:אינך צריך להשקיע זמן ומרץ בפתרון שאלות אלו. מנגד - גם הבודקים אינם צריכים. זה איננה סיבה שלא נאפשר לסטודנטים בקורס קצת ליהנות. חיים רוזנר 07:06, 20 בינואר 2014 (EST)
::אפשר תגובה פחות צינית מזאת?
::כמו למשל, איך ואיפה אפשר לערער על העניין הזה?
== הרכבת תמורות ==
'''::אז למשל אם אסתכל על (---)(-), אז ישנם <math>\frac{\binom{4}{3}}{3}</math> איברים ב-S4 בעלי מבנה מחזורים כזה???''' :::לא. חישבת אל נכון את מספר האפשרויות לבחור שלושה איברים שיופיעו במחזור. זה אכן <math>\binom{4}{3}</math>. נניח שהאיבר הראשון במחזור זה הוא הקטן ביותר, אז נשארו עוד <math>3-1</math> איברים לקבוע את הסדר שלהם, ולזה יש <math>(3-1)!</math> אפשרויות. בסך הכל מתקבלות <math>\binom{4}{3}(3-1)!</math> אפשרויות. כעת צריך לעבור למחזור הבא. אבל הוא מאורך 1, ולכן יש רק אפשרות אחת בשבילו. חיים רוזנר 13:19, 21 בינואר 2014 (EST)
6.
:יש מקרים שבהם מחלקת צמידות סגורה ל'''הופכי''', לדוגמא: המחלקה של איבר מסדר 2 בחבורה אבלית. עדיין זו איננה חבורה, בגלל הטיעון הכללי שאמרתי קודם. אבל כדי שזו לא תהיה תת-חבורה, ולפי הקריטריון לת"ח, אנחנו יודעים שהיא לא סגורה לאחת משתי הפעולות: הופכי או הפעולה הבינארית. לדעתי צריכה ליות הוכחה שכל מחלקתצמידות איננה סגורה לפעולה, אבל אני לא מוצא אותה עכשיו.
:לתשומת לבכם, עדיין יש להוכיח את הטענה הראשונה בתשובה זו: לכל האיברי במחלקת צמידות יש אותו סדר. גם השויון שהבאתי טעון הוכחה. חיים רוזנר 18:14, 20 בינואר 2014 (EST)
== חישוב אקספוננט של <math>D_{10}</math> ==
כיצד לחשב את האקספוננט של <math>D_{10}</math>? יש בה 20 איברים! יש דרך יעילה?
:מתוך היכרות עם החבורה הדיהדרלית <math>D_n</math>, אנו יודעים שיש בה שני סוגי איברים: שיקופים וסיבובים. הסיבובים הם ת"ח ציקלית, ולכן התרומה שלהם לאקספוננט היא n. כל השיקופים הם מסדר 2, ולכן הם תורמים את הגורם 2. ביחד קיבלנו <math>exp(D_n)=lcm(2,n)</math>. אין לי שיטה גנרית לחבורה כללית. חיים רוזנר 13:31, 21 בינואר 2014 (EST)
== שלוש שאלות על חבורות ציקליות ==
#למה לומר ש- <math>C_{n}XC_\times C_{m}</math> חבורה ציקלית, שקול ללהגיד ש- <math>C_{m}XC_\times C_{n}\cong C_{mn}</math>?#רוצים להראות שאם <math>C_{n}\times C_{m}</math> ציקלית, אז <math>(m,n)=1</math>. מניחים בשלילה ש-<math>(m,n)=d>1</math>. לכן <math>m=dm'</math> ו- <math>n=dn'</math>. למה בהכרח מתקיים גם ש- <math>(m',n')=1</math>?#אם נתונה חבורה, וצריך לדעת האם היא ציקלית, אז אפשר למשל לבדוק האם קיים איבר מסדר החבורה. נניח מדובר בחבורה בת 5 איברים. אז בודקים את הסדר של כל אחד מהאיברים. שתי שאלות בעניין הזה:##מה יהיה לכל היותר, הסדר של כל איבר בחבורה?##ושאלה שנייה...אם נניח מצאתי שהסדר של איבר כלשהו הוא n, אז אם אמשיך לעלות אותו בחזקות שבאות אחרי n, כלומר בחזקות n+1 n+2...וכו', אז אני אחזור על התוצאות הקודמות? כלומר זה יצא לי כאן משהו מחזורי...? אם כן, אפשר להסביר למה?תודה!!!
#כי שתי החבורות האלו ציקליות מאותו סדר, וכל החבורות הציקליות מסדר k כלשהו איזומורפיות זו לזו.
#כי אם <math>(m',n')=k</math> אז <math>dk</math> הוא מחלק משותף של <math>m,n</math>.
#
##לפי לגרנז', סדר של איבר מחלק את סדר החבורה. בפרט הוא חסום על ידי סדר החבורה.
##אם הסדר הוא n, אז <math>g^n=e</math>. ולכן בחזקה ה-n+1 אתה חוזר ל-g, וממשיך משם הלאה. זה אכן מחזורי. חשוב, לצורך הדוגמא, על סיבוב ב-<math>D_{10}</math>. אחרי 11 סיבובים ב-36 מעלות אתה מקבל סיבוב ב-396=36 מעלות. חיים רוזנר 14:17, 21 בינואר 2014 (EST)
== מחלקות שמאליות וימניות ==
נניח G חבורה, H ת"ח.
למה מספר המחלקות השמאליות של <math>H</math> ב- <math>G</math> שווה למספר המחלקות הימניות של <math>H</math> ב<math>G</math>.
אפשר בבקשה הסבר אינטואיטיבי והסבר יותר פורמלי...?
ועוד משהו...נניח צריך להראות שאם <math>C_{n}XC_{m}</math> ציקלית, אז <math>(m,n)=1</math>.יש הבדל בין מקרים בהם מספר המחלקות סופי ובין מקרים בהם מספר המחלקות אינסופי?
מניחים בשלילה שולמה לכל a,b ב-<math>(mG,n)מתקיים ש- aH=d>1</math>.bH?
לכן :כל איבר ב-G ניתן לרשום בצורה <math>m=dm'ah,h\in H</math> ו- וגם בצורה <math>n=dn'hb,h\in H</math>.אנו מוצאים התאמה בין <math>aH</math> לבין <math>Ha</math>. לצערי, בקורס אלגבראי מופשט כמו זה, ההסברים הכי אינטואיטיביים הם ההסברים הפורמליים. :(:ההתאמה הזו היא הפיכה, כמובן, ולכן אין משמעות לשאלה אם יש פה משהו סופי או לא.:הטענה לכל a,b ב-G, מתקיים ש- aH=bH איננה נכונה. חיים רוזנר 14:23, 21 בינואר 2014 (EST)
למה בהכרח מתקיים גם ש- <math>(m',n')=1</math>??= אפשר עזרה בהוכחת טענה שאמורה להיות פשוטה אבל מסיבה כלשהי לא מצליח לי.. ==
<math>G</math> חבורה. מסתכלים על איבר <math>a</math> ב-<math>G</math>.
ושאלה אחרונה..למה <math>|<a>|=o(a)</math>?
אם נתונה חבורה:עיין [http://math-wiki.com/index.php?title=%D7%A9%D7%99%D7%97%D7%94:89-214_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%90%27_%D7%AA%D7%A9%D7%A2%D7%93#.D7.9E.D7.94_.D7.94.D7.94.D7.95.D7.9B.D7.97.D7.94_.D7.9C.D7.9B.D7.9A_.D7.A9.D7.A1.D7.93.D7.A8_.D7.A9.D7.9C_.D7.90.D7.99.D7.91.D7.A8.2C_.D7.94.D7.95.D7.90_.D7.A1.D7.93.D7.A8_.D7.94.D7.97.D7.91.D7.95.D7.A8.D7.94_.D7.94.D7.A6.D7.99.D7.A7.D7.9C.D7.99.D7.AA_.D7.A9.D7.90.D7.95.D7.AA.D7.94_.D7.94.D7.95.D7.90_.D7.99.D7.95.D7.A6.D7.A8.3F לעיל], וצריך לדעת האם היא ציקלית, אז אפשר למשל לבדוק האם קיים איבר מסדר החבורהתשובה לשאלה דומה.חיים רוזנר 13:36, 21 בינואר 2014 (EST)
נניח מדובר בחבורה בת 5 איברים. אז בודקים את הסדר של == מיון כל אחד מהאיברים.החבורות מסדר קטן או שווה 5 ==
שתיי שאלות בעניין הזה:מה המשמעות של למיין את כל החבורות מסדר קטן או שווה ל-5? למיין לפי למה?
מה יהיה לכל היותרמספר החבורות מסדר <math>i</math> כאשר <math>i</math> בין 1 ל-5, הסדר של כל איבר בחבורההוא לא אינסופי??
ושאלה שנייה...אם נניח מצאתי שהסדר של איבר כלשהו הוא n, אז אם אמשיך לעלות אותו בחזקות שבאות אחרי n, כלומר בחזקות n+1n+2...וכו', אז אני אחזור על התוצאות הקודמות? כלומר זה יצא לי כאן משהו מחזורי...מה צריך לעשות בשאלה הזו?
:בשאלה זו יש לרשום את כל החבורות מסדר קטן או שווה ל-5 עד כדי איזומורפיזם. כמובן, אם כןיש לי קבוצה בת n איברים, אז יש מספר סופי של פעולות בינאריות אפשריות. אנו לוקחים רק את הפעולות שנותנות חבורה, ומצמצמים את כל אלו שאיזומורפיות זו לזו, ולכן יש מספר סופי של חבורות מסדר n. ההמלצה שלי היא להתחיל במיון כל החבורות האבליות מסדרים אלו, ואז לנסות למצוא בטיעון מחוכם את כל החבורות הלא אבליות מסדרים אלו. חיים רוזנר 14:33, אפשר להסביר למה?21 בינואר 2014 (EST)
תודה!!!== תת-חבורה נורמלית ==
== הטיעון הבא נכון? <math>N</math> נורמלית ב-<math>G חבורה , H ת"ח. ==</math> אם ורק אם:
למה מספר המחלקות השמאליות של <math>H</math> ב\forall g\in G\forall n\in N:g^{- <math>G</math> שווה למספר המחלקות הימניות של <math>H</math> ב<math>G1}ng=n</math>.
אפשר בבקשה הסבר אינטואיטיבי והסבר יותר פורמלי:לא.ההגדרה שהובאה כאן היא לתת-חבורה של המֵרְכָּז של G.ההגדרה לנורמליות היא:<math>\forall g\in G\forall n\in N:g^{-1}ng\in N</math>.?
ושאלה שניה- אם <math>N</math> נורמלית ב-<math>G</math>, אז <math>N</math> אבלית? :לא. לדוגמא, <math>A_n\vartriangleleft S_n</math> אבל <math>A_n</math> לא אבלית. חיים רוזנר 14:55, 21 בינואר 2014 (EST) תודה מראש == מה הדרך להוכיח שחבורה מסדר 4 היא אבלית? איך מגיעים בכלל למסקנה הזו? == יכול להיות משהו עם לגראנז'? אם היא מסדר 4, אז כל איבר בה מחלק את סדר החבורה. לכן כל איבר בה הוא מסדר 1 2 או 4. אם אוכיח שקיים איבר מסדר 4 אז היא ציקלית ולכן אבלית. אבל למה קיים איבר מסדר 4? יש הבדל עוד דרכים להוכיח את זה?? :ציינת שאם יש לה איבר מסדר 4 אז היא אבלית. כעת, השלמת הטיעון אפשרית באחת משתי דרכים: להוכיח שלכל חבורה מסדר 4 יש איבר מסדר 4; או להוכיח שכל חבורה מסדר 4 שאין בה איבר מסדר 4 היא אבלית. חיים רוזנר 14:33, 21 בינואר 2014 (EST) למה לכל חבורה מסדר 4 יש איבר מסדר 4? :אני הצעתי שתי אפשרויות לעיל. אם אתה לא מצליח להוכיח את אפשרות א', אז אולי כדאי לבדוק את אפשרות ב'; וחוזר חלילה. חיים רוזנר 03:52, 26 בינואר 2014 (EST) == למה כל חבורה מסדר 3 היא ציקלית???? == למה כל חבורה מסדר 3 היא ציקלית????:הוכחתם את זה בתרגיל בית 3, ופורסם גם פתרון. באופן כללי יותר, מה אפשר לומר על חבורה מסדר ראשוני (כמו למשל 3)? מהו הוא הסדר האפשרי של האיברים בחבורה מסדר ראשוני? ממשפט לגראנז', הסדר של כל איבר מחלק את סדר החבורה. לכן אם הסדר של החבורה הוא ראשוני, אז הסדר של כל איבר הוא p, חוץ מאיבר היחידה שהסדר שלו הוא 1. אם לוקחים איבר בחבורה שהיא מסדר 3, ומסתכלים על התת חבורה הנוצרת על ידו, אז הסדר שלה מחלק את 3, אבל 3 ראשוני, לכן הסדר שלה הוא 3. לכן קיימת בחבורה מסדר 3 תת חבורה מסדר 3 ולכן התת חבורה מתלכדת עם החבורה. לכן מצאנו איבר שיוצר תת חבורה שמתלכדת עם החבורה. לכן הוא יוצר את החבורה ולכן החבורה ציקלית? :מ.ש.ל. == שאלה == <math>G</math> חבורה סופית . <math>p</math> ראשוני. צריך להוכיח שהסדר של <math>G</math> הוא חזקה של <math>p</math> אם ורק אם הסדר של כל <math>g</math> ב-<math>G</math> הוא חזקה של <math>p</math>. הכיוון מימין לשמאל הוכחתי. כיצד מוכיחים את הכיוון משמאל לימין?:שילוב של משפט קושי ומשפט לגראנז' (ראה למשל בויקיפדיה: [https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%9E%D7%A9%D7%A4%D7%98_%D7%A7%D7%95%D7%A9%D7%99_%28%D7%AA%D7%95%D7%A8%D7%AA_%D7%94%D7%97%D7%91%D7%95%D7%A8%D7%95%D7%AA%29 משפט קושי]). מה יקרה אם תניח בשלילה כי למרות שסדר כל האיברים של <math>G</math> הם חזקה של <math>p</math>, אבל הסדר של <math>G</math> הוא לא חזקה של <math>p</math>? כלומר שלסדר של <math>G</math> יש עוד גורם ראשוני? == שאלה 5 ממועד א' שנה שעברה == שלום אשמח לעזרה בשאלה שאני מתקשה בה:תהי G חבורה אבלית ויהי אפימורפיזם f מG לZ (השלמים), הוכח שקיימת ת"ח H האיזומורפית לZ ומתקיים G איזומורפי ל H x kerf . תודה :לשאלה זו שני חלקים. בחלק הראשון יש למצוא ת"ח H של G איזומורפית ל-Z. נזכיר כאן ש-Z היא חבורה ציקלית מסדר אינסוף, דהיינו יש לה יוצר שהוא מסדר אינסוף. לכן צריך למצוא ב-G איבר מסדר אינסוף, ולוודא שהוא יוצר את H כמבוקש. אני ממליץ להשתמש ב-f לשם כך.:החלק השני הוא מציאת איזומורפיזם בין מקרים בהם G לבין H x kerf. הרעיון הוא לפרק כל g ב-G לרכיב אחד שהולך לתמונה Z ורכיב שני שנמצא בגרעין. לצורך כך יש להיעזר בתשובה לחלק א.:כמובן, זו סקיצה לפתרון. חיים רוזנר 04:32, 26 בינואר 2014 (EST) == שאלה == אני רוצה להראות ש- <math>\mathbb{Z}_{8}X\mathbb{Z}_{10}\cong \mathbb{Z}_{2}X\mathbb{Z}_{5}X\mathbb{Z}_{8}</math>. ידוע ש: <math>\mathbb{Z}_{10}\cong \mathbb{Z}_{2}X\mathbb{Z}_{5}</math> כי 2,5 זרים. אפשר מיד להגיד ש- <math>\mathbb{Z}_{8}X\mathbb{Z}_{10}\cong \mathbb{Z}_{8}X\mathbb{Z}_{2}X\mathbb{Z}_{5}</math>? אם כן, למה? מה הנימוק למעבר הזה?:הנימוק הא שאפשר למצוא איזומורפיזם מפורש. באופן כללי אם <math>G \cong G'</math>, אז <math>H \times G \cong H \times G'</math>. ושאלה נוספת.. איך מוכיחים ש- <math>\mathbb{Z}_{5}X\mathbb{Z}_{16}</math> ו <math>\mathbb{Z}_{8}X\mathbb{Z}_{16}</math> לא איזומורפיות?:הן לא איזמורפיות מפני שהסדר שלהן שונה. אולי התכוונת למספרים אחרים? == האם מְרַכֵּז <math>C(g^n)</math> הינו תת חבורה של מְרַכֵּז <math>C(g)</math> ? ==תשובה: <math>C(g^n)=\{x\in G\colon g^nx=xg^n\}</math> <math>C(g)=\{x\in G\colon gx=xg\}</math> כעת, אם x מתחלף עם g, אז בפרט גם x מתחלף עם <math>g^2</math>, כי <math>g^2x=g(gx)=g(xg)=(gx)g=xgg=xg^2</math>. הטענה הזו מתקיימת באופן דומה לכל חזקה גבוהה יותר. לכן ההכלה היא הפוכה: <math>C(g)\le C(g^n)</math>. הסבר נוסף: אם נעלה את g בחזקה מספיק גבוהה, אנו עלולים להגיע לאיבר היחידה (אם העלנו בכפולה שך הסדר של g). מתקיים <math>C(e)=G</math>, ולכן העלאה בחזקה עלולה להגדיל את המְרַכֵּז, ולא להקטין אותו. חיים רוזנר 04:43, 26 בינואר 2014 (EST) == צריך למצוא את החבורות האבליות מסדר 324 ואקספוננט 18 == מה שאני רוצה לעשות, זה דבר ראשון למצוא את כל החבורות האבליות מסדר 24 עד כדי איזומורפיזם. הפירוק של 324 לכורמים ראשוניים הוא : <math>324=2^{2}3^{4}</math>. את המעריך 2 אפשר לרשום בשניי דרכים: 2 או 1+1. לכן מהגורם <math>2^{2}</math> נקבל את החבורות: <math>\mathbb{Z}_{4}</math> <math>\mathbb{Z}_{2}\times \mathbb{Z}_{2}</math> . את המעריך 4 אפשר לרשום ב-5 דרכים: 4 או 1+3 או 2+2 או 2+1+1 או 1+1+1+1 . לכן מהגורם <math>3^{4}</math> יתקבלו החבורות הבאות: <math>\mathbb{Z}_{81}</math> <math>\mathbb{Z}_{3}\times\mathbb{Z}_{27}</math> <math>\mathbb{Z}_{9}\times\mathbb{Z}_{9}</math> <math>\mathbb{Z}_{9}\times\mathbb{Z}_{3}\times\mathbb{Z}_{3}</math> <math>\mathbb{Z}_{3}\times\mathbb{Z}_{3}\times\mathbb{Z}_{3}\times\mathbb{Z}_{3}</math>. אם עושים עכשיו מכפלה קרטזית בין כל אחת משתיי החבורות שיתקבלו מהגורם הראשון, לבין כל 5 החבורות שיתקבלו מהגורם השני, מקבלים 10 חבורות. מהמכפלה של <math>\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{2}</math> עם כל 5 החבורות שיתקבלו מהגורם השני, מקבלים את החבורות: <math>\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{81}</math> <math>\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{3}\times\mathbb{Z}_{27}</math> <math>\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{9}\times\mathbb{Z}_{9}</math> <math> \mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{9}\times\mathbb{Z}_{3}\times\mathbb{Z}_{3} \cong \mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{18}\times\mathbb{Z}_{3}\times\mathbb{Z}_{3}</math> (*) <math>\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{3}\times\mathbb{Z}_{3}\times\mathbb{Z}_{3}\times\mathbb{Z}_{3}\times\mathbb{Z}_{3}</math> לחבורה (*) יש אקספוננט 18 ולאחרות אין? החבורה שמסומנת ב-(*) היא התשובה לשאלה? :הפירוק של החבורה שהצגת הוא מדויק, ונותר רק לחשב את האקספוננט של כל פירוק שכזה. אקספוננט של חבורה הוא הכפולה המשותפת הקטנה ביותר של כל סדרי איבריה. במקרה שפרקת את החבורה להצגה קנונית, כפי שעשית כאן, הרי שהחישוב הוא קל: לכל גורם ראשוני p בוחרים את החזקה המקסימלית שלו שמופיעה בפירוק, ומכפילים הכל. במקרה שלנו מתקיים <math>18=2^13^2</math>, ולכן אנו מחפשים פירוק שבו החזקה המקסימלית של 2 תהיה 1, ושל 3 תהיה 2. כדי שהחזקה המקסימלית של 2 תהיה 1, עלינו לבחור את <math>\mathbb{Z}_{2}\times \mathbb{Z}_{2}</math>, כי האפשרות השניה נותנת חזקה גבוהה יותר, <math>2^2</math>. בדומה, מבין חמש האפשרויות של חבורה אבלית מסדר 81 עלינו לבחור את זו שבה הסדר הגדול ביותר הוא 9, דהיינו '''אחת''' משתי האפשרויות <math>\mathbb{Z}_{9}\times\mathbb{Z}_{9}</math> ו-<math>\mathbb{Z}_{9}\times\mathbb{Z}_{3}\times\mathbb{Z}_{3}</math>. בסך הכל מצאנו שתי תשובות אפשריות: <math>\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{9}\times\mathbb{Z}_{9}</math> ו-<math> \mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{9}\times\mathbb{Z}_{3}\times\mathbb{Z}_{3}</math>. חיים רוזנר 05:00, 26 בינואר 2014 (EST) == צורה קנונית == מה המשמעות של להביא חבורות לצורה קנונית? ולמה זה טוב לעשות את זה? אפשר אולי לתת דוגמה מסויימת..? :צורה קנונית של חבורה אבלית סופית G היא הצגה של חבורה איזומופירת ל-G כמכפלה קרטזית של חבורות ציקליות מסדרים שהם חזקת ראשוני: <math>G\cong\mathbb{Z}_{p_1^{n_1}}\times\mathbb{Z}_{p_2^{n_2}}\times\cdots\times\mathbb{Z}_{p_k^{n_k}}</math>, עבור <math>p_j</math> ראשוניים, לאו דווקא שונים זה מזה, ועבור <math>n_j</math> טבעיים. לפי משפט המיון לחבורות אבליות סופיות, קיימת הצגה אחת כזו, עד כדי החלפת סדר הגורמים במכפלה הקרטזית (<math>\times</math>). דוגמא אפשר לראות בשאלה הקודמת; שם גם ניתן לראות כיצד היא מסייעת בפתרון שאלות לגבי חבורות אבליות סופיות. חיים רוזנר 05:08, 26 בינואר 2014 (EST) == שאלה == <math>G</math> חבורה ו-<math>N</math> ת"ח נורמלית מאינדקס n. יהי <math>g\in G</math> ו-<math>t</math> המספר החיובי הקטן ביותר כך ש- <math>g^{t}\in N</math> צריך להוכיח ש- <math>t\mid n</math>. יש מעבר אחד בהוכחה של השאלה הזו שלא ברור לי. למה מהנתון ש <math>t</math> המספר החיובי הקטן ביותר כך ש- <math>g^{t}\in N</math> נובע ש- <math>g^{t}N=(gN)^t=N</math> ?? :באמת נראה לי שרצו לכתוב שם <math>(gN)^t=g^tN=N</math>. אם כך הוא הדבר, הרי שהמעבר הראשון מוצדק מתכונות של חבורת המנה, דהיינו מכך ש-N נורמלית. המעבר השני מוצדק מכך ש-<math>g^{t}\in N</math>, בלי קשר להיות t הזה מינימלי. חיים רוזנר 05:15, 26 בינואר 2014 (EST) == מספר המחלקות סופי ובין מקרים בהם שאלות == האם נכון להגיד שלכל חבורה בעולם יש תת-חבורה ציקלית? :כן. ראשית, החבורה הטריוויאלית {e} היא ציקלית. בנוסף, אם יש לי איבר g בחבורה, הרי שהוא יוצר איזושהי חבורה ציקלית, והיא ת"ח של G. בנוסף, האם יש שיטה מהירה לחשב אקספוננט של חבורת אוילר? לדוגמה, מה הEXP של U30? :לא מכיר שיטה כזו. השיטה שלי היא להשתמש במשפט המיון, וזה לא נראה לי האלגוריתם היעיל ביותר. עוד שאלה, האם הEXP של U12 x U3 הוא פשוט הLCM של 12 ו3? האם הכלל הזה נכון לכל מכפלה קרטזית של שתי חבורות? (תמיד עשינו את זה עבור Z). :לא. <math>exp(U_{12}\times U_3)=lcm(exp(U_{12}),exp(U_3))</math>, והכלל הזה נכון לכל מכפלה קרטזית: <math>exp(G\times H)=lcm(exp(G),exp(H))</math>. אנחנו השתמשנו עד כה רק בעבור חבורות ציקליות, ושם באמת זה הרבה יותר קל. חיים רוזנר 05:33, 26 בינואר 2014 (EST) תודה. == סדרי האיברים בSn == ראינו בתרגול שלחבורה הסימטרית S4 , הסדרים האפשריים של איברים בה הם רק 1,2,3, ו4. האם זה נכון תמיד שלכל חבורה Sn, הסדרים האפשריים הם מ1 ועד n? :לא. האיבר (1 2 3)(4 5) הוא איבר מסדר 6 ב-S5. חיים רוזנר 15:52, 22 בפברואר 2014 (EST) == הצגת תמורה כמכפלה של חלופים == בתרגול העברנו תמורה כמכפלה של מחזורים זרים למכפלה של חילופים באופן הבא:(1 2 4) (3 5 6 7) = (1 2)(2 4)(3 5)(5 6)( 6 7) עם זאת, בתרגיל 8, בשאלה 1, בפתרון שהצעתם, השתמשתם בטכניקה שונה בה לקחתם את האיבר הראשון במחזור כאיבר שמאפשר חילחול בחילופים. ניסיתי גם שם את הטכניקה הראשונה שראינו בתרגול וקיבלתי 6 חילופים.האם זה משנה באיזו טכניקה אני משתמש?כי החילופים יוצאים שונים... אך מספר המחלקות אינסופיהחילופים זהה. :שתי הטכניקות טובות. בשתיהן אמור להתקבל אותו מספר חילופים, כי כל מחזור מאורך r מוצג כמכפלה של r-1 חילופים בשתי הטכניקות. בעיקרון, מספר החילופים איננו קריטי; אולם לא יכול להיות שהצגה אחת תהיה על ידי מספר חילופים זוגי והאחרת על ידי מספר חילופים אי-זוגי. חיים רוזנר 15:52, 22 בפברואר 2014 (EST) == גודל המרכז Z והמרכז C == האם נכון לומר שגודל המרכז <math>Z(G)</math> תמיד לפחות 1 (כי e מתחלף עם כל איברי G)? :כן. אמרנו את זה בכיתה. גם אמרנו שזו חבורה (נורמלית ב-G), ולחבורה יש לפחות איבר אחד. ולכן גם בכל חבורה יש לפחות מחלקת צמידות אחת (שמכילה את e בלבד)? :כן. והאם נכון לומר שגודל המרכז <math>C_G(a)</math> של איבר a הוא תמיד לפחות 2 (כי a מתחלף עם איבר היחידה ועם עצמו)? :אם <math>a \neq e</math>, אז אכן מצאת כאן שני איברים שונים במְרַכֵּז של a. למעשה, ניתן להראות כי במרכז יש לפחות שני איברים גם עבור e, ובתנאי ש-G איננה החבורה הטריוויאלית. חיים רוזנר 15:52, 22 בפברואר 2014 (EST) תודה. == איזומורפיזם בין Sn לDn == ראינו בתרגול שיש איזומורפיזם בין S3 לD3.האם תמיד קיים איזומורפיזם בין Sn לDn? :לא. מספר האיברים שונה, לכל n גדול מ-3. חיים רוזנר 15:52, 22 בפברואר 2014 (EST) == איזומורפיזם בין מכפלות קרטזיות == האם Z2 X Z2 X Z2 X Z4 איזומורפית ל Z2 X Z4 X Z4? שתיהן חבורות אבליות מסדר 32, לא ציקליות, ובעלות אקספוננט זהה (4).האם הן איזומורפיות? :לא. שתי הוכחות לכך::א. מספר האיברים מסדר 2 שונה בשתי החבורות האלו. (חשבו!):ב. לחבורה מימין יש ת"ח איזומורפית ל- Z2 X Z2 X Z2 X Z2, הלוא היא הת"ח Z2 X Z2 XZ2 X 2Z4. מנגד, לחבורה השמאלית אין ת"ח מסדר 16 ואקספוננט 2.:באופן כללי, הצגה בצורה קנונית היא '''יחידה''', עד כדי סדר הגורמים במכפלה. הצגה קנונית היא הצגה של חבורה אבלית סופית כמכפלה של Zq-ים שונים, כאשר כל q הוא חזקה של ראשוני. תמיד, כאשר מגיעים לנצגה כזו, שתי חבורות עם הצגה שונה אינן איזומורפיות, ונתן להראות זאת כמו שהראיתי לעיל - למנות כמה איברים יש מכל סדר, ולעבור על הת"ח השונות, מתישהו תימצא ת"ח של חבורה אחת שאין לה ת"ח איזומורפית באחרת.חיים רוזנר 15:52, 22 בפברואר 2014 (EST) == תמורות מתחלפות == האם התמורות t = (1 4) (2 5) (3 6) ו q = (1 2 3) (4 5 6) מתחלפות? ביצעתי הרכבה משני הצדדים, וקיבלתי: (6 2 4 3 5 1) ולכן הן מתחלפות. האם אני צודק? :אם חישבת את tq ואת qt, ומצאת את אותה התמורה - אז הן מתחלפות. אינני לוקח אחריות על טעויות חישוב. בהצלחה. חיים רוזנר 15:52, 22 בפברואר 2014 (EST)