:כמו שהראינו בכיתה: <math>\mathbb{Z}_{nm} \cong \mathbb{Z}_{n} \times \mathbb{Z}_{m}</math> אם <math>(n,m)=1</math>. לכן <math>\mathbb{Z}_{10} \cong \mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{5}</math>, כלומר החבורה שאתה מציע איזומורפית ל-<math>\mathbb{Z}_{2} \times\mathbb{Z}_{2}\times \mathbb{Z}_{5}\times \mathbb{Z}_{5}</math>.
== שאלה חבורת מנה של חבורה אבלית היא אבלית ==
<math>G</math> אבלית ו- <math>H</math> תת חבורה נורמלית של <math>G</math>.
:כן.
:תוכל/י למצוא לזה הוכחה כאן: http://www.proofwiki.org/wiki/Quotient_Group_of_Abelian_Group_is_Abelian.
::תודה רבה ל[[לא מתרגל]]. חיים רוזנר 07:06, 20 בינואר 2014 (EST)
== זקוק להבהרה ממי שמחבר/בודק את התרגילים ==
אשמח לתגובה בנושא הזה.
:אינך צריך להשקיע זמן ומרץ בפתרון שאלות אלו. מנגד - גם הבודקים אינם צריכים. זה איננה סיבה שלא נאפשר לסטודנטים בקורס קצת ליהנות. חיים רוזנר 07:06, 20 בינואר 2014 (EST) ::אפשר תגובה פחות צינית מזאת?::כמו למשל, איך ואיפה אפשר לערער על העניין הזה? == התשובות נכונות? הרכבת תמורות == האם החישובים האלו נכונים?
<math>\begin{pmatrix}
1 &3 &2 &4
\end{pmatrix}</math>
ועוד חישוב:
<math> \begin{pmatrix}
:(לא מתרגל)
:כן. וכדאי לך להשתמש בכתיב של מחזורים כדי שיהיה לך יותר נוח להפעיל פרמוטציות אחת על השניה.
::תודה רבה ל[[לא מתרגל]]. חיים רוזנר 07:06, 20 בינואר 2014 (EST)
== תמורות ==
:כן, www.google.co.il :-)
::תודה רבה ל[[לא מתרגל]]. איך מצאת את הקישור ל-Google? חיים רוזנר 07:06, 20 בינואר 2014 (EST) == מספר שאלות תמורות וסימן של תמורות ==
שלום
: לכן, דרך אחת (ומייגעת) למצוא אם פרמוטציה היא זוגית, זה ע"י כתיבת הפרמוטציה בכתיב של מטריצה ומתיחת קווים בין כל שני מספרים זהים שלא נמצאים במקומם "הטבעי", ואז לספור כמה הצטלבויות בין הקווים קיימות.
: דרך נוספת היא כמו שאמרת - לפרק לחילופים, אם מספר החילופים זוגי, הפרמוטציה זוגית, אם מספר החילופים אי זוגי, הפרמוטציה אי זוגית.
: הדרך הפשוטה ביותר (אבל גם אם כי קצת מבלבלת) היא להסתמך על אורך המחזור.
: אם '''אורך''' המחזור '''זוגי''', אז הפרמוטציה '''אי-זוגית''', ואם '''אורך''' המחזור '''אי-זוגי''', הפרמוטציה '''זוגית'''.
: דרך קלה לזכור את זה היא זאת; אם <math>\sigma=(a_1,a_2...a_k)</math> אז <math>sign(\sigma)=(-1)^{k-1}</math>
: מקווה שזה עזר, ובכל מקרה כדאי לקחת בעירבון מוגבל את מה שכתבתי ולהמתין לתשובה של מתרגל.
אפשר להסביר לי את זה על דוגמה? למשל לתת דוגמה של חישוב זוגיות של תמורה שמורכבת ממחזור אחד, וחישוב זוגיות של תמורה שמורכבת מכמה מחזורים?? :דוגמא לחישוב זוגיות של התמורה <math>\sigma=(51423)</math>::האורך של המחזור הוא 5, לכן <math>sign(\sigma)= (-1)^{5-1}=1</math>, לכן התמורה זוגית.:חישוב אחר: <math>\sigma</math> בכתיב של טרנספורמציות היא: <math>\sigma=(51423)=(53)(52)(54)(51)</math>, יש 4 חילופים, כלומר 4 אינברסיות, כלומר מספר זוגי של אינברסיות, ולכן התמורה זוגית. :דוגמא לחישוב זוגיות של התמורה <math>\beta=(1234)(567)</math>::כאן יש שני מחזורים '''זרים''', הראינו בתרגול שהמיפוי <math>sign</math> הוא הומומורפיזם של חבורות, לכן מתקיים:: <math>sign(\beta)=sign((1234)(567))=sign(1234)sign(567)=(-1)^{4-1}(-1)^{3-1}=-1</math> ולכן <math>\beta</math> היא תמורה אי זוגית.:חישוב אחר: <math>\beta</math> בכתיב של טרנספורמציות: <math>\beta=(1234)(567)=(14)(13)(12)(57)(56)</math>, יש 5 טרנספורמציות, כלומר מספר אי זוגי של אינברסיות, ולכן <math>\beta</math> תמורה אי זוגית. ::תודה רבה ל[[לא מתרגל]]. השיטה שאני מציע להשתמש בה היא לפי מספר המחזורים מאורך זוגי: אם יש מספר '''זוגי''' של מחזורים מאורך זוגי, אז התמורה '''זוגית''', אם יש מספר '''אי זוגי''' של מחזורים מאורך זוגי אז התמורה '''אי זוגית'''. צורת חישוב זו תקפה עבור כל הצגה של תמורה כמכפלת מחזורים, אין צורך שהם יהיו זרים. מחזורים מאורך אי זוגי אינם מעלים ואינם מורידים. חיים רוזנר 07:06, 20 בינואר 2014 (EST) == הרכבת תמורות: מה הטעות שלי? ==
נתונה תמורה כזו: <math>(12)(13)</math>.
כנראה שזו הטעות שלי.
::תודה רבה ל[[לא מתרגל]]. אכן, כשרושמים הרכבת פונקציות, ובפרט הרכבת תמורות, הכוונה היא להפעיל כל פונקציה פעם אחת. לכן בדוגמא שלפנינו מפעילים את המחזור הימני, 1 עובר ל-3, ואז ממשיכים מחזור אחד שמאלה. חיים רוזנר 07:06, 20 בינואר 2014 (EST)
== תמורות ==
איברים <math>a,b \in Sn</math> ייקראו צמודים אם קיים <math>g \in Sn</math> כך ש-
<math>gag^{-1}=b</math>.
היו כמה עובדות שהוזכרו בתרגול שלא ברורות לי בכלל.
דבר ראשון- שתיי תמורות צמודות אם"ם יש להן אותו מבנה מחזורים.
מה זה אומר במילים פשוטות?
מה הניסוח של הטענה הפורמלית?
:כל תמורה ניתן לרשום כהרכבה של מחזורים זרים. רישום זה הוא יחיד, עד כדי סדר המחזורים וסדר האיברים במחזור. מבנה המחזורים של תמורה הוא מספר המחזורים שלה מכל אורך. לדוגמא, עיין התשובה הבאה.
דבר שני- נתנו את הדוגמאות הבאות:
<math>(15), (125)</math> לא צמודות.
<math>(34)(25) , (12)(56)</math> צמודות.
אפשר בבקשה להראות למה בדוגמה הראשונה התמורות צמודות ובשנייה לא?
:כאמור בתשובה לשאלה הקודמת. מבנה המחזורים של התמורה <math>(1\;5)</math> הוא מחזור אחד מאורך 2. לעומתו, מבנה המחזורים של <math>(1\;2\;5)</math> הוא מחזור אחד מאורך 3. ניתן לראות כי מספר המחזורים מאורך 3 בשתי התמורות הוא ''שונה'', ומשכך הן אינן צמודות.
:נביט כעת הדוגמא השניה. מבנה המחזורים של התמורות האלו הוא זהה: יש לכל אחת שני מחזורים מאורך 2, ואפס מחזורים מאורך גדול יותר. לכן, לכל <math>k>1</math>, מספר המחזורים מאורך <math>k</math> הוא זהה בשתי התמורות. נאמר שמבנה המחזורים שלהן הוא זהה, ולכן הן צמודות.
:לתשומת לבכם, ניתן להסתפק בכל המחזורים מאורך >1, כי אנחנו רגילים שלא לרשום בכלל מחזורים מאורך 1.
דבר שלישי- הופיע המשפט הזה:
<math>\sigma \in Sn</math> תמורה. <math> \gamma \in Sn</math> מחזור. <math>\gamma =(a_{1}a_{2}....a_{r})</math>.
<math>\sigma \gamma\sigma ^{-1}=(\sigma (a_{1})...\sigma (a_{r}))</math>.
יש איזשהו הסבר אינטואיטיבי למשפט הזה? איך מוכיחים אותו?
:ההוכחה למשפט הזה היא באמצעות בחינת התמונה של <math>\sigma (a_i)</math> תחת התמורה <math>\sigma \gamma\sigma ^{-1}</math>. נסו לחשוב בעל פה מה קורה כאן.
דבר רביעי- למה המשפט הבא נכון:
אם <math>\sigma =\sigma _{1}\sigma _{2}...\sigma _{k}</math> אז
<math>g\sigma g^{-1}=g\sigma _{1}...\sigma _{k}g^{-1}=(g\sigma _{1}g^{-1})...(g\sigma _{k}g^{-1})</math>
:כמו בטור טלסקופי. באגף ימין יש <math>k-1</math> זוגות צמודים של <math>g^{-1}g</math>, אבל כידוע ביטוי זה הוא תמורת הזהות, ולכ ניתן לצמצם אותו בכל מופע שלו. שימו לב לכך שהשתמשנו כאן באסוציטיביות. חיים רוזנר 07:21, 20 בינואר 2014 (EST)
== תמורות ==
התמורות <math>(12)</math> ו- <math>(34)(12)</math> הן מסדר 2 כי אחת באורך 2 והשנייה היא מכפלה של מחזורים זרים שכל אחד מהם מאורך 2, והכפולה המשותפת המינימלית של 2,2 היא 2.
אבל שתיי התמורות האלה לא צמודות ב-<math>S4</math> היא יש להן מבנה מחזורים שונה.
מה זה אומר שיש להן מבנה מחזורים שונה?
איך מוכיחים שיש להן מבנה מחזורים שונה?
האם הדרך היחידה להראות שתמורות לא צמודות, היא להראות שיש להן מבנה מחזורים שונה?
:(לא מתרגל)
:"יש להן מבנה מחזורים שונה" זה פחות או יותר מה שאמרת, הראשונה היא מחזור אחד, והשניה היא שני מחזורים זרים (זה כבר מספיק כדי לפסוק שהמבנה שלהן שונה).
:ובאופן כללי, שתי תמורות הן מאותו מבנה מחזורי אם יש להן את אותו מספר מחזורים מאותו אורך.
:זה שיש לשני איברים את אותו סדר, זה לא אומר שהם צמודים (אבל ההיפך הוא נכון).
::תודה רבה ל[[לא מתרגל]]. הגדרה למושג '''מבנה מחזורים''' מופיעה במענה לשאלה הקודמת. חיים רוזנר 07:30, 20 בינואר 2014 (EST)
== הבהרה לגבי משפט הבסיס ==
בס"ד
שלום אשמח לדעת אם הבנתי נכון : בעצם כאשר יש לי G חבורה אבלית והיא מסדר : P^n1*P^n2
אז אני מוצא את כל האפשרויות למכפלות Z1*Z2*Z3 שאולי הם איזומורפיות ל G ורק אחת מהחבורות תהיה איזומורפית לחבורה
G שלי . ובנוסף בינם לבין עצמם הם לא איזומורפיות . נכון ?
תודה!
:לצערי, אינני מבין את הניסוח שלך. אבל [http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%97%D7%91%D7%95%D7%A8%D7%94_%D7%90%D7%91%D7%9C%D7%99%D7%AA_%D7%A0%D7%95%D7%A6%D7%A8%D7%AA_%D7%A1%D7%95%D7%A4%D7%99%D7%AA#.D7.9E.D7.A9.D7.A4.D7.98_.D7.94.D7.9E.D7.99.D7.95.D7.9F כאן] אפשר לראות ניסוח מדויק של המשפט. אנחנו דיברנו בכיתה רק על חבורות סופיות, ולכן ניתן לזרוק את <math>r</math> מהחשבון. אנחנו הצגנו את הגרסא של מחלקים אלמנטריים. הדוגמאות המופיעות בהמשך שם הן די טובות. חיים רוזנר 07:52, 20 בינואר 2014 (EST)
== תרגיל 7 שאלה 2 סעיף 3 ==
מה הפעולה ב-<math>\mathbb{R}</math> ומה הפעולה ב-<math>\mathbb{R}^\ast</math>? ומדוע?
:הפעולה ב-<math>\mathbb{R}</math> היא חיבור, וב-<math>\mathbb{R}^\ast</math> כפל.
שאלה שנייה...למה ב-R כל איבר שונה מאפס, הוא מסדר אינסופי?
:'העלאה בחזקה' בכתיב חיבורי פירושה הכפלה במספר שלם. לפיכך, אנו מחפשים פתרונות שלמים למשוואה <math>n\cdot r=0</math> עבור <math>r\in\mathbb{R}</math>. חיים רוזנר 07:52, 20 בינואר 2014 (EST)
== תרגיל 7 שאלה 2 סעיף 4 ==
מה ההסבר לכך שב- <math>S_4</math> אין איבר מסדר 12?
כל איבר הוא מקסימום מסדר 4? למה?
:סדר של איבר בחבורת תמורות הוא הכפולה המשותפת המינימלית של אורכי המחזורים שלו, בהצגה על ידי מחזורים זרים. זאת אומרת שאם התמורה מתפרקת למחזורים זרים באורכים <math>r_1,r_2,\ldots,r_k</math> אז הסדר שלה הוא <math>lcm(r_1,r_2,\ldots,r_k</math>. כעת, כל שנותר הוא לעבור על כל האפשרויות למבנה מחזורים ב-<math>s_4</math>, ולמצוא את סדרי האיברים בה. 4 היא התשובה המקסימלית.
:הערה: שים לב לכך שדי לבדוק את הסדר לפי מבנה המחזורים של התמורה, ואין צורך לדעת מה התמורה בעצמה. אנחנו הראנו בחבורה זו חמישה מבני מחזורים אפשריים. אילו סדרים מתאימים, אפוא, ליותר ממבנה מחזורים אחד? חיים רוזנר 07:52, 20 בינואר 2014 (EST)
בנוגע לאותו עניין...מספר שאלות:
1.
ב- S4 מבני המחזורים האפשריים הם:
(-)(-)(-)(-) כל איבר ממבנה מחזורים זה, הוא מסדר 1
(-)(-)(--) כל איבר ממבנה מחזורים זה, הוא מסדר 2
(--)(--) כל איבר ממבנה מחזורים זה, הוא מסדר 2
(---)(-) כל איבר ממבנה מחזורים זה, הוא מסדר 3
(----) כל איבר ממבנה מחזורים זה, הוא מסדר 4.
?
:כן.
2.
בעצם כל איבר מ-S4, שייך בדיוק לאחד ממבני המחזורים האלו?
:כן. ניתן לספור את כולם ולהגיע ל<math>4!</math>.
3.
האם נכון לומר שכל אחד ממבני המחזורים האלו, מהווה מחלקת שקילות?
:למחלקות האלו אנו קוראים '''מחלקות צמידות''', בשל כך שהן מוגדרות על ידי יחס הצמידות. שים לב לא להתבלבל בין מחלקות צמידות למחלקות ימניות או שמאליות, המוגדרות על פי יחס שונה בתכלית. לשאלתך, כל מבנה מחזורים שכזה הוא מחלקת צמידות ב-<math>S_4</math>.
4.
אם התשובה לשאלה הקודמת חיובית, אז זה אומר שיתכן שיהיו שתיי מחלקות שקילות שונות, שהאיברים בשתיהן, הם מאותו סדר?
למשל במקרה של S4, יש שתיי מחלקות שונות, שהאיברים בשתיהן, הם מסדר 2?
:כן. ובכך ענית לשאלה שהופיעה בסוף ההערה: הסדר 2 מתאים לשתי מחלקות צמידות שונות.
5.
אפשר להדגים למשל על שניי המבנים הבאים ב-S4, כיצד מוצאים כמה איברים יש מכל מבנה:
(--)(--) , (---)(-)
:בוחרים אילו איברים יהיו במחזור מאורך מסוים, ואז בוחנים כמה אפשרויות יש לסדר איברים אלו במחזור, מתוך הנחה שהנמוך ביותר הוא המופיע ראשון (כי לכל מחזור מאורך r יש r דרכים שקולות כיצד לרשום אותו). ואז עוברים למחזור הבא, וכן הלאה.
::אז למשל אם אסתכל על (---)(-), אז ישנם <math>\frac{\binom{4}{3}}{3}</math> איברים ב-S4 בעלי מבנה מחזורים כזה?
:::לא. חישבת אל נכון את מספר האפשרויות לבחור שלושה איברים שיופיעו במחזור. זה אכן <math>\binom{4}{3}</math>. נניח שהאיבר הראשון במחזור זה הוא הקטן ביותר, אז נשארו עוד <math>3-1</math> איברים לקבוע את הסדר שלהם, ולזה יש <math>(3-1)!</math> אפשרויות. בסך הכל מתקבלות <math>\binom{4}{3}(3-1)!</math> אפשרויות. כעת צריך לעבור למחזור הבא. אבל הוא מאורך 1, ולכן יש רק אפשרות אחת בשבילו. חיים רוזנר 13:19, 21 בינואר 2014 (EST)
6.
לא ממש הבנתי את השאלה שלך. שאלת איזה מחזורים מתאימים ליותר ממבנה מחזורים אחד. אולי תוכל להדגים על משהו ספציפי?
:ענית על זה ב-4.
ותודה רבה על התשובות.
:המברך מתברך, ולא הביישן למד. חיים רוזנר 18:52, 20 בינואר 2014 (EST)
== תת חבורה הנוצרת על ידי 2 איברים איך עושים את זה ? ==
בס"ד
נניח אני רוצה למצוא את התת חבורה הנוצרת על ידי (9,10) (2,20) של החבורה Z12*Z40 .
איך אני עושה את זה ?
תודה רבה!
:בהתחשב בכך שהחבורה אבלית, אז אם היא נוצרת על ידי <math>g,h</math> הרי שהיא <math>\{g^nh^m\colon n,m\in\mathbb{Z}\}</math>. אתה יכול גם לנסות לחשב באופן ידני. חיים רוזנר 07:52, 20 בינואר 2014 (EST)
== מחלקת צמידות יכולה להיות תת חבורה? ==
בס"ד
שלום רב. אשמח בבקשה לדעת האם מחלקת צמידות יכולה להיות תת חבורה של מחלקת צמידות אחרת או תת חבורה של החבורה כללית אחרת ? אני שואל את זה כי אני חושב שלא מתקיים הפיכות לאיברים ולכן היא לא יכולה להיות תת חבורה. אפשר בבקשה הבהרה בנושא ?
תודה רבה :)
:תשובה: לא. לכל האיברים במחלקת צמידות יש אותו סדר, כי <math>(gag^{-1})^n=ga^ng^{-1}</math>. לכן, עבור <math>a</math> שאיננו היחידה, במחלקה <math>[a]</math> לא ניתן למצוא את איבר היחידה <math>e</math>. משכך, כל מחלקת צמידות איננה חבורה, לבד <math>[e]=\{e\}</math>. זו, כמובן, החבורה הטריוויאלית.
:נזכיר כאן שהגדרת תת-חבורה היא חבורה שהיא גם תת-קבוצה של חבורה אחרת, עם אותה הפעולה. לכן, אחרי שהוכחנו שמחלקת צמידות איננה חבורה, היא גם לא תת-חבורה.
:יש מקרים שבהם מחלקת צמידות סגורה ל'''הופכי''', לדוגמא: המחלקה של איבר מסדר 2 בחבורה אבלית. עדיין זו איננה חבורה, בגלל הטיעון הכללי שאמרתי קודם. אבל כדי שזו לא תהיה תת-חבורה, ולפי הקריטריון לת"ח, אנחנו יודעים שהיא לא סגורה לאחת משתי הפעולות: הופכי או הפעולה הבינארית. לדעתי צריכה ליות הוכחה שכל מחלקתצמידות איננה סגורה לפעולה, אבל אני לא מוצא אותה עכשיו.
:לתשומת לבכם, עדיין יש להוכיח את הטענה הראשונה בתשובה זו: לכל האיברי במחלקת צמידות יש אותו סדר. גם השויון שהבאתי טעון הוכחה. חיים רוזנר 18:14, 20 בינואר 2014 (EST)
== חישוב אקספוננט של <math>D_{10}</math> ==
כיצד לחשב את האקספוננט של <math>D_{10}</math>? יש בה 20 איברים! יש דרך יעילה?
:מתוך היכרות עם החבורה הדיהדרלית <math>D_n</math>, אנו יודעים שיש בה שני סוגי איברים: שיקופים וסיבובים. הסיבובים הם ת"ח ציקלית, ולכן התרומה שלהם לאקספוננט היא n. כל השיקופים הם מסדר 2, ולכן הם תורמים את הגורם 2. ביחד קיבלנו <math>exp(D_n)=lcm(2,n)</math>. אין לי שיטה גנרית לחבורה כללית. חיים רוזנר 13:31, 21 בינואר 2014 (EST)
== שלוש שאלות על חבורות ציקליות ==
#למה לומר ש- <math>C_{n}\times C_{m}</math> חבורה ציקלית, שקול ללהגיד ש- <math>C_{m}\times C_{n}\cong C_{mn}</math>?
#רוצים להראות שאם <math>C_{n}\times C_{m}</math> ציקלית, אז <math>(m,n)=1</math>. מניחים בשלילה ש-<math>(m,n)=d>1</math>. לכן <math>m=dm'</math> ו- <math>n=dn'</math>. למה בהכרח מתקיים גם ש- <math>(m',n')=1</math>?
#אם נתונה חבורה, וצריך לדעת האם היא ציקלית, אז אפשר למשל לבדוק האם קיים איבר מסדר החבורה. נניח מדובר בחבורה בת 5 איברים. אז בודקים את הסדר של כל אחד מהאיברים. שתי שאלות בעניין הזה:
##מה יהיה לכל היותר, הסדר של כל איבר בחבורה?
##ושאלה שנייה...אם נניח מצאתי שהסדר של איבר כלשהו הוא n, אז אם אמשיך לעלות אותו בחזקות שבאות אחרי n, כלומר בחזקות n+1 n+2...וכו', אז אני אחזור על התוצאות הקודמות? כלומר זה יצא לי כאן משהו מחזורי...? אם כן, אפשר להסביר למה?
תודה!!!
#כי שתי החבורות האלו ציקליות מאותו סדר, וכל החבורות הציקליות מסדר k כלשהו איזומורפיות זו לזו.
#כי אם <math>(m',n')=k</math> אז <math>dk</math> הוא מחלק משותף של <math>m,n</math>.
#
##לפי לגרנז', סדר של איבר מחלק את סדר החבורה. בפרט הוא חסום על ידי סדר החבורה.
##אם הסדר הוא n, אז <math>g^n=e</math>. ולכן בחזקה ה-n+1 אתה חוזר ל-g, וממשיך משם הלאה. זה אכן מחזורי. חשוב, לצורך הדוגמא, על סיבוב ב-<math>D_{10}</math>. אחרי 11 סיבובים ב-36 מעלות אתה מקבל סיבוב ב-396=36 מעלות. חיים רוזנר 14:17, 21 בינואר 2014 (EST)
== מחלקות שמאליות וימניות ==
נניח G חבורה, H ת"ח.
למה מספר המחלקות השמאליות של <math>H</math> ב- <math>G</math> שווה למספר המחלקות הימניות של <math>H</math> ב<math>G</math>.
אפשר בבקשה הסבר אינטואיטיבי והסבר יותר פורמלי...?
יש הבדל בין מקרים בהם מספר המחלקות סופי ובין מקרים בהם מספר המחלקות אינסופי?
ולמה לכל a,b ב-G, מתקיים ש- aH=bH?
:כל איבר ב-G ניתן לרשום בצורה <math>ah,h\in H</math> וגם בצורה <math>hb,h\in H</math>. אנו מוצאים התאמה בין <math>aH</math> לבין <math>Ha</math>. לצערי, בקורס אלגבראי מופשט כמו זה, ההסברים הכי אינטואיטיביים הם ההסברים הפורמליים. :(
:ההתאמה הזו היא הפיכה, כמובן, ולכן אין משמעות לשאלה אם יש פה משהו סופי או לא.
:הטענה לכל a,b ב-G, מתקיים ש- aH=bH איננה נכונה. חיים רוזנר 14:23, 21 בינואר 2014 (EST)
== אפשר עזרה בהוכחת טענה שאמורה להיות פשוטה אבל מסיבה כלשהי לא מצליח לי.. ==
<math>G</math> חבורה. מסתכלים על איבר <math>a</math> ב-<math>G</math>.
למה <math>|<a>|=o(a)</math>?
:עיין [http://math-wiki.com/index.php?title=%D7%A9%D7%99%D7%97%D7%94:89-214_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%90%27_%D7%AA%D7%A9%D7%A2%D7%93#.D7.9E.D7.94_.D7.94.D7.94.D7.95.D7.9B.D7.97.D7.94_.D7.9C.D7.9B.D7.9A_.D7.A9.D7.A1.D7.93.D7.A8_.D7.A9.D7.9C_.D7.90.D7.99.D7.91.D7.A8.2C_.D7.94.D7.95.D7.90_.D7.A1.D7.93.D7.A8_.D7.94.D7.97.D7.91.D7.95.D7.A8.D7.94_.D7.94.D7.A6.D7.99.D7.A7.D7.9C.D7.99.D7.AA_.D7.A9.D7.90.D7.95.D7.AA.D7.94_.D7.94.D7.95.D7.90_.D7.99.D7.95.D7.A6.D7.A8.3F לעיל], תשובה לשאלה דומה. חיים רוזנר 13:36, 21 בינואר 2014 (EST)
== מיון כל החבורות מסדר קטן או שווה 5 ==
מה המשמעות של למיין את כל החבורות מסדר קטן או שווה ל-5? למיין לפי למה?
מספר החבורות מסדר <math>i</math> כאשר <math>i</math> בין 1 ל-5, הוא לא אינסופי??
מה צריך לעשות בשאלה הזו?
:בשאלה זו יש לרשום את כל החבורות מסדר קטן או שווה ל-5 עד כדי איזומורפיזם. כמובן, אם יש לי קבוצה בת n איברים, אז יש מספר סופי של פעולות בינאריות אפשריות. אנו לוקחים רק את הפעולות שנותנות חבורה, ומצמצמים את כל אלו שאיזומורפיות זו לזו, ולכן יש מספר סופי של חבורות מסדר n. ההמלצה שלי היא להתחיל במיון כל החבורות האבליות מסדרים אלו, ואז לנסות למצוא בטיעון מחוכם את כל החבורות הלא אבליות מסדרים אלו. חיים רוזנר 14:33, 21 בינואר 2014 (EST)
== תת-חבורה נורמלית ==
הטיעון הבא נכון? <math>N</math> נורמלית ב-<math>G</math> אם ורק אם:
<math>\forall g\in G\forall n\in N:g^{-1}ng=n</math>.
:לא. ההגדרה שהובאה כאן היא לתת-חבורה של המֵרְכָּז של G. ההגדרה לנורמליות היא
:<math>\forall g\in G\forall n\in N:g^{-1}ng\in N</math>.
ושאלה שניה- אם <math>N</math> נורמלית ב-<math>G</math>, אז <math>N</math> אבלית?
:לא. לדוגמא, <math>A_n\vartriangleleft S_n</math> אבל <math>A_n</math> לא אבלית. חיים רוזנר 14:55, 21 בינואר 2014 (EST)
תודה מראש
== מה הדרך להוכיח שחבורה מסדר 4 היא אבלית? איך מגיעים בכלל למסקנה הזו? ==
יכול להיות משהו עם לגראנז'?
אם היא מסדר 4, אז כל איבר בה מחלק את סדר החבורה.
לכן כל איבר בה הוא מסדר 1 2 או 4.
אם אוכיח שקיים איבר מסדר 4 אז היא ציקלית ולכן אבלית.
אבל למה קיים איבר מסדר 4?
יש עוד דרכים להוכיח את זה??
:ציינת שאם יש לה איבר מסדר 4 אז היא אבלית. כעת, השלמת הטיעון אפשרית באחת משתי דרכים: להוכיח שלכל חבורה מסדר 4 יש איבר מסדר 4; או להוכיח שכל חבורה מסדר 4 שאין בה איבר מסדר 4 היא אבלית. חיים רוזנר 14:33, 21 בינואר 2014 (EST)
למה לכל חבורה מסדר 4 יש איבר מסדר 4?
:אני הצעתי שתי אפשרויות לעיל. אם אתה לא מצליח להוכיח את אפשרות א', אז אולי כדאי לבדוק את אפשרות ב'; וחוזר חלילה. חיים רוזנר 03:52, 26 בינואר 2014 (EST)
== למה כל חבורה מסדר 3 היא ציקלית???? ==
למה כל חבורה מסדר 3 היא ציקלית????
:הוכחתם את זה בתרגיל בית 3, ופורסם גם פתרון. באופן כללי יותר, מה אפשר לומר על חבורה מסדר ראשוני (כמו למשל 3)? מהו הוא הסדר האפשרי של האיברים בחבורה מסדר ראשוני?
ממשפט לגראנז', הסדר של כל איבר מחלק את סדר החבורה. לכן אם הסדר של החבורה הוא ראשוני, אז הסדר של כל איבר הוא p, חוץ מאיבר היחידה שהסדר שלו הוא 1.
אם לוקחים איבר בחבורה שהיא מסדר 3, ומסתכלים על התת חבורה הנוצרת על ידו, אז הסדר שלה מחלק את 3, אבל 3 ראשוני, לכן הסדר שלה הוא 3.
לכן קיימת בחבורה מסדר 3 תת חבורה מסדר 3 ולכן התת חבורה מתלכדת עם החבורה.
לכן מצאנו איבר שיוצר תת חבורה שמתלכדת עם החבורה. לכן הוא יוצר את החבורה ולכן החבורה ציקלית?
:מ.ש.ל.
== שאלה ==
<math>G</math> חבורה סופית .
<math>p</math> ראשוני. צריך להוכיח שהסדר של <math>G</math> הוא חזקה של <math>p</math> אם ורק אם הסדר של כל <math>g</math> ב-<math>G</math>
הוא חזקה של <math>p</math>.
הכיוון מימין לשמאל הוכחתי. כיצד מוכיחים את הכיוון משמאל לימין?
:שילוב של משפט קושי ומשפט לגראנז' (ראה למשל בויקיפדיה: [https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%9E%D7%A9%D7%A4%D7%98_%D7%A7%D7%95%D7%A9%D7%99_%28%D7%AA%D7%95%D7%A8%D7%AA_%D7%94%D7%97%D7%91%D7%95%D7%A8%D7%95%D7%AA%29 משפט קושי]). מה יקרה אם תניח בשלילה כי למרות שסדר כל האיברים של <math>G</math> הם חזקה של <math>p</math>, אבל הסדר של <math>G</math> הוא לא חזקה של <math>p</math>? כלומר שלסדר של <math>G</math> יש עוד גורם ראשוני?
== שאלה 5 ממועד א' שנה שעברה ==
שלום אשמח לעזרה בשאלה שאני מתקשה בה:
תהי G חבורה אבלית ויהי אפימורפיזם f מG לZ (השלמים), הוכח שקיימת ת"ח H האיזומורפית לZ ומתקיים G איזומורפי ל H x kerf . תודה
:לשאלה זו שני חלקים. בחלק הראשון יש למצוא ת"ח H של G איזומורפית ל-Z. נזכיר כאן ש-Z היא חבורה ציקלית מסדר אינסוף, דהיינו יש לה יוצר שהוא מסדר אינסוף. לכן צריך למצוא ב-G איבר מסדר אינסוף, ולוודא שהוא יוצר את H כמבוקש. אני ממליץ להשתמש ב-f לשם כך.
:החלק השני הוא מציאת איזומורפיזם בין G לבין H x kerf. הרעיון הוא לפרק כל g ב-G לרכיב אחד שהולך לתמונה Z ורכיב שני שנמצא בגרעין. לצורך כך יש להיעזר בתשובה לחלק א.
:כמובן, זו סקיצה לפתרון. חיים רוזנר 04:32, 26 בינואר 2014 (EST)
== שאלה ==
אני רוצה להראות ש- <math>\mathbb{Z}_{8}X\mathbb{Z}_{10}\cong \mathbb{Z}_{2}X\mathbb{Z}_{5}X\mathbb{Z}_{8}</math>.
ידוע ש: <math>\mathbb{Z}_{10}\cong \mathbb{Z}_{2}X\mathbb{Z}_{5}</math> כי 2,5 זרים.
אפשר מיד להגיד ש- <math>\mathbb{Z}_{8}X\mathbb{Z}_{10}\cong \mathbb{Z}_{8}X\mathbb{Z}_{2}X\mathbb{Z}_{5}</math>?
אם כן, למה? מה הנימוק למעבר הזה?
:הנימוק הא שאפשר למצוא איזומורפיזם מפורש. באופן כללי אם <math>G \cong G'</math>, אז <math>H \times G \cong H \times G'</math>.
ושאלה נוספת..
איך מוכיחים ש- <math>\mathbb{Z}_{5}X\mathbb{Z}_{16}</math> ו <math>\mathbb{Z}_{8}X\mathbb{Z}_{16}</math> לא איזומורפיות?
:הן לא איזמורפיות מפני שהסדר שלהן שונה. אולי התכוונת למספרים אחרים?
== האם מְרַכֵּז <math>C(g^n)</math> הינו תת חבורה של מְרַכֵּז <math>C(g)</math> ? ==
תשובה:
<math>C(g^n)=\{x\in G\colon g^nx=xg^n\}</math>
<math>C(g)=\{x\in G\colon gx=xg\}</math>
כעת, אם x מתחלף עם g, אז בפרט גם x מתחלף עם <math>g^2</math>, כי <math>g^2x=g(gx)=g(xg)=(gx)g=xgg=xg^2</math>. הטענה הזו מתקיימת באופן דומה לכל חזקה גבוהה יותר. לכן ההכלה היא הפוכה:
<math>C(g)\le C(g^n)</math>.
הסבר נוסף: אם נעלה את g בחזקה מספיק גבוהה, אנו עלולים להגיע לאיבר היחידה (אם העלנו בכפולה שך הסדר של g). מתקיים <math>C(e)=G</math>, ולכן העלאה בחזקה עלולה להגדיל את המְרַכֵּז, ולא להקטין אותו. חיים רוזנר 04:43, 26 בינואר 2014 (EST)
== צריך למצוא את החבורות האבליות מסדר 324 ואקספוננט 18 ==
מה שאני רוצה לעשות, זה דבר ראשון למצוא את כל החבורות האבליות מסדר 24 עד כדי איזומורפיזם.
הפירוק של 324 לכורמים ראשוניים הוא : <math>324=2^{2}3^{4}</math>.
את המעריך 2 אפשר לרשום בשניי דרכים: 2 או 1+1. לכן מהגורם <math>2^{2}</math> נקבל את החבורות:
<math>\mathbb{Z}_{4}</math>
<math>\mathbb{Z}_{2}\times \mathbb{Z}_{2}</math> .
את המעריך 4 אפשר לרשום ב-5 דרכים:
4 או 1+3 או 2+2 או 2+1+1 או 1+1+1+1 . לכן מהגורם <math>3^{4}</math> יתקבלו החבורות הבאות:
<math>\mathbb{Z}_{81}</math>
<math>\mathbb{Z}_{3}\times\mathbb{Z}_{27}</math>
<math>\mathbb{Z}_{9}\times\mathbb{Z}_{9}</math>
<math>\mathbb{Z}_{9}\times\mathbb{Z}_{3}\times\mathbb{Z}_{3}</math>
<math>\mathbb{Z}_{3}\times\mathbb{Z}_{3}\times\mathbb{Z}_{3}\times\mathbb{Z}_{3}</math>.
אם עושים עכשיו מכפלה קרטזית בין כל אחת משתיי החבורות שיתקבלו מהגורם הראשון, לבין כל 5 החבורות שיתקבלו מהגורם השני, מקבלים 10 חבורות.
מהמכפלה של <math>\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{2}</math> עם כל 5 החבורות שיתקבלו מהגורם השני, מקבלים את החבורות:
<math>\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{81}</math>
<math>\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{3}\times\mathbb{Z}_{27}</math>
<math>\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{9}\times\mathbb{Z}_{9}</math>
<math> \mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{9}\times\mathbb{Z}_{3}\times\mathbb{Z}_{3}
\cong \mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{18}\times\mathbb{Z}_{3}\times\mathbb{Z}_{3}</math> (*)
<math>\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{3}\times\mathbb{Z}_{3}\times\mathbb{Z}_{3}\times\mathbb{Z}_{3}\times\mathbb{Z}_{3}</math>
לחבורה (*) יש אקספוננט 18 ולאחרות אין? החבורה שמסומנת ב-(*) היא התשובה לשאלה?
:הפירוק של החבורה שהצגת הוא מדויק, ונותר רק לחשב את האקספוננט של כל פירוק שכזה. אקספוננט של חבורה הוא הכפולה המשותפת הקטנה ביותר של כל סדרי איבריה. במקרה שפרקת את החבורה להצגה קנונית, כפי שעשית כאן, הרי שהחישוב הוא קל: לכל גורם ראשוני p בוחרים את החזקה המקסימלית שלו שמופיעה בפירוק, ומכפילים הכל. במקרה שלנו מתקיים <math>18=2^13^2</math>, ולכן אנו מחפשים פירוק שבו החזקה המקסימלית של 2 תהיה 1, ושל 3 תהיה 2. כדי שהחזקה המקסימלית של 2 תהיה 1, עלינו לבחור את <math>\mathbb{Z}_{2}\times \mathbb{Z}_{2}</math>, כי האפשרות השניה נותנת חזקה גבוהה יותר, <math>2^2</math>. בדומה, מבין חמש האפשרויות של חבורה אבלית מסדר 81 עלינו לבחור את זו שבה הסדר הגדול ביותר הוא 9, דהיינו '''אחת''' משתי האפשרויות <math>\mathbb{Z}_{9}\times\mathbb{Z}_{9}</math> ו-<math>\mathbb{Z}_{9}\times\mathbb{Z}_{3}\times\mathbb{Z}_{3}</math>. בסך הכל מצאנו שתי תשובות אפשריות: <math>\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{9}\times\mathbb{Z}_{9}</math> ו-<math> \mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{9}\times\mathbb{Z}_{3}\times\mathbb{Z}_{3}</math>. חיים רוזנר 05:00, 26 בינואר 2014 (EST)
== צורה קנונית ==
מה המשמעות של להביא חבורות לצורה קנונית? ולמה זה טוב לעשות את זה?
אפשר אולי לתת דוגמה מסויימת..?
:צורה קנונית של חבורה אבלית סופית G היא הצגה של חבורה איזומופירת ל-G כמכפלה קרטזית של חבורות ציקליות מסדרים שהם חזקת ראשוני: <math>G\cong\mathbb{Z}_{p_1^{n_1}}\times\mathbb{Z}_{p_2^{n_2}}\times\cdots\times\mathbb{Z}_{p_k^{n_k}}</math>, עבור <math>p_j</math> ראשוניים, לאו דווקא שונים זה מזה, ועבור <math>n_j</math> טבעיים. לפי משפט המיון לחבורות אבליות סופיות, קיימת הצגה אחת כזו, עד כדי החלפת סדר הגורמים במכפלה הקרטזית (<math>\times</math>). דוגמא אפשר לראות בשאלה הקודמת; שם גם ניתן לראות כיצד היא מסייעת בפתרון שאלות לגבי חבורות אבליות סופיות. חיים רוזנר 05:08, 26 בינואר 2014 (EST)
== שאלה ==
<math>G</math> חבורה ו-<math>N</math> ת"ח נורמלית מאינדקס n.
יהי <math>g\in G</math> ו-<math>t</math> המספר החיובי הקטן ביותר כך ש- <math>g^{t}\in N</math> צריך להוכיח ש-
<math>t\mid n</math>.
יש מעבר אחד בהוכחה של השאלה הזו שלא ברור לי.
למה מהנתון ש <math>t</math> המספר החיובי הקטן ביותר כך ש- <math>g^{t}\in N</math> נובע ש-
<math>g^{t}N=(gN)^t=N</math> ??
:באמת נראה לי שרצו לכתוב שם <math>(gN)^t=g^tN=N</math>. אם כך הוא הדבר, הרי שהמעבר הראשון מוצדק מתכונות של חבורת המנה, דהיינו מכך ש-N נורמלית. המעבר השני מוצדק מכך ש-<math>g^{t}\in N</math>, בלי קשר להיות t הזה מינימלי. חיים רוזנר 05:15, 26 בינואר 2014 (EST)
== מספר שאלות ==
האם נכון להגיד שלכל חבורה בעולם יש תת-חבורה ציקלית?
:כן. ראשית, החבורה הטריוויאלית {e} היא ציקלית. בנוסף, אם יש לי איבר g בחבורה, הרי שהוא יוצר איזושהי חבורה ציקלית, והיא ת"ח של G.
בנוסף, האם יש שיטה מהירה לחשב אקספוננט של חבורת אוילר? לדוגמה, מה הEXP של U30?
:לא מכיר שיטה כזו. השיטה שלי היא להשתמש במשפט המיון, וזה לא נראה לי האלגוריתם היעיל ביותר.
עוד שאלה, האם הEXP של U12 x U3 הוא פשוט הLCM של 12 ו3? האם הכלל הזה נכון לכל מכפלה קרטזית של שתי חבורות? (תמיד עשינו את זה עבור Z).
:לא. <math>exp(U_{12}\times U_3)=lcm(exp(U_{12}),exp(U_3))</math>, והכלל הזה נכון לכל מכפלה קרטזית: <math>exp(G\times H)=lcm(exp(G),exp(H))</math>. אנחנו השתמשנו עד כה רק בעבור חבורות ציקליות, ושם באמת זה הרבה יותר קל. חיים רוזנר 05:33, 26 בינואר 2014 (EST)
תודה.
== סדרי האיברים בSn ==
ראינו בתרגול שלחבורה הסימטרית S4 , הסדרים האפשריים של איברים בה הם רק 1,2,3, ו4.
האם זה נכון תמיד שלכל חבורה Sn, הסדרים האפשריים הם מ1 ועד n?
:לא. האיבר (1 2 3)(4 5) הוא איבר מסדר 6 ב-S5. חיים רוזנר 15:52, 22 בפברואר 2014 (EST)
== הצגת תמורה כמכפלה של חלופים ==
בתרגול העברנו תמורה כמכפלה של מחזורים זרים למכפלה של חילופים באופן הבא:
(1 2 4) (3 5 6 7) = (1 2)(2 4)(3 5)(5 6)( 6 7)
עם זאת, בתרגיל 8, בשאלה 1, בפתרון שהצעתם, השתמשתם בטכניקה שונה בה לקחתם את האיבר הראשון במחזור כאיבר שמאפשר חילחול בחילופים.
ניסיתי גם שם את הטכניקה הראשונה שראינו בתרגול וקיבלתי 6 חילופים.
האם זה משנה באיזו טכניקה אני משתמש?
כי החילופים יוצאים שונים... אך מספר החילופים זהה.
:שתי הטכניקות טובות. בשתיהן אמור להתקבל אותו מספר חילופים, כי כל מחזור מאורך r מוצג כמכפלה של r-1 חילופים בשתי הטכניקות. בעיקרון, מספר החילופים איננו קריטי; אולם לא יכול להיות שהצגה אחת תהיה על ידי מספר חילופים זוגי והאחרת על ידי מספר חילופים אי-זוגי. חיים רוזנר 15:52, 22 בפברואר 2014 (EST)
== גודל המרכז Z והמרכז C ==
האם נכון לומר שגודל המרכז <math>Z(G)</math> תמיד לפחות 1 (כי e מתחלף עם כל איברי G)?
:כן. אמרנו את זה בכיתה. גם אמרנו שזו חבורה (נורמלית ב-G), ולחבורה יש לפחות איבר אחד.
ולכן גם בכל חבורה יש לפחות מחלקת צמידות אחת (שמכילה את e בלבד)?
:כן.
והאם נכון לומר שגודל המרכז <math>C_G(a)</math> של איבר a הוא תמיד לפחות 2 (כי a מתחלף עם איבר היחידה ועם עצמו)?
:אם <math>a \neq e</math>, אז אכן מצאת כאן שני איברים שונים במְרַכֵּז של a. למעשה, ניתן להראות כי במרכז יש לפחות שני איברים גם עבור e, ובתנאי ש-G איננה החבורה הטריוויאלית. חיים רוזנר 15:52, 22 בפברואר 2014 (EST)
תודה.
== איזומורפיזם בין Sn לDn ==
ראינו בתרגול שיש איזומורפיזם בין S3 לD3.
האם תמיד קיים איזומורפיזם בין Sn לDn?
:לא. מספר האיברים שונה, לכל n גדול מ-3. חיים רוזנר 15:52, 22 בפברואר 2014 (EST)
== איזומורפיזם בין מכפלות קרטזיות ==
האם Z2 X Z2 X Z2 X Z4 איזומורפית ל Z2 X Z4 X Z4?
שתיהן חבורות אבליות מסדר 32, לא ציקליות, ובעלות אקספוננט זהה (4).
האם הן איזומורפיות?
:לא. שתי הוכחות לכך:
:א. מספר האיברים מסדר 2 שונה בשתי החבורות האלו. (חשבו!)
:ב. לחבורה מימין יש ת"ח איזומורפית ל- Z2 X Z2 X Z2 X Z2, הלוא היא הת"ח Z2 X Z2 XZ2 X 2Z4. מנגד, לחבורה השמאלית אין ת"ח מסדר 16 ואקספוננט 2.
:באופן כללי, הצגה בצורה קנונית היא '''יחידה''', עד כדי סדר הגורמים במכפלה. הצגה קנונית היא הצגה של חבורה אבלית סופית כמכפלה של Zq-ים שונים, כאשר כל q הוא חזקה של ראשוני. תמיד, כאשר מגיעים לנצגה כזו, שתי חבורות עם הצגה שונה אינן איזומורפיות, ונתן להראות זאת כמו שהראיתי לעיל - למנות כמה איברים יש מכל סדר, ולעבור על הת"ח השונות, מתישהו תימצא ת"ח של חבורה אחת שאין לה ת"ח איזומורפית באחרת.חיים רוזנר 15:52, 22 בפברואר 2014 (EST)
== תמורות מתחלפות ==
האם התמורות t = (1 4) (2 5) (3 6) ו q = (1 2 3) (4 5 6) מתחלפות?
ביצעתי הרכבה משני הצדדים, וקיבלתי: (6 2 4 3 5 1)
ולכן הן מתחלפות.
האם אני צודק?
:אם חישבת את tq ואת qt, ומצאת את אותה התמורה - אז הן מתחלפות. אינני לוקח אחריות על טעויות חישוב. בהצלחה. חיים רוזנר 15:52, 22 בפברואר 2014 (EST)