תודה
:מדובר במכפלה קרטזית של חבורות. הפעולה במכפלה קרטזית היא רכיב-רכיב לפי הפעולה של הגורמים במכפלה. למשל בסעיף 5א שני הגורמים במכפלה הם <math>\mathbb{Z}</math>, ולכן מדובר בחיבור מספרים שלמים בכל רכיב. בפרק 7 בחוברת מערכי התרגול מופיעה ההגדרה של מכפלה קרטזית של חבורות עם כמה דוגמאות.
==תרגיל 5, שאלות 3,7,4==
היי,
יש לי מספר שאלות ואשמח לעזרתכם:
* לא הבנתי מה בדיוק צריך להוכיח בשאלה 3?
* בשאלה 7, האם צריך 4 איברים כך שכול אחד מהם הסדר שלו הוא 4 ושעבורם מתקיים שכולם שקולים לאותו מספר מוד 35? רשום שם למצוא תת חבורה שגודלה 4 (כלומר 4 איברים) אבל נראה לי שזו לא הכוונה אז אשמח להסבר
* שאלה שנוגעת לסעיף ב בשאלה 4: אם יש לי תמורה כזו:
(126)(34)(57)
האם הסימן שלה הוא 1? כלומר האם אמורים לכפול את הסימנים של 3 התמורות? אם כן, אז התמורה הזו תיכלל בחיתוך?
תודה!
:לפי הסדר (עדיף לפצל):
:* בשאלה 3 מבקשים להוכיח שהחבורה <math>S_n</math> נוצרת על ידי הקבוצה של החילופים מן הצורה <math>(1j)</math>. כלומר חיזוק של סעיף 1א שמבקש להוכיח שהחבורה <math>S_n</math> נוצרת על ידי הקבוצה של כל החילופים. כדאי לודא שיודעים לפתור את סעיף 1א לפני שפותרים את שאלה 3.
:* מבקשים בשאלה 7 למצוא שתי תת־חבורות של החבורה <math>U_{35}</math>, ששתיהן מסדר 4 (כלומר בכל אחת מהן יהיו 4 איברים). לכתוב קבוצה של ארבעה איברים שמהווים תת־חבורה, זו דרך מוצלחת לדרישה "למצוא תת־חבורה". כמובן שצריך להוכיח אחרי זה שתת־החבורה הזו ציקלית, ובאופן דומה למצוא עוד תת־חבורה שאינה ציקלית.
:* התמורה שרשמת היא אכן מסימן 1 (כלומר זוגית), והדרך הכי נוחה לחישוב היא מה שכתבת. החבורה <math>A_7</math> היא חבורת התמורות הזוגיות על <math>\{1,\dots,7\}</math>. אם מצאת תמורה זוגית ב-<math>S_7</math>, ואם היא גם חזקה של התמורה הנתונה בשאלה, אז היא בחיתוך.
==תרגיל 5, שאלה 7 ==
שלום,
בנוגע לתשובה שלכם בשאלה הקודמת בקשר לתרגיל 7 - האם למדנו דרך יעילה לפתור זאת מלבד ניסוי וטעייה? לדוגמה, עבור החבורה הציקלית, האם יש דרך יעילה למצוא איבר p ב-U35 כך ש-o(p)=4? תודה.
:לא הוכחנו את זה בכיתה, אבל <math>U_{35} \cong U_7 \times U_5</math>, וקל לבדוק ש-<math>U_7 \cong \mathbb{Z}_6</math> וגם <math>U_5 \cong \mathbb{Z}_4</math>. לכן אם יודעים איזומורפיזם מפורש <math>U_{35} \cong \mathbb{Z}_6 \times \mathbb{Z}_4</math>, אז קל לתפוס את האיברים מסדר 4 או 2.
== תכונות של איזומורפיזם ==
שלום,
האם נכון לומר שאיזומורפיזם f:G ->H שומר על כל התכונות של G? נאמר, אם יש ב-G בדיוק 3 איברים מסדר 4, ו-f איזומורפיזם, אז גם ב-H יש בדיוק 3 איברים מסדר 4?
תודה.
:איזומורפיזם של חבורות אכן שומר על כל התכונות "הסבירות" שאפשר לעלות על הדעת, פרט לשמות של האיברים והסימון של הפעולה. לשאלתך, כן, אם ב-<math>G</math> יש בדיוק k איברים מסדר n, אז גם בכל חבורה שאיזומורפית ל-<math>G</math> יש בדיוק k איברים מסדר n.
== תרגיל 10 שאלה 5 סעיף ב ==
בס"ד
לא בטוחה שהבנתי מה רוצים מאיתנו.. אני אמורה להביע את x,y בעזרת הפתרון שלי מסעיף א ואז לחשב x+y ולמצוא פולינום שזה הפתרון שלו?
תודה רבה
:כן, להשתמש באיבר <math>\alpha</math> שמצאת בסעיף א'. הכוונה היא להציג את <math>x+y</math> ואת <math>xy</math> כפולינומים ב-<math>\alpha</math>, כלומר ש"המשתנה" בפולינום הוא <math>\alpha</math> עם מקדמים מהשדה <math>\mathbb{F}_5</math>. כדוגמה, האיברים <math>x</math> ו-<math>y</math> מוצגים בשאלה כפולינומים ב-<math>\alpha</math>.