הבדלים בין גרסאות בדף "שיחה:89-214 תשעג סמסטר א"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(←‏5.3.14)
(←‏מה זה A_4?)
 
(7 גרסאות ביניים של משתמש אחר אחד אינן מוצגות)
שורה 1: שורה 1:
−
== 5.3.14 ==
+
== מה זה <math>A_4</math>? ==
−
לשאלת התלמידים ששאלו איך לפתור את סעיף ג' - הרעיון הוא להשתמש בסעיף א. כיצד הראתם נורמליות של  
+
מדובר בתת-חבורה של <math>S_4</math> התמורות הזוגיות.
−
<math>G^{n-1}</math>?
+
  
−
== 5.3.9 ==
+
בקורס בליאנרית, למדתם שהחלפת עמודות של מטריצה מחליפה את הסימן של הדטרמיננטה שלה. יש לנו התאמה בין תמורות למטריצות באופן הבא: עבור תמורה <math>\sigma</math> ניקח מתטריצה שהעמודה ה-i שלה היא <math>e_{\sigma(i)}</math>, כאשר <math>e_{\sigma(i)}</math> הוא וקטור שרכיב ה-<math>\sigma(i)</math> שלו הוא 1 והשאר אפסים. על ידי חישוב פשוט ניתן להשתכנע שזה שיכון (הומומורפיזם חח"ע) של <math>S_n</math> לתוך חבורת המטריצות ההפיכות, <math>GL_n</math>. ניתן לראות שדטרמיננטה של כל מטריצה כזו היא <math>\pm1</math> מכיוון שהיא מתקבלת על ידי יחלפת עמודות של
−
הבהרה לגבי חבורת קיילי (<math>K</math>) - אם תשימו לב, בתרגיל 5.5 יש תרגיל שמבקש להוכיח שזו היא תת-חבורה נורמלית של <math>S_4</math>. אתם רשאים להתשתמש בעובדה זו כמשפט. ייתכן שנוכיח אותה בתרגול או ניתן כתרגיל בית בהמשך.
+
מטריצת היחידה. אוסף כל המטריצות כאלה עם דטרמיננטה 1 היא <math>A_n</math>.  
  
−
== 5.3.11 ==
+
מה זה אומר בפועל? כל מטריצה כזו מתקבלת על ידי החלפת עמודות מספר זוגי של פעמים, שזה בעצם אומר שהתמורה מתקבלת כמכפלה של חילופים מאורך זוגי.  
−
היכנם מתבקשים להראות מצד אחד שהליבה היא תת-חבורה נורמלית, ומצד שני שהיא מקסימלית ביחס להכלה מבין כל תתי-חבורות הנורמליות של <math>G</math> שמוכלות ב <math>H</math>. זאת אומרת, לכל תת-חבורה <math>N</math> נורמלית של <math>G</math> שמוכלת ב <math>H</math>, מתקיים  <math>N\leq \cap_{g\in G} g^{-1}Hg </math>
+
 
 +
'''לדוגמה:''' מחזור באורך 3 מתקבל כמפלה של 2 חילופים, <math>(ab)(bc)=(abc)</math> לכן זוגי. תמורה שמבנה המחזורים שלה הוא 2 חילופים זרים, היא גם זוגית.
 +
מחזור באורך 4 אינו זוגי. <math>(ab)(bc)(cd)=(abcd)</math>
 +
 
 +
== אפשר להגיש עד 6, היום (חמישי)? ==
 +
רק עכשיו שמתי לב שההגשה ב 12

גרסה אחרונה מ־10:08, 27 בדצמבר 2012

מה זה A_4?

מדובר בתת-חבורה של S_4 התמורות הזוגיות.

בקורס בליאנרית, למדתם שהחלפת עמודות של מטריצה מחליפה את הסימן של הדטרמיננטה שלה. יש לנו התאמה בין תמורות למטריצות באופן הבא: עבור תמורה \sigma ניקח מתטריצה שהעמודה ה-i שלה היא e_{\sigma(i)}, כאשר e_{\sigma(i)} הוא וקטור שרכיב ה-\sigma(i) שלו הוא 1 והשאר אפסים. על ידי חישוב פשוט ניתן להשתכנע שזה שיכון (הומומורפיזם חח"ע) של S_n לתוך חבורת המטריצות ההפיכות, GL_n. ניתן לראות שדטרמיננטה של כל מטריצה כזו היא \pm1 מכיוון שהיא מתקבלת על ידי יחלפת עמודות של מטריצת היחידה. אוסף כל המטריצות כאלה עם דטרמיננטה 1 היא A_n.

מה זה אומר בפועל? כל מטריצה כזו מתקבלת על ידי החלפת עמודות מספר זוגי של פעמים, שזה בעצם אומר שהתמורה מתקבלת כמכפלה של חילופים מאורך זוגי.

לדוגמה: מחזור באורך 3 מתקבל כמפלה של 2 חילופים, (ab)(bc)=(abc) לכן זוגי. תמורה שמבנה המחזורים שלה הוא 2 חילופים זרים, היא גם זוגית. מחזור באורך 4 אינו זוגי. (ab)(bc)(cd)=(abcd)

אפשר להגיש עד 6, היום (חמישי)?

רק עכשיו שמתי לב שההגשה ב 12

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=שיחה:89-214_תשעג_סמסטר_א&oldid=30418