הבדלים בין גרסאות בדף "שיטת ההצבה"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(יצירת דף עם התוכן "==הגדרה== שיטת ההצבה היא שיטת החלפת משתנים לצורך אינטגרציה, לפי כלל השרשרת לגזירה. <math>[f(g(x))]'...")
 
שורה 1: שורה 1:
−
==הגדרה==
+
==שיטת ההצבה==
 
שיטת ההצבה היא שיטת החלפת משתנים לצורך אינטגרציה, לפי כלל השרשרת לגזירה.
 
שיטת ההצבה היא שיטת החלפת משתנים לצורך אינטגרציה, לפי כלל השרשרת לגזירה.
  
שורה 24: שורה 24:
 
הסימון הזה נוח יותר לפתרון תרגילים מאשר הסימון הראשון שנובע ישירות מכלל השרשרת.
 
הסימון הזה נוח יותר לפתרון תרגילים מאשר הסימון הראשון שנובע ישירות מכלל השרשרת.
  
−
==דוגמאות==
+
===דוגמאות===
 
א.
 
א.
  
שורה 57: שורה 57:
  
 
<math>\int{\frac{1}{|a|\sqrt{1-(\frac{x}{|a|})^2}}}=\frac{1}{|a|}\int{\frac{|a|dt}{\sqrt{1-t^2}}}=arcsin(t)+C=arcsin(\frac{x}{|a|})+C</math>
 
<math>\int{\frac{1}{|a|\sqrt{1-(\frac{x}{|a|})^2}}}=\frac{1}{|a|}\int{\frac{|a|dt}{\sqrt{1-t^2}}}=arcsin(t)+C=arcsin(\frac{x}{|a|})+C</math>
 +
 +
==הצבות אוניברסאליות==
 +
 +
'''הצבות אוניברסאליות''' הוא כינוי כללי להצבות המעבירות פונקציות ממשפחה מסויימת לצורה של [[אלגוריתם לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית|פונקציה רציונאלית]] אותה אנחנו יודעים לפתור. שימו לב שכיוון ופתרון פונקציה רציונאלית דורש פירוק פולינומים, לעיתים המעבר לפונקציה רציונאלית לא יקדם אותנו לקראת פתרון הבעייה.
 +
 +
הצבות אוניברסאליות ידועות ניתן למצוא בקובץ הבא: (עד אשר מישהו יקליד אותו אל תוך הויקי...)
 +
 +
*[[מדיה:09Infi2Universal.pdf|הסבר על הצבות אוניברסאליות]]

גרסה מ־09:35, 18 במרץ 2012

שיטת ההצבה

שיטת ההצבה היא שיטת החלפת משתנים לצורך אינטגרציה, לפי כלל השרשרת לגזירה.

[f(g(x))]'=f'(g(x))g'(x)

לכן, נוסחאת ההצבה הינה:

\int{f(g(x))g'(x)dx}=F\Big(g(x)\Big)+C


כאשר F'=f

סימון נוח יותר לאותה הנוסחא:

\int{f(g(x))g'(x)dx}

נסמן g(x)=t

ולכן g'(x)dx=dt

ולכן \int{f(g(x))g'(x)dx}=\int{f(t)dt}=F(t)+C=F(g(x))+C


הסימון הזה נוח יותר לפתרון תרגילים מאשר הסימון הראשון שנובע ישירות מכלל השרשרת.

דוגמאות

א.

\int{tan(x)dx}=-\int{\frac{1}{cosx}(-sin(x))dx}

נסמן f(x)=\frac{1}{x},g(x)=cosx

לכן F(x)=ln|x|,g'(x)=-sin(x) וסה"כ האינטגרל הוא מהצורה:

-\int{f'(g(x))g'(x)dx}=-F(g(x))+C=-ln|cosx|+C


ב.

\int{\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}}=\int{\frac{1}{|a|\sqrt{1-(\frac{x}{|a|})^2}}}

נציב

t=\frac{x}{|a|}

לכן

dt=\frac{1}{|a|}dx

לכן

|a|dt=dx

ולכן


\int{\frac{1}{|a|\sqrt{1-(\frac{x}{|a|})^2}}}=\frac{1}{|a|}\int{\frac{|a|dt}{\sqrt{1-t^2}}}=arcsin(t)+C=arcsin(\frac{x}{|a|})+C

הצבות אוניברסאליות

הצבות אוניברסאליות הוא כינוי כללי להצבות המעבירות פונקציות ממשפחה מסויימת לצורה של פונקציה רציונאלית אותה אנחנו יודעים לפתור. שימו לב שכיוון ופתרון פונקציה רציונאלית דורש פירוק פולינומים, לעיתים המעבר לפונקציה רציונאלית לא יקדם אותנו לקראת פתרון הבעייה.

הצבות אוניברסאליות ידועות ניתן למצוא בקובץ הבא: (עד אשר מישהו יקליד אותו אל תוך הויקי...)

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=שיטת_ההצבה&oldid=20602