שיחה:89-214 תשעג סמסטר א

מה זה $A_4$?

מדובר בתת-חבורה של $S_4$ התמורות הזוגיות.

בקורס בליאנרית, למדתם שהחלפת עמודות של מטריצה מחליפה את הסימן של הדטרמיננטה שלה. יש לנו התאמה בין תמורות למטריצות באופן הבא: עבור תמורה $\sigma$ ניקח מתטריצה שהעמודה ה-i שלה היא $e_{\sigma(i)}$, כאשר $e_{\sigma(i)}$ הוא וקטור שרכיב ה-$\sigma(i)$ שלו הוא 1 והשאר אפסים. על ידי חישוב פשוט ניתן להשתכנע שזה שיכון (הומומורפיזם חח"ע) של $S_n$ לתוך חבורת המטריצות ההפיכות, $GL_n$. ניתן לראות שדטרמיננטה של כל מטריצה כזו היא $\pm1$ מכיוון שהיא מתקבלת על ידי יחלפת עמודות של מטריצת היחידה. אוסף כל המטריצות כאלה עם דטרמיננטה 1 היא $A_n$.

מה זה אומר בפועל? כל מטריצה כזו מתקבלת על ידי החלפת עמודות מספר זוגי של פעמים, שזה בעצם אומר שהתמורה מתקבלת כמכפלה של חילופים מאורך זוגי.

לדוגמה: מחזור באורך 3 מתקבל כמפלה של 2 חילופים, $(ab)(bc)=(abc)$ לכן זוגי. תמורה שמבנה המחזורים שלה הוא 2 חילופים זרים, היא גם זוגית. מחזור באורך 4 אינו זוגי. $(ab)(bc)(cd)=(abcd)$

אפשר להגיש עד 6, היום (חמישי)?

רק עכשיו שמתי לב שההגשה ב 12