שיטת ההצבה

הגדרה

שיטת ההצבה היא שיטת החלפת משתנים לצורך אינטגרציה, לפי כלל השרשרת לגזירה.

$[f(g(x))]'=f'(g(x))g'(x)$

לכן, נוסחאת ההצבה הינה:

$\int{f(g(x))g'(x)dx}=F\Big(g(x)\Big)+C$

כאשר $F'=f$

סימון נוח יותר לאותה הנוסחא:

$\int{f(g(x))g'(x)dx}$

נסמן $g(x)=t$

ולכן $g'(x)dx=dt$

ולכן $\int{f(g(x))g'(x)dx}=\int{f(t)dt}=F(t)+C=F(g(x))+C$

הסימון הזה נוח יותר לפתרון תרגילים מאשר הסימון הראשון שנובע ישירות מכלל השרשרת.

דוגמאות

א.

$\int{tan(x)dx}=-\int{\frac{1}{cosx}(-sin(x))dx}$

נסמן $f(x)=\frac{1}{x},g(x)=cosx$

לכן $F(x)=ln|x|,g'(x)=-sin(x)$ וסה"כ האינטגרל הוא מהצורה:

$-\int{f'(g(x))g'(x)dx}=-F(g(x))+C=-ln|cosx|+C$

ב.

$\int{\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}}=\int{\frac{1}{|a|\sqrt{1-(\frac{x}{|a|})^2}}}$

נציב

$t=\frac{x}{|a|}$

לכן

$dt=\frac{1}{|a|}dx$

לכן

$|a|dt=dx$

ולכן

$\int{\frac{1}{|a|\sqrt{1-(\frac{x}{|a|})^2}}}=\frac{1}{|a|}\int{\frac{|a|dt}{\sqrt{1-t^2}}}=arcsin(t)+C=arcsin(\frac{x}{|a|})+C$