריצות עם דטרמיננטה 3. חיים רוזנר 08:46, 14 בינואר 2014 (EST)
ושאלה נוספת..
אם אני מפעיל את f על איבריו של קוסט כלשהו, כלומר אני מקבל
<math>f(ha)=f(h)f(a)=??</math>
:כפי שברור מהנתון, H נמצאת בגרעין של f, ולכן לכל איבר <math>ha\in Ha</math> יתקיים <math>f(ha)=f(h)f(a)=Hh\cdot Ha=Ha</math>. חיים רוזנר 08:46, 14 בינואר 2014 (EST)
== שאלה על תרגיל 7 שאלה 5 ==
http://math-wiki.com/images/7/70/74as7a.pdf
ממשפט האיזומורפיזם הראשון, מתקיים ש <math>G/ker(f)\cong Imf</math>. (*)
מהאיזומורפיזם שמסומן ב-*, אפשר להסיק שמספר הקוסטים של <math>kerf</math> ב-<math>G</math> הוא כמספר איברי <math>Imf</math>.
אבל למה אפשר להגיד ש- <math>\frac{|G|}{|kerf|}=|Imf|</math>? איך בדיוק זה נובע מלגראנז'?
ממה שידוע לי, מה שנובע מלגראנז, זה רק שהסדר של <math>kerf</math>, מעצם היותה תת חבורה של <math>G</math>, מחלק את הסדר של
<math>G</math>.
למה בכלל נכון לומר ש- <math>\frac{|G|}{|kerf|}=\left | G/kerf \right |</math>?
המספר שמימין, מציין את מספר הקוסטים של הגרעין ב-<math>G</math>, בעוד שהמספר משמאל מציין את מספר האיברים ב-<math>G</math>
חלקי מספר האיברים בגרעין. אלו לא שניי דברים שונים?
:באופן כללי אם <math>N \vartriangleleft G</math> תת־חבורה נורמלית של חבורה סופית <math>G</math>, אז <math>\left| G/N \right| = \frac{|G|}{|N|}</math>. אפשר לראות את ההוכחה של זה כשהצגנו את <math>G</math> בתור איחוד זר של קוסטים של <math>N</math>, שהם שווים בגודלם.
== תרגיל 7 שאלה 6. ==
http://math-wiki.com/images/7/70/74as7a.pdf
קודם כל בשאלה 6, סעיף 1.
ע"פ שאלה 5, הסדר של <math>\textrm{Im}f</math> מחלק את 3.
'''שאלה ראשונה''':
בפתרון כתוב ש <math>\mathbb{Z}_{18}</math> היא חבורה ציקלית ולכן יש לה תת חבורה יחידה מכל סדר.
לא ברור לי המשפט הזה. למה זה שהיא ציקלית, זה אומר שיש לה תת חבורה יחידה מכל סדר? זה שהיא ציקלית, זה אומר שקיים בה איבר
שיוצר את החבורה.
:הכוונה במשפט "יש לה תת־חבורה יחידה מכל סדר" הוא שיש לחבורה ציקלית מסדר <math>n</math> תת־חבורה יחידה מכל סדר שמחלק את <math>n</math>. לכן אם גילו שיש לנו תת־חבורה מסדר 3 בחבורה ציקלית מסדר 18, אנחנו יודעים מי היא בדיוק.
'''שאלה שנייה'''
דבר שני שלא ברור לי, זה למה המידע הזה נחוץ עבור פתרון השאלה.
:פתרון השאלה דרש לדעת מה היא התמונה, שהיא הרי תת־חבורה של החבורה בטווח.
'''שאלה שלישית'''
למה <math>\textrm{Im}f=\{0,6,12\}</math>?
:ראינו בתרגול בהנתן חבורה ציקלית מסדר <math>n</math>, איך למצוא תת־חבורה שלה מסדר <math>m</math> (כמובן כאשר <math>m|n</math>). במקרה הזה אחרי שרואים את התשובה, רואים כי <math>\{0,6,12\}</math> היא תת־חבורה, ושהיא מסדר 3. לפי השאלה הראשונה, היא תת־החבורה היחידה מסדר 3 של <math>\mathbb{Z}_{18}</math>.
'''שאלה רביעית'''
ביקשו למצוא את כל הת"ח של <math>\mathbb{Z}_{18}</math> מסדר 3. למה אין חבורות כאלה?
:ראה לעיל, שאכן יש בדיוק אחת כזו.
== כתיבת תמורה כמכפלה של מחזורים זרים. ==
האם כל רכיב בתמורה המקורית, חייב להופיע כשכותבים אותה כמכפלה של מחזורים זרים, גם אם בתמורה המקורית הוא עובר לעצמו?
לדוגמה, אם נתונה התמורה:
<math>\begin{pmatrix}
1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10 \\
3 &7 &5 &4 &1 &10 &9 &2 &8 &6
\end{pmatrix}</math>
4 עובר לעצמו.
אני רוצה לרשום אותה כמפלה של מחזורים זרים. החלק שקצת פחות ברור לי, זה איך לטפל ב-4. האם שתיי התשובות הבאות נכונות, או רק אחת מהן?
תשובה 1:
<math>(135)(2798)(4)(6 10)</math>
תשובה 2:
<math>(135)(2798)(6 10)</math>
כלומר בתשובה הראשונה כתבתי את ה-4 לבד בתוך סוגריים.
בתשובה השנייה התעלמתי ממנו, כי הוא עובר לעצמו.
תודה על העזרה.
:שתי התשובות נכונות, אבל תשובה 2 היא יותר מקובלת. כמו שראינו בכיתה, נהוג להשמיט "מחזורים מאורך 1" בכתיב של מחזורים זרים. זו אחת הסיבות שהוא יותר חסכוני מהכתיב של המטריצה למעלה.
:(הערה טכנית: אם אתה מדפיס תמורות, כדאי לשמור על רווחים בין האיברים בכל מחזור, למשל <math>(6\ 10)</math>, או להוסיף פסיקים.)
== שאלה על תמורות ==
נתונה החבורה
{<math>{{Id,(12)(34),(13)(24),(14)(23)}}</math>}
האם החבורה הזו אבלית? אם כן, מדוע?
:היא אבלית, וראינו אותה בכיתה בשם חבורת קליין (עוד בויקיפדיה: [https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%97%D7%91%D7%95%D7%A8%D7%AA_%D7%94%D7%90%D7%A8%D7%91%D7%A2%D7%94_%D7%A9%D7%9C_%D7%A7%D7%9C%D7%99%D7%99%D7%9F חבורת הארבעה של קליין]).
יש כאן איזהו משפט שאפשר להסתמך עליו? אם כן, מה הניסוח המדויק שלו?
ועוד שתיי שאלות נוספות:
יש דרך להראות שהחבורה סגורה לפעולת ההרכבה מבלי להראות זאת על כל זוג איברים?
:ידוע שהרכבה עם הזהות תשאיר אותנו בחבורה. לשאר האיברים אפשר לשים לב שכולם מסדר 2, ולכן מכפלה של איבר עם עצמו תתן את הזהות. מכפלה של שני איברים שונים (שאינם הזהות) תתן את האיבר השלישי <math>(x\ y)(z\ w)\cdot(x\ z)(y\ w)=(x\ w)(y\ z)</math>.
'''למה זה ששאר האיברים מסדר 2, אומר שאם אכפיל כל שניים מהאיברים מסדר 2, אקבל את הזהות?'''
:אלו שני דברים שונים: אם איבר הוא מסדר 2, אז לפי הגדרה של סדר של איבר, אם תכפיל אותו בעצמו תקבל את איבר היחידה (העתקת הזהות במקרה זה). בנוסף, במקרה הספציפי של החבורה הנ"ל, מכפלה של שני איברים שונים מסדר 2 היא האיבר השלישי מסדר 2 (ולא העתקת הזהות).
איך מראים שקיים הפכי ושהוא שייך לקבוצה?
:כל האיברים (פרט ליחידה) הם מסדר 2.
'''אז למה זה אומר שלכל איבר קיים הפכי ושההפכי שייך לחבורה?'''
:מה הוא האיבר ההופכי של איבר מסדר 2?
== שאלה לגבי מיון חבורות אבליות שראינו בתרגול ==
מהתרגול:
תהי G חבורה אבלית מסדר <math>2^2\cdot 5^2=100</math>, אז G איזומורפית לאחת מהחבורות הבאות:
<math>\mathbb{Z}_{4}\times \mathbb{Z}_{25}</math>
<math>\mathbb{Z}_{2}\times \mathbb{Z}_{2}\times \mathbb{Z}_{25}</math>
<math>\mathbb{Z}_{2} \times\mathbb{Z}_{2}\times \mathbb{Z}_{5}\times \mathbb{Z}_{5}</math>
<math>\mathbb{Z}_{4}\times\mathbb{Z}_{5} \times\mathbb{Z}_{5}</math>
אבל מה לגבי: <math>\mathbb{Z}_{2}\times \mathbb{Z}_{10}\times \mathbb{Z}_{5}</math> לדוגמא? למה זו לא חבורה נוספת ש-G יכולה להיות איזומורפית אליה?
:כמו שהראינו בכיתה: <math>\mathbb{Z}_{nm} \cong \mathbb{Z}_{n} \times \mathbb{Z}_{m}</math> אם <math>(n,m)=1</math>. לכן <math>\mathbb{Z}_{10} \cong \mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{5}</math>, כלומר החבורה שאתה מציע איזומורפית ל-<math>\mathbb{Z}_{2} \times\mathbb{Z}_{2}\times \mathbb{Z}_{5}\times \mathbb{Z}_{5}</math>.
== חבורת מנה של חבורה אבלית היא אבלית ==
<math>G</math> אבלית ו- <math>H</math> תת חבורה נורמלית של <math>G</math>.
האם נכון לומר שחבורת המנה <math>G/H</math> אבלית?
אם כן למה?
:(לא מתרגל)
:כן.
:תוכל/י למצוא לזה הוכחה כאן: http://www.proofwiki.org/wiki/Quotient_Group_of_Abelian_Group_is_Abelian.
::תודה רבה ל[[לא מתרגל]]. חיים רוזנר 07:06, 20 בינואר 2014 (EST)
== זקוק להבהרה ממי שמחבר/בודק את התרגילים ==
לא ברור לי משהו.
מה הטעם ב"שאלות אתגר" ו"שאלות רשות", אם אני לא מקבל עליהן קרדיט נוסף?
מדוע אני צריך להשקיע מהזמן והמרץ שלי בשביל לענות עליהן?
מילא שהן לא נבדקות אם אין לי בכלל שגיאות, אבל אם הופחתו לי נקודות על שגיאות בשאלות החובה - מתוך הגינות בסיסית כלפיי (וכלפי כל מי שעשה אותן) - הייתי מצפה שיבדקו לי גם את שאלות הרשות ויוסיפו לי נקודות בהתאם.
אשמח לתגובה בנושא הזה.
:אינך צריך להשקיע זמן ומרץ בפתרון שאלות אלו. מנגד - גם הבודקים אינם צריכים. זה איננה סיבה שלא נאפשר לסטודנטים בקורס קצת ליהנות. חיים רוזנר 07:06, 20 בינואר 2014 (EST)
::אפשר תגובה פחות צינית מזאת?
::כמו למשל, איך ואיפה אפשר לערער על העניין הזה?
== הרכבת תמורות ==
האם החישובים האלו נכונים?
<math>\begin{pmatrix}
1 &2 &3 &4 \\
2 &4 &1 &3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 &2 &3 &4 \\
2 &3 &4 &1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 &2 &3 &4 \\
2 &3 &4 &1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 &2 &3 &4 \\
1 &3 &2 &4
\end{pmatrix}</math>
<math> \begin{pmatrix}
1 &2 &3 &4 \\
2 &4 &1 &3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 &2 &3 &4 \\
2 &4 &1 &3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 &2 &3 &4 \\
4 &3 &2 &1
\end{pmatrix}
</math>
:(לא מתרגל)
:כן. וכדאי לך להשתמש בכתיב של מחזורים כדי שיהיה לך יותר נוח להפעיל פרמוטציות אחת על השניה.
::תודה רבה ל[[לא מתרגל]]. חיים רוזנר 07:06, 20 בינואר 2014 (EST)
== תמורות ==
למה <math>(13)(25)(47968)=(25)(47968)(13)</math>?
יש משפט שאומר שברגע שיש לי מכפלה של מעגלים, אז אני יכול לרשום אותם באיזה סדר שאני רוצה?
:(לא מתרגל)
:כן, רק אם הם '''זרים'''.
:תוכל/י למצוא לזה הוכחה כאן: http://www.proofwiki.org/wiki/Disjoint_Permutations_Commute
אתה יכול לתת לינק לעמוד הראשי שדרכו אתה רואה את ההוכחות האלה?
:כן, www.google.co.il :-)
::תודה רבה ל[[לא מתרגל]]. איך מצאת את הקישור ל-Google? חיים רוזנר 07:06, 20 בינואר 2014 (EST)
== תמורות וסימן של תמורות ==
שלום
כמה שאלות..
א'.
אני רוצה לכתוב את התמורה הבאה כמכפלה של מעגלים זרים: <math>sigma=(154)(23)(14879)(13)</math>.
הגעתי לתשובה הזו: <math>(123)(48795)</math> . זה נכון?
ב'.
מה הזוגיות של sigma? ואיך מגיעים לתשובה?
זה מה שחשבתי לעשות:
לרשום את sigma, (או את הצורה של sigma כמכפלה של מחזורים זרים), בתור מכפלה של חילופים.
למשל ארשום את sigma כמכפלה של חילופים. (פשוט כל מעגל ב-sigma ארשום כמכפלת חילופים) וזה מה שמתקבל:
<math>(14)(15)(23)(19)(17)(18)(14)(13)</math>. ישנם 8 חילופים. לכן sigma תמורה זוגית.
בצורה דומה, אם אעשה את אותו דבר, רק שהפעם על הצורה של sigma כמכפלת מחזורים זרים, אקבל:
<math>(13)(12)(45)(49)(47)(48)</math>. ישנם 6 חילופים. לכן אפשר להסיק על sigma שהיא תמורה זוגית.
מה שכתבתי כאן נכון?
ג'.
ובכלל..באופן כללי..מהן הדרכים לבדוק זוגיות של תמורה? לא ממש הבנתי את זה מהשיעורים.
עד כמה שזכור לי, קיימות מספר דרכים:
דרך אחת, היא לרשום אותה כמכפלה של חילופים, ואז אם מספר החילופים זוגי, אז התמורה זוגית, ואם מספר החילופים אי זוגי, אז התמורה
אי זוגית.
דרך שנייה, זה משהו עם מכפלת הסימנים של כל מחזור או משהו כזה. ממש לא הבנתי את זה. אפשר בקשה לומר מה בדיוק אומר המשפט הזה
ולהסביר אותו על דוגמה מסויימת?
תודה רבה.
:(לא מתרגל)
: א. כן.
: ב. כן.
: ג. למיטב הבנתי, הזוגיוּת של פרמוטציה נקבעת על פי מספר האינברסיות (Inversions).
: באופן לא פורמלי, אינברסיה היא כל מקום בו מספר מופיע לפני מספר קטן ממנו בפרמוטציה.
: אם מספר האינברסיות זוגי, אז הפרמוטציה תיקרא זוגית. אם מספר האינברסיות אי זוגי, הפרמוטציה תיקרא אי זוגית.
: לכן, דרך אחת (ומייגעת) למצוא אם פרמוטציה היא זוגית, זה ע"י כתיבת הפרמוטציה בכתיב של מטריצה ומתיחת קווים בין כל שני מספרים זהים שלא נמצאים במקומם "הטבעי", ואז לספור כמה הצטלבויות בין הקווים קיימות.
: דרך נוספת היא כמו שאמרת - לפרק לחילופים, אם מספר החילופים זוגי, הפרמוטציה זוגית, אם מספר החילופים אי זוגי, הפרמוטציה אי זוגית.
: הדרך הפשוטה ביותר (אם כי קצת מבלבלת) היא להסתמך על אורך המחזור.
: אם '''אורך''' המחזור '''זוגי''', אז הפרמוטציה '''אי-זוגית''', ואם '''אורך''' המחזור '''אי-זוגי''', הפרמוטציה '''זוגית'''.
: דרך קלה לזכור את זה היא זאת; אם <math>\sigma=(a_1,a_2...a_k)</math> אז <math>sign(\sigma)=(-1)^{k-1}</math>
: מקווה שזה עזר, ובכל מקרה כדאי לקחת בעירבון מוגבל את מה שכתבתי ולהמתין לתשובה של מתרגל.
אפשר להסביר לי את זה על דוגמה? למשל לתת דוגמה של חישוב זוגיות של תמורה שמורכבת ממחזור אחד, וחישוב זוגיות של תמורה שמורכבת מכמה מחזורים??
:דוגמא לחישוב זוגיות של התמורה <math>\sigma=(51423)</math>:
:האורך של המחזור הוא 5, לכן <math>sign(\sigma)=(-1)^{5-1}=1</math>, לכן התמורה זוגית.
:חישוב אחר: <math>\sigma</math> בכתיב של טרנספורמציות היא: <math>\sigma=(51423)=(53)(52)(54)(51)</math>, יש 4 חילופים, כלומר 4 אינברסיות, כלומר מספר זוגי של אינברסיות, ולכן התמורה זוגית.
:דוגמא לחישוב זוגיות של התמורה <math>\beta=(1234)(567)</math>:
:כאן יש שני מחזורים '''זרים''', הראינו בתרגול שהמיפוי <math>sign</math> הוא הומומורפיזם של חבורות, לכן מתקיים:
: <math>sign(\beta)=sign((1234)(567))=sign(1234)sign(567)=(-1)^{4-1}(-1)^{3-1}=-1</math> ולכן <math>\beta</math> היא תמורה אי זוגית.
:חישוב אחר: <math>\beta</math> בכתיב של טרנספורמציות: <math>\beta=(1234)(567)=(14)(13)(12)(57)(56)</math>, יש 5 טרנספורמציות, כלומר מספר אי זוגי של אינברסיות, ולכן <math>\beta</math> תמורה אי זוגית.
::תודה רבה ל[[לא מתרגל]]. השיטה שאני מציע להשתמש בה היא לפי מספר המחזורים מאורך זוגי: אם יש מספר '''זוגי''' של מחזורים מאורך זוגי, אז התמורה '''זוגית''', אם יש מספר '''אי זוגי''' של מחזורים מאורך זוגי אז התמורה '''אי זוגית'''. צורת חישוב זו תקפה עבור כל הצגה של תמורה כמכפלת מחזורים, אין צורך שהם יהיו זרים. מחזורים מאורך אי זוגי אינם מעלים ואינם מורידים. חיים רוזנר 07:06, 20 בינואר 2014 (EST)
== הרכבת תמורות: מה הטעות שלי? ==
נתונה תמורה כזו: <math>(12)(13)</math>.
אני רוצה לרשום אותה כמכפלה של מעגלים זרים.
1 עובר ל-3 (בסוגריים הימניים). 3 עובר ל-1 (בסוגריים הימניים), שעובר ל-2 (בסוגריים השמאליים).
לכן סה"כ 1 עובר ל-2.
מה הטעות בחישוב הזה???
:(לא מתרגל)
: 1 עובר ל-3 בפרמוטציה הימנית, אבל בשמאלית - כיוון ש-3 לא מופיע במחזור - 3 נשלח לעצמו.
: לכן סה"כ, לאחר הפעלת שתי הפרמטוציות, 1 עובר ל-3.
: ואז 3 עובר ל-1 בפרמוטציה הימנית, ובשמאלית, 1 עובר ל-2, וסה"כ 3 עובר ל-2.
: לכן ההצגה של הרכבה זו כמחזור היא <math>(132)</math>
תודה...תראה..בעקרון מובן לי שזה החישוב הנכון...מה שכתבת...מה שלא ברור לי, זה למה החישוב שאני הצעתי לא נכון.
למרות שעכשיו נראה לי שהבנתי מה לא נכון אצלי...ברגע ש-1 עובר ל-3 בפרמוטציה הימנית, אי אפשר לומר ש-3 עובר ל-1 בפרמוטציה הימנית.
כי ברגע שאיבר עובר לאיבר אחר בפרמוטציה הימנית, מה שצריך לבדוק, זה לאן האיבר האחר עובר בשמאלית. ולא לאן הוא עובר בימנית.
בגלל שזו הרכבת פונקציות. הימנית שולחת איבר, לאיבר אחר, ואז צריך לראות לאן השמאלית שולחת את האיבר האחר.
כנראה שזו הטעות שלי.
::תודה רבה ל[[לא מתרגל]]. אכן, כשרושמים הרכבת פונקציות, ובפרט הרכבת תמורות, הכוונה היא להפעיל כל פונקציה פעם אחת. לכן בדוגמא שלפנינו מפעילים את המחזור הימני, 1 עובר ל-3, ואז ממשיכים מחזור אחד שמאלה. חיים רוזנר 07:06, 20 בינואר 2014 (EST)
== תמורות ==
איברים <math>a,b \in Sn</math> ייקראו צמודים אם קיים <math>g \in Sn</math> כך ש-
<math>gag^{-1}=b</math>.
היו כמה עובדות שהוזכרו בתרגול שלא ברורות לי בכלל.
דבר ראשון- שתיי תמורות צמודות אם"ם יש להן אותו מבנה מחזורים.
מה זה אומר במילים פשוטות?
מה הניסוח של הטענה הפורמלית?
:כל תמורה ניתן לרשום כהרכבה של מחזורים זרים. רישום זה הוא יחיד, עד כדי סדר המחזורים וסדר האיברים במחזור. מבנה המחזורים של תמורה הוא מספר המחזורים שלה מכל אורך. לדוגמא, עיין התשובה הבאה.
דבר שני- נתנו את הדוגמאות הבאות:
<math>(15), (125)</math> לא צמודות.
<math>(34)(25) , (12)(56)</math> צמודות.
אפשר בבקשה להראות למה בדוגמה הראשונה התמורות צמודות ובשנייה לא?
:כאמור בתשובה לשאלה הקודמת. מבנה המחזורים של התמורה <math>(1\;5)</math> הוא מחזור אחד מאורך 2. לעומתו, מבנה המחזורים של <math>(1\;2\;5)</math> הוא מחזור אחד מאורך 3. ניתן לראות כי מספר המחזורים מאורך 3 בשתי התמורות הוא ''שונה'', ומשכך הן אינן צמודות.
:נביט כעת הדוגמא השניה. מבנה המחזורים של התמורות האלו הוא זהה: יש לכל אחת שני מחזורים מאורך 2, ואפס מחזורים מאורך גדול יותר. לכן, לכל <math>k>1</math>, מספר המחזורים מאורך <math>k</math> הוא זהה בשתי התמורות. נאמר שמבנה המחזורים שלהן הוא זהה, ולכן הן צמודות.
:לתשומת לבכם, ניתן להסתפק בכל המחזורים מאורך >1, כי אנחנו רגילים שלא לרשום בכלל מחזורים מאורך 1.
דבר שלישי- הופיע המשפט הזה:
<math>\sigma \in Sn</math> תמורה. <math> \gamma \in Sn</math> מחזור. <math>\gamma =(a_{1}a_{2}....a_{r})</math>.
<math>\sigma \gamma\sigma ^{-1}=(\sigma (a_{1})...\sigma (a_{r}))</math>.
יש איזשהו הסבר אינטואיטיבי למשפט הזה? איך מוכיחים אותו?
:ההוכחה למשפט הזה היא באמצעות בחינת התמונה של <math>\sigma (a_i)</math> תחת התמורה <math>\sigma \gamma\sigma ^{-1}</math>. נסו לחשוב בעל פה מה קורה כאן.
דבר רביעי- למה המשפט הבא נכון:
אם <math>\sigma =\sigma _{1}\sigma _{2}...\sigma _{k}</math> אז
<math>g\sigma g^{-1}=g\sigma _{1}...\sigma _{k}g^{-1}=(g\sigma _{1}g^{-1})...(g\sigma _{k}g^{-1})</math>
:כמו בטור טלסקופי. באגף ימין יש <math>k-1</math> זוגות צמודים של <math>g^{-1}g</math>, אבל כידוע ביטוי זה הוא תמורת הזהות, ולכ ניתן לצמצם אותו בכל מופע שלו. שימו לב לכך שהשתמשנו כאן באסוציטיביות. חיים רוזנר 07:21, 20 בינואר 2014 (EST)
== תמורות ==
התמורות <math>(12)</math> ו- <math>(34)(12)</math> הן מסדר 2 כי אחת באורך 2 והשנייה היא מכפלה של מחזורים זרים שכל אחד מהם מאורך 2, והכפולה המשותפת המינימלית של 2,2 היא 2.
אבל שתיי התמורות האלה לא צמודות ב-<math>S4</math> היא יש להן מבנה מחזורים שונה.
מה זה אומר שיש להן מבנה מחזורים שונה?
איך מוכיחים שיש להן מבנה מחזורים שונה?
האם הדרך היחידה להראות שתמורות לא צמודות, היא להראות שיש להן מבנה מחזורים שונה?
:(לא מתרגל)
:"יש להן מבנה מחזורים שונה" זה פחות או יותר מה שאמרת, הראשונה היא מחזור אחד, והשניה היא שני מחזורים זרים (זה כבר מספיק כדי לפסוק שהמבנה שלהן שונה).
:ובאופן כללי, שתי תמורות הן מאותו מבנה מחזורי אם יש להן את אותו מספר מחזורים מאותו אורך.
:זה שיש לשני איברים את אותו סדר, זה לא אומר שהם צמודים (אבל ההיפך הוא נכון).
::תודה רבה ל[[לא מתרגל]]. הגדרה למושג '''מבנה מחזורים''' מופיעה במענה לשאלה הקודמת. חיים רוזנר 07:30, 20 בינואר 2014 (EST)
== הבהרה לגבי משפט הבסיס ==
בס"ד
שלום אשמח לדעת אם הבנתי נכון : בעצם כאשר יש לי G חבורה אבלית והיא מסדר : P^n1*P^n2
אז אני מוצא את כל האפשרויות למכפלות Z1*Z2*Z3 שאולי הם איזומורפיות ל G ורק אחת מהחבורות תהיה איזומורפית לחבורה
G שלי . ובנוסף בינם לבין עצמם הם לא איזומורפיות . נכון ?
תודה!
:לצערי, אינני מבין את הניסוח שלך. אבל [http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%97%D7%91%D7%95%D7%A8%D7%94_%D7%90%D7%91%D7%9C%D7%99%D7%AA_%D7%A0%D7%95%D7%A6%D7%A8%D7%AA_%D7%A1%D7%95%D7%A4%D7%99%D7%AA#.D7.9E.D7.A9.D7.A4.D7.98_.D7.94.D7.9E.D7.99.D7.95.D7.9F כאן] אפשר לראות ניסוח מדויק של המשפט. אנחנו דיברנו בכיתה רק על חבורות סופיות, ולכן ניתן לזרוק את <math>r</math> מהחשבון. אנחנו הצגנו את הגרסא של מחלקים אלמנטריים. הדוגמאות המופיעות בהמשך שם הן די טובות. חיים רוזנר 07:52, 20 בינואר 2014 (EST)
== תרגיל 7 שאלה 2 סעיף 3 ==
מה הפעולה ב-<math>\mathbb{R}</math> ומה הפעולה ב-<math>\mathbb{R}^\ast</math>? ומדוע?
:הפעולה ב-<math>\mathbb{R}</math> היא חיבור, וב-<math>\mathbb{R}^\ast</math> כפל.
שאלה שנייה...למה ב-R כל איבר שונה מאפס, הוא מסדר אינסופי?
:'העלאה בחזקה' בכתיב חיבורי פירושה הכפלה במספר שלם. לפיכך, אנו מחפשים פתרונות שלמים למשוואה <math>n\cdot r=0</math> עבור <math>r\in\mathbb{R}</math>. חיים רוזנר 07:52, 20 בינואר 2014 (EST)
== תרגיל 7 שאלה 2 סעיף 4 ==
מה ההסבר לכך שב- <math>S_4</math> אין איבר מסדר 12?
כל איבר הוא מקסימום מסדר 4? למה?
:סדר של איבר בחבורת תמורות הוא הכפולה המשותפת המינימלית של אורכי המחזורים שלו, בהצגה על ידי מחזורים זרים. זאת אומרת שאם התמורה מתפרקת למחזורים זרים באורכים <math>r_1,r_2,\ldots,r_k</math> אז הסדר שלה הוא <math>lcm(r_1,r_2,\ldots,r_k</math>. כעת, כל שנותר הוא לעבור על כל האפשרויות למבנה מחזורים ב-<math>s_4</math>, ולמצוא את סדרי האיברים בה. 4 היא התשובה המקסימלית.
:הערה: שים לב לכך שדי לבדוק את הסדר לפי מבנה המחזורים של התמורה, ואין צורך לדעת מה התמורה בעצמה. אנחנו הראנו בחבורה זו חמישה מבני מחזורים אפשריים. אילו סדרים מתאימים, אפוא, ליותר ממבנה מחזורים אחד? חיים רוזנר 07:52, 20 בינואר 2014 (EST)
בנוגע לאותו עניין...מספר שאלות:
1.
ב- S4 מבני המחזורים האפשריים הם:
(-)(-)(-)(-) כל איבר ממבנה מחזורים זה, הוא מסדר 1
(-)(-)(--) כל איבר ממבנה מחזורים זה, הוא מסדר 2
(--)(--) כל איבר ממבנה מחזורים זה, הוא מסדר 2
(---)(-) כל איבר ממבנה מחזורים זה, הוא מסדר 3
(----) כל איבר ממבנה מחזורים זה, הוא מסדר 4.
?
:כן.
2.
בעצם כל איבר מ-S4, שייך בדיוק לאחד ממבני המחזורים האלו?
:כן. ניתן לספור את כולם ולהגיע ל<math>4!</math>.
3.
האם נכון לומר שכל אחד ממבני המחזורים האלו, מהווה מחלקת שקילות?
:למחלקות האלו אנו קוראים '''מחלקות צמידות''', בשל כך שהן מוגדרות על ידי יחס הצמידות. שים לב לא להתבלבל בין מחלקות צמידות למחלקות ימניות או שמאליות, המוגדרות על פי יחס שונה בתכלית. לשאלתך, כל מבנה מחזורים שכזה הוא מחלקת צמידות ב-<math>S_4</math>.
4.
אם התשובה לשאלה הקודמת חיובית, אז זה אומר שיתכן שיהיו שתיי מחלקות שקילות שונות, שהאיברים בשתיהן, הם מאותו סדר?
למשל במקרה של S4, יש שתיי מחלקות שונות, שהאיברים בשתיהן, הם מסדר 2?
:כן. ובכך ענית לשאלה שהופיעה בסוף ההערה: הסדר 2 מתאים לשתי מחלקות צמידות שונות.
5.
אפשר להדגים למשל על שניי המבנים הבאים ב-S4, כיצד מוצאים כמה איברים יש מכל מבנה:
(--)(--) , (---)(-)
:בוחרים אילו איברים יהיו במחזור מאורך מסוים, ואז בוחנים כמה אפשרויות יש לסדר איברים אלו במחזור, מתוך הנחה שהנמוך ביותר הוא המופיע ראשון (כי לכל מחזור מאורך r יש r דרכים שקולות כיצד לרשום אותו). ואז עוברים למחזור הבא, וכן הלאה.
::אז למשל אם אסתכל על (---)(-), אז ישנם <math>\frac{\binom{4}{3}}{3}</math> איברים ב-S4 בעלי מבנה מחזורים כזה?
:::לא. חישבת אל נכון את מספר האפשרויות לבחור שלושה איברים שיופיעו במחזור. זה אכן <math>\binom{4}{3}</math>. נניח שהאיבר הראשון במחזור זה הוא הקטן ביותר, אז נשארו עוד <math>3-1</math> איברים לקבוע את הסדר שלהם, ולזה יש <math>(3-1)!</math> אפשרויות. בסך הכל מתקבלות <math>\binom{4}{3}(3-1)!</math> אפשרויות. כעת צריך לעבור למחזור הבא. אבל הוא מאורך 1, ולכן יש רק אפשרות אחת בשבילו. חיים רוזנר 13:19, 21 בינואר 2014 (EST)
6.
לא ממש הבנתי את השאלה שלך. שאלת איזה מחזורים מתאימים ליותר ממבנה מחזורים אחד. אולי תוכל להדגים על משהו ספציפי?
:ענית על זה ב-4.
ותודה רבה על התשובות.
:המברך מתברך, ולא הביישן למד. חיים רוזנר 18:52, 20 בינואר 2014 (EST)
== תת חבורה הנוצרת על ידי 2 איברים איך עושים את זה ? ==
בס"ד
נניח אני רוצה למצוא את התת חבורה הנוצרת על ידי (9,10) (2,20) של החבורה Z12*Z40 .
איך אני עושה את זה ?
תודה רבה!
:בהתחשב בכך שהחבורה אבלית, אז אם היא נוצרת על ידי <math>g,h</math> הרי שהיא <math>\{g^nh^m\colon n,m\in\mathbb{Z}\}</math>. אתה יכול גם לנסות לחשב באופן ידני. חיים רוזנר 07:52, 20 בינואר 2014 (EST)
== מחלקת צמידות יכולה להיות תת חבורה? ==
בס"ד
שלום רב. אשמח בבקשה לדעת האם מחלקת צמידות יכולה להיות תת חבורה של מחלקת צמידות אחרת או תת חבורה של החבורה כללית אחרת ? אני שואל את זה כי אני חושב שלא מתקיים הפיכות לאיברים ולכן היא לא יכולה להיות תת חבורה. אפשר בבקשה הבהרה בנושא ?
תודה רבה :)
:תשובה: לא. לכל האיברים במחלקת צמידות יש אותו סדר, כי <math>(gag^{-1})^n=ga^ng^{-1}</math>. לכן, עבור <math>a</math> שאיננו היחידה, במחלקה <math>[a]</math> לא ניתן למצוא את איבר היחידה <math>e</math>. משכך, כל מחלקת צמידות איננה חבורה, לבד <math>[e]=\{e\}</math>. זו, כמובן, החבורה הטריוויאלית.
:נזכיר כאן שהגדרת תת-חבורה היא חבורה שהיא גם תת-קבוצה של חבורה אחרת, עם אותה הפעולה. לכן, אחרי שהוכחנו שמחלקת צמידות איננה חבורה, היא גם לא תת-חבורה.
:יש מקרים שבהם מחלקת צמידות סגורה ל'''הופכי''', לדוגמא: המחלקה של איבר מסדר 2 בחבורה אבלית. עדיין זו איננה חבורה, בגלל הטיעון הכללי שאמרתי קודם. אבל כדי שזו לא תהיה תת-חבורה, ולפי הקריטריון לת"ח, אנחנו יודעים שהיא לא סגורה לאחת משתי הפעולות: הופכי או הפעולה הבינארית. לדעתי צריכה ליות הוכחה שכל מחלקתצמידות איננה סגורה לפעולה, אבל אני לא מוצא אותה עכשיו.
:לתשומת לבכם, עדיין יש להוכיח את הטענה הראשונה בתשובה זו: לכל האיברי במחלקת צמידות יש אותו סדר. גם השויון שהבאתי טעון הוכחה. חיים רוזנר 18:14, 20 בינואר 2014 (EST)
== חישוב אקספוננט של <math>D_{10}</math> ==
כיצד לחשב את האקספוננט של <math>D_{10}</math>? יש בה 20 איברים! יש דרך יעילה?
:מתוך היכרות עם החבורה הדיהדרלית <math>D_n</math>, אנו יודעים שיש בה שני סוגי איברים: שיקופים וסיבובים. הסיבובים הם ת"ח ציקלית, ולכן התרומה שלהם לאקספוננט היא n. כל השיקופים הם מסדר 2, ולכן הם תורמים את הגורם 2. ביחד קיבלנו <math>exp(D_n)=lcm(2,n)</math>. אין לי שיטה גנרית לחבורה כללית. חיים רוזנר 13:31, 21 בינואר 2014 (EST)
== שלוש שאלות על חבורות ציקליות ==
#למה לומר ש- <math>C_{n}\times C_{m}</math> חבורה ציקלית, שקול ללהגיד ש- <math>C_{m}\times C_{n}\cong C_{mn}</math>?
#רוצים להראות שאם <math>C_{n}\times C_{m}</math> ציקלית, אז <math>(m,n)=1</math>. מניחים בשלילה ש-<math>(m,n)=d>1</math>. לכן <math>m=dm'</math> ו- <math>n=dn'</math>. למה בהכרח מתקיים גם ש- <math>(m',n')=1</math>?
#אם נתונה חבורה, וצריך לדעת האם היא ציקלית, אז אפשר למשל לבדוק האם קיים איבר מסדר החבורה. נניח מדובר בחבורה בת 5 איברים. אז בודקים את הסדר של כל אחד מהאיברים. שתי שאלות בעניין הזה:
##מה יהיה לכל היותר, הסדר של כל איבר בחבורה?
##ושאלה שנייה...אם נניח מצאתי שהסדר של איבר כלשהו הוא n, אז אם אמשיך לעלות אותו בחזקות שבאות אחרי n, כלומר בחזקות n+1 n+2...וכו', אז אני אחזור על התוצאות הקודמות? כלומר זה יצא לי כאן משהו מחזורי...? אם כן, אפשר להסביר למה?
תודה!!!
#כי שתי החבורות האלו ציקליות מאותו סדר, וכל החבורות הציקליות מסדר k כלשהו איזומורפיות זו לזו.
#כי אם <math>(m',n')=k</math> אז <math>dk</math> הוא מחלק משותף של <math>m,n</math>.
#
##לפי לגרנז', סדר של איבר מחלק את סדר החבורה. בפרט הוא חסום על ידי סדר החבורה.
##אם הסדר הוא n, אז <math>g^n=e</math>. ולכן בחזקה ה-n+1 אתה חוזר ל-g, וממשיך משם הלאה. זה אכן מחזורי. חשוב, לצורך הדוגמא, על סיבוב ב-<math>D_{10}</math>. אחרי 11 סיבובים ב-36 מעלות אתה מקבל סיבוב ב-396=36 מעלות. חיים רוזנר 14:17, 21 בינואר 2014 (EST)
== מחלקות שמאליות וימניות ==
נניח G חבורה, H ת"ח.
למה מספר המחלקות השמאליות של <math>H</math> ב- <math>G</math> שווה למספר המחלקות הימניות של <math>H</math> ב<math>G</math>.
אפשר בבקשה הסבר אינטואיטיבי והסבר יותר פורמלי...?
יש הבדל בין מקרים בהם מספר המחלקות סופי ובין מקרים בהם מספר המחלקות אינסופי?
ולמה לכל a,b ב-G, מתקיים ש- aH=bH?
:כל איבר ב-G ניתן לרשום בצורה <math>ah,h\in H</math> וגם בצורה <math>hb,h\in H</math>. אנו מוצאים התאמה בין <math>aH</math> לבין <math>Ha</math>. לצערי, בקורס אלגבראי מופשט כמו זה, ההסברים הכי אינטואיטיביים הם ההסברים הפורמליים. :(
:ההתאמה הזו היא הפיכה, כמובן, ולכן אין משמעות לשאלה אם יש פה משהו סופי או לא.
:הטענה לכל a,b ב-G, מתקיים ש- aH=bH איננה נכונה. חיים רוזנר 14:23, 21 בינואר 2014 (EST)
== אפשר עזרה בהוכחת טענה שאמורה להיות פשוטה אבל מסיבה כלשהי לא מצליח לי.. ==
<math>G</math> חבורה. מסתכלים על איבר <math>a</math> ב-<math>G</math>.
למה <math>|<a>|=o(a)</math>?
:עיין [http://math-wiki.com/index.php?title=%D7%A9%D7%99%D7%97%D7%94:89-214_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%90%27_%D7%AA%D7%A9%D7%A2%D7%93#.D7.9E.D7.94_.D7.94.D7.94.D7.95.D7.9B.D7.97.D7.94_.D7.9C.D7.9B.D7.9A_.D7.A9.D7.A1.D7.93.D7.A8_.D7.A9.D7.9C_.D7.90.D7.99.D7.91.D7.A8.2C_.D7.94.D7.95.D7.90_.D7.A1.D7.93.D7.A8_.D7.94.D7.97.D7.91.D7.95.D7.A8.D7.94_.D7.94.D7.A6.D7.99.D7.A7.D7.9C.D7.99.D7.AA_.D7.A9.D7.90.D7.95.D7.AA.D7.94_.D7.94.D7.95.D7.90_.D7.99.D7.95.D7.A6.D7.A8.3F לעיל], תשובה לשאלה דומה. חיים רוזנר 13:36, 21 בינואר 2014 (EST)
== מיון כל החבורות מסדר קטן או שווה 5 ==
מה המשמעות של למיין את כל החבורות מסדר קטן או שווה ל-5? למיין לפי למה?
מספר החבורות מסדר <math>i</math> כאשר <math>i</math> בין 1 ל-5, הוא לא אינסופי??
מה צריך לעשות בשאלה הזו?
:בשאלה זו יש לרשום את כל החבורות מסדר קטן או שווה ל-5 עד כדי איזומורפיזם. כמובן, אם יש לי קבוצה בת n איברים, אז יש מספר סופי של פעולות בינאריות אפשריות. אנו לוקחים רק את הפעולות שנותנות חבורה, ומצמצמים את כל אלו שאיזומורפיות זו לזו, ולכן יש מספר סופי של חבורות מסדר n. ההמלצה שלי היא להתחיל במיון כל החבורות האבליות מסדרים אלו, ואז לנסות למצוא בטיעון מחוכם את כל החבורות הלא אבליות מסדרים אלו. חיים רוזנר 14:33, 21 בינואר 2014 (EST)
== תת-חבורה נורמלית ==
הטיעון הבא נכון? <math>N</math> נורמלית ב-<math>G</math> אם ורק אם:
<math>\forall g\in G\forall n\in N:g^{-1}ng=n</math>.
:לא. ההגדרה שהובאה כאן היא לתת-חבורה של המֵרְכָּז של G. ההגדרה לנורמליות היא
:<math>\forall g\in G\forall n\in N:g^{-1}ng\in N</math>.
ושאלה שניה- אם <math>N</math> נורמלית ב-<math>G</math>, אז <math>N</math> אבלית?
:לא. לדוגמא, <math>A_n\vartriangleleft S_n</math> אבל <math>A_n</math> לא אבלית. חיים רוזנר 14:55, 21 בינואר 2014 (EST)
תודה מראש
== מה הדרך להוכיח שחבורה מסדר 4 היא אבלית? איך מגיעים בכלל למסקנה הזו? ==
יכול להיות משהו עם לגראנז'?
אם היא מסדר 4, אז כל איבר בה מחלק את סדר החבורה.
לכן כל איבר בה הוא מסדר 1 2 או 4.
אם אוכיח שקיים איבר מסדר 4 אז היא ציקלית ולכן אבלית.
אבל למה קיים איבר מסדר 4?
יש עוד דרכים להוכיח את זה??
:ציינת שאם יש לה איבר מסדר 4 אז היא אבלית. כעת, השלמת הטיעון אפשרית באחת משתי דרכים: להוכיח שלכל חבורה מסדר 4 יש איבר מסדר 4; או להוכיח שכל חבורה מסדר 4 שאין בה איבר מסדר 4 היא אבלית. חיים רוזנר 14:33, 21 בינואר 2014 (EST)
למה לכל חבורה מסדר 4 יש איבר מסדר 4?
:אני הצעתי שתי אפשרויות לעיל. אם אתה לא מצליח להוכיח את אפשרות א', אז אולי כדאי לבדוק את אפשרות ב'; וחוזר חלילה. חיים רוזנר 03:52, 26 בינואר 2014 (EST)
== למה כל חבורה מסדר 3 היא ציקלית???? ==
למה כל חבורה מסדר 3 היא ציקלית????
:הוכחתם את זה בתרגיל בית 3, ופורסם גם פתרון. באופן כללי יותר, מה אפשר לומר על חבורה מסדר ראשוני (כמו למשל 3)? מהו הוא הסדר האפשרי של האיברים בחבורה מסדר ראשוני?
ממשפט לגראנז', הסדר של כל איבר מחלק את סדר החבורה. לכן אם הסדר של החבורה הוא ראשוני, אז הסדר של כל איבר הוא p, חוץ מאיבר היחידה שהסדר שלו הוא 1.
אם לוקחים איבר בחבורה שהיא מסדר 3, ומסתכלים על התת חבורה הנוצרת על ידו, אז הסדר שלה מחלק את 3, אבל 3 ראשוני, לכן הסדר שלה הוא 3.
לכן קיימת בחבורה מסדר 3 תת חבורה מסדר 3 ולכן התת חבורה מתלכדת עם החבורה.
לכן מצאנו איבר שיוצר תת חבורה שמתלכדת עם החבורה. לכן הוא יוצר את החבורה ולכן החבורה ציקלית?
:מ.ש.ל.
== שאלה ==
<math>G</math> חבורה סופית .
<math>p</math> ראשוני. צריך להוכיח שהסדר של <math>G</math> הוא חזקה של <math>p</math> אם ורק אם הסדר של כל <math>g</math> ב-<math>G</math>
הוא חזקה של <math>p</math>.
הכיוון מימין לשמאל הוכחתי. כיצד מוכיחים את הכיוון משמאל לימין?
:שילוב של משפט קושי ומשפט לגראנז' (ראה למשל בויקיפדיה: [https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%9E%D7%A9%D7%A4%D7%98_%D7%A7%D7%95%D7%A9%D7%99_%28%D7%AA%D7%95%D7%A8%D7%AA_%D7%94%D7%97%D7%91%D7%95%D7%A8%D7%95%D7%AA%29 משפט קושי]). מה יקרה אם תניח בשלילה כי למרות שסדר כל האיברים של <math>G</math> הם חזקה של <math>p</math>, אבל הסדר של <math>G</math> הוא לא חזקה של <math>p</math>? כלומר שלסדר של <math>G</math> יש עוד גורם ראשוני?
== שאלה 5 ממועד א' שנה שעברה ==
שלום אשמח לעזרה בשאלה שאני מתקשה בה:
תהי G חבורה אבלית ויהי אפימורפיזם f מG לZ (השלמים), הוכח שקיימת ת"ח H האיזומורפית לZ ומתקיים G איזומורפי ל H x kerf . תודה
:לשאלה זו שני חלקים. בחלק הראשון יש למצוא ת"ח H של G איזומורפית ל-Z. נזכיר כאן ש-Z היא חבורה ציקלית מסדר אינסוף, דהיינו יש לה יוצר שהוא מסדר אינסוף. לכן צריך למצוא ב-G איבר מסדר אינסוף, ולוודא שהוא יוצר את H כמבוקש. אני ממליץ להשתמש ב-f לשם כך.
:החלק השני הוא מציאת איזומורפיזם בין G לבין H x kerf. הרעיון הוא לפרק כל g ב-G לרכיב אחד שהולך לתמונה Z ורכיב שני שנמצא בגרעין. לצורך כך יש להיעזר בתשובה לחלק א.
:כמובן, זו סקיצה לפתרון. חיים רוזנר 04:32, 26 בינואר 2014 (EST)
== שאלה ==
אני רוצה להראות ש- <math>\mathbb{Z}_{8}X\mathbb{Z}_{10}\cong \mathbb{Z}_{2}X\mathbb{Z}_{5}X\mathbb{Z}_{8}</math>.
ידוע ש: <math>\mathbb{Z}_{10}\cong \mathbb{Z}_{2}X\mathbb{Z}_{5}</math> כי 2,5 זרים.
אפשר מיד להגיד ש- <math>\mathbb{Z}_{8}X\mathbb{Z}_{10}\cong \mathbb{Z}_{8}X\mathbb{Z}_{2}X\mathbb{Z}_{5}</math>?
אם כן, למה? מה הנימוק למעבר הזה?
:הנימוק הא שאפשר למצוא איזומורפיזם מפורש. באופן כללי אם <math>G \cong G'</math>, אז <math>H \times G \cong H \times G'</math>.
ושאלה נוספת..
איך מוכיחים ש- <math>\mathbb{Z}_{5}X\mathbb{Z}_{16}</math> ו <math>\mathbb{Z}_{8}X\mathbb{Z}_{16}</math> לא איזומורפיות?
:הן לא איזמורפיות מפני שהסדר שלהן שונה. אולי התכוונת למספרים אחרים?
== האם מְרַכֵּז <math>C(g^n)</math> הינו תת חבורה של מְרַכֵּז <math>C(g)</math> ? ==
תשובה:
<math>C(g^n)=\{x\in G\colon g^nx=xg^n\}</math>
<math>C(g)=\{x\in G\colon gx=xg\}</math>
כעת, אם x מתחלף עם g, אז בפרט גם x מתחלף עם <math>g^2</math>, כי <math>g^2x=g(gx)=g(xg)=(gx)g=xgg=xg^2</math>. הטענה הזו מתקיימת באופן דומה לכל חזקה גבוהה יותר. לכן ההכלה היא הפוכה:
<math>C(g)\le C(g^n)</math>.
הסבר נוסף: אם נעלה את g בחזקה מספיק גבוהה, אנו עלולים להגיע לאיבר היחידה (אם העלנו בכפולה שך הסדר של g). מתקיים <math>C(e)=G</math>, ולכן העלאה בחזקה עלולה להגדיל את המְרַכֵּז, ולא להקטין אותו. חיים רוזנר 04:43, 26 בינואר 2014 (EST)
== צריך למצוא את החבורות האבליות מסדר 324 ואקספוננט 18 ==
מה שאני רוצה לעשות, זה דבר ראשון למצוא את כל החבורות האבליות מסדר 24 עד כדי איזומורפיזם.
הפירוק של 324 לכורמים ראשוניים הוא : <math>324=2^{2}3^{4}</math>.
את המעריך 2 אפשר לרשום בשניי דרכים: 2 או 1+1. לכן מהגורם <math>2^{2}</math> נקבל את החבורות:
<math>\mathbb{Z}_{4}</math>
<math>\mathbb{Z}_{2}\times \mathbb{Z}_{2}</math> .
את המעריך 4 אפשר לרשום ב-5 דרכים:
4 או 1+3 או 2+2 או 2+1+1 או 1+1+1+1 . לכן מהגורם <math>3^{4}</math> יתקבלו החבורות הבאות:
<math>\mathbb{Z}_{81}</math>
<math>\mathbb{Z}_{3}\times\mathbb{Z}_{27}</math>
<math>\mathbb{Z}_{9}\times\mathbb{Z}_{9}</math>
<math>\mathbb{Z}_{9}\times\mathbb{Z}_{3}\times\mathbb{Z}_{3}</math>
<math>\mathbb{Z}_{3}\times\mathbb{Z}_{3}\times\mathbb{Z}_{3}\times\mathbb{Z}_{3}</math>.
אם עושים עכשיו מכפלה קרטזית בין כל אחת משתיי החבורות שיתקבלו מהגורם הראשון, לבין כל 5 החבורות שיתקבלו מהגורם השני, מקבלים 10 חבורות.
מהמכפלה של <math>\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{2}</math> עם כל 5 החבורות שיתקבלו מהגורם השני, מקבלים את החבורות:
<math>\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{81}</math>
<math>\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{3}\times\mathbb{Z}_{27}</math>
<math>\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{9}\times\mathbb{Z}_{9}</math>
<math> \mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{9}\times\mathbb{Z}_{3}\times\mathbb{Z}_{3}
\cong \mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{18}\times\mathbb{Z}_{3}\times\mathbb{Z}_{3}</math> (*)
<math>\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{3}\times\mathbb{Z}_{3}\times\mathbb{Z}_{3}\times\mathbb{Z}_{3}\times\mathbb{Z}_{3}</math>
לחבורה (*) יש אקספוננט 18 ולאחרות אין? החבורה שמסומנת ב-(*) היא התשובה לשאלה?
:הפירוק של החבורה שהצגת הוא מדויק, ונותר רק לחשב את האקספוננט של כל פירוק שכזה. אקספוננט של חבורה הוא הכפולה המשותפת הקטנה ביותר של כל סדרי איבריה. במקרה שפרקת את החבורה להצגה קנונית, כפי שעשית כאן, הרי שהחישוב הוא קל: לכל גורם ראשוני p בוחרים את החזקה המקסימלית שלו שמופיעה בפירוק, ומכפילים הכל. במקרה שלנו מתקיים <math>18=2^13^2</math>, ולכן אנו מחפשים פירוק שבו החזקה המקסימלית של 2 תהיה 1, ושל 3 תהיה 2. כדי שהחזקה המקסימלית של 2 תהיה 1, עלינו לבחור את <math>\mathbb{Z}_{2}\times \mathbb{Z}_{2}</math>, כי האפשרות השניה נותנת חזקה גבוהה יותר, <math>2^2</math>. בדומה, מבין חמש האפשרויות של חבורה אבלית מסדר 81 עלינו לבחור את זו שבה הסדר הגדול ביותר הוא 9, דהיינו '''אחת''' משתי האפשרויות <math>\mathbb{Z}_{9}\times\mathbb{Z}_{9}</math> ו-<math>\mathbb{Z}_{9}\times\mathbb{Z}_{3}\times\mathbb{Z}_{3}</math>. בסך הכל מצאנו שתי תשובות אפשריות: <math>\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{9}\times\mathbb{Z}_{9}</math> ו-<math> \mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{9}\times\mathbb{Z}_{3}\times\mathbb{Z}_{3}</math>. חיים רוזנר 05:00, 26 בינואר 2014 (EST)
== צורה קנונית ==
מה המשמעות של להביא חבורות לצורה קנונית? ולמה זה טוב לעשות את זה?
אפשר אולי לתת דוגמה מסויימת..?
:צורה קנונית של חבורה אבלית סופית G היא הצגה של חבורה איזומופירת ל-G כמכפלה קרטזית של חבורות ציקליות מסדרים שהם חזקת ראשוני: <math>G\cong\mathbb{Z}_{p_1^{n_1}}\times\mathbb{Z}_{p_2^{n_2}}\times\cdots\times\mathbb{Z}_{p_k^{n_k}}</math>, עבור <math>p_j</math> ראשוניים, לאו דווקא שונים זה מזה, ועבור <math>n_j</math> טבעיים. לפי משפט המיון לחבורות אבליות סופיות, קיימת הצגה אחת כזו, עד כדי החלפת סדר הגורמים במכפלה הקרטזית (<math>\times</math>). דוגמא אפשר לראות בשאלה הקודמת; שם גם ניתן לראות כיצד היא מסייעת בפתרון שאלות לגבי חבורות אבליות סופיות. חיים רוזנר 05:08, 26 בינואר 2014 (EST)
== שאלה ==
<math>G</math> חבורה ו-<math>N</math> ת"ח נורמלית מאינדקס n.
יהי <math>g\in G</math> ו-<math>t</math> המספר החיובי הקטן ביותר כך ש- <math>g^{t}\in N</math> צריך להוכיח ש-
<math>t\mid n</math>.
יש מעבר אחד בהוכחה של השאלה הזו שלא ברור לי.
למה מהנתון ש <math>t</math> המספר החיובי הקטן ביותר כך ש- <math>g^{t}\in N</math> נובע ש-
<math>g^{t}N=(gN)^t=N</math> ??
:באמת נראה לי שרצו לכתוב שם <math>(gN)^t=g^tN=N</math>. אם כך הוא הדבר, הרי שהמעבר הראשון מוצדק מתכונות של חבורת המנה, דהיינו מכך ש-N נורמלית. המעבר השני מוצדק מכך ש-<math>g^{t}\in N</math>, בלי קשר להיות t הזה מינימלי. חיים רוזנר 05:15, 26 בינואר 2014 (EST)
== מספר שאלות ==
האם נכון להגיד שלכל חבורה בעולם יש תת-חבורה ציקלית?
:כן. ראשית, החבורה הטריוויאלית {e} היא ציקלית. בנוסף, אם יש לי איבר g בחבורה, הרי שהוא יוצר איזושהי חבורה ציקלית, והיא ת"ח של G.
בנוסף, האם יש שיטה מהירה לחשב אקספוננט של חבורת אוילר? לדוגמה, מה הEXP של U30?
:לא מכיר שיטה כזו. השיטה שלי היא להשתמש במשפט המיון, וזה לא נראה לי האלגוריתם היעיל ביותר.
עוד שאלה, האם הEXP של U12 x U3 הוא פשוט הLCM של 12 ו3? האם הכלל הזה נכון לכל מכפלה קרטזית של שתי חבורות? (תמיד עשינו את זה עבור Z).
:לא. <math>exp(U_{12}\times U_3)=lcm(exp(U_{12}),exp(U_3))</math>, והכלל הזה נכון לכל מכפלה קרטזית: <math>exp(G\times H)=lcm(exp(G),exp(H))</math>. אנחנו השתמשנו עד כה רק בעבור חבורות ציקליות, ושם באמת זה הרבה יותר קל. חיים רוזנר 05:33, 26 בינואר 2014 (EST)
תודה.
== סדרי האיברים בSn ==
ראינו בתרגול שלחבורה הסימטרית S4 , הסדרים האפשריים של איברים בה הם רק 1,2,3, ו4.
האם זה נכון תמיד שלכל חבורה Sn, הסדרים האפשריים הם מ1 ועד n?
:לא. האיבר (1 2 3)(4 5) הוא איבר מסדר 6 ב-S5. חיים רוזנר 15:52, 22 בפברואר 2014 (EST)
== הצגת תמורה כמכפלה של חלופים ==
בתרגול העברנו תמורה כמכפלה של מחזורים זרים למכפלה של חילופים באופן הבא:
(1 2 4) (3 5 6 7) = (1 2)(2 4)(3 5)(5 6)( 6 7)
עם זאת, בתרגיל 8, בשאלה 1, בפתרון שהצעתם, השתמשתם בטכניקה שונה בה לקחתם את האיבר הראשון במחזור כאיבר שמאפשר חילחול בחילופים.
ניסיתי גם שם את הטכניקה הראשונה שראינו בתרגול וקיבלתי 6 חילופים.
האם זה משנה באיזו טכניקה אני משתמש?
כי החילופים יוצאים שונים... אך מספר החילופים זהה.
:שתי הטכניקות טובות. בשתיהן אמור להתקבל אותו מספר חילופים, כי כל מחזור מאורך r מוצג כמכפלה של r-1 חילופים בשתי הטכניקות. בעיקרון, מספר החילופים איננו קריטי; אולם לא יכול להיות שהצגה אחת תהיה על ידי מספר חילופים זוגי והאחרת על ידי מספר חילופים אי-זוגי. חיים רוזנר 15:52, 22 בפברואר 2014 (EST)
== גודל המרכז Z והמרכז C ==
האם נכון לומר שגודל המרכז <math>Z(G)</math> תמיד לפחות 1 (כי e מתחלף עם כל איברי G)?
:כן. אמרנו את זה בכיתה. גם אמרנו שזו חבורה (נורמלית ב-G), ולחבורה יש לפחות איבר אחד.
ולכן גם בכל חבורה יש לפחות מחלקת צמידות אחת (שמכילה את e בלבד)?
:כן.
והאם נכון לומר שגודל המרכז <math>C_G(a)</math> של איבר a הוא תמיד לפחות 2 (כי a מתחלף עם איבר היחידה ועם עצמו)?
:אם <math>a \neq e</math>, אז אכן מצאת כאן שני איברים שונים במְרַכֵּז של a. למעשה, ניתן להראות כי במרכז יש לפחות שני איברים גם עבור e, ובתנאי ש-G איננה החבורה הטריוויאלית. חיים רוזנר 15:52, 22 בפברואר 2014 (EST)
תודה.
== איזומורפיזם בין Sn לDn ==
ראינו בתרגול שיש איזומורפיזם בין S3 לD3.
האם תמיד קיים איזומורפיזם בין Sn לDn?
:לא. מספר האיברים שונה, לכל n גדול מ-3. חיים רוזנר 15:52, 22 בפברואר 2014 (EST)
== איזומורפיזם בין מכפלות קרטזיות ==
האם Z2 X Z2 X Z2 X Z4 איזומורפית ל Z2 X Z4 X Z4?
שתיהן חבורות אבליות מסדר 32, לא ציקליות, ובעלות אקספוננט זהה (4).
האם הן איזומורפיות?
:לא. שתי הוכחות לכך:
:א. מספר האיברים מסדר 2 שונה בשתי החבורות האלו. (חשבו!)
:ב. לחבורה מימין יש ת"ח איזומורפית ל- Z2 X Z2 X Z2 X Z2, הלוא היא הת"ח Z2 X Z2 XZ2 X 2Z4. מנגד, לחבורה השמאלית אין ת"ח מסדר 16 ואקספוננט 2.
:באופן כללי, הצגה בצורה קנונית היא '''יחידה''', עד כדי סדר הגורמים במכפלה. הצגה קנונית היא הצגה של חבורה אבלית סופית כמכפלה של Zq-ים שונים, כאשר כל q הוא חזקה של ראשוני. תמיד, כאשר מגיעים לנצגה כזו, שתי חבורות עם הצגה שונה אינן איזומורפיות, ונתן להראות זאת כמו שהראיתי לעיל - למנות כמה איברים יש מכל סדר, ולעבור על הת"ח השונות, מתישהו תימצא ת"ח של חבורה אחת שאין לה ת"ח איזומורפית באחרת.חיים רוזנר 15:52, 22 בפברואר 2014 (EST)
== תמורות מתחלפות ==
האם התמורות t = (1 4) (2 5) (3 6) ו q = (1 2 3) (4 5 6) מתחלפות?
ביצעתי הרכבה משני הצדדים, וקיבלתי: (6 2 4 3 5 1)
ולכן הן מתחלפות.
האם אני צודק?
:אם חישבת את tq ואת qt, ומצאת את אותה התמורה - אז הן מתחלפות. אינני לוקח אחריות על טעויות חישוב. בהצלחה. חיים רוזנר 15:52, 22 בפברואר 2014 (EST)
