הבדלים בין גרסאות בדף "שילוש מטריצה"
מתוך Math-Wiki
(←דוגמאות) |
(←אלגוריתם לשילוש מטריצה) |
||
שורה 15: | שורה 15: | ||
*לפי אינדוקציה, ניתן לשלש את המטריצה <math>Q_k</math> על ידי המטריצה <math>P_1</math>. | *לפי אינדוקציה, ניתן לשלש את המטריצה <math>Q_k</math> על ידי המטריצה <math>P_1</math>. | ||
− | *נסמן <math> | + | *נסמן <math>P_1'=I_k\oplus P_1</math>, כאשר <math>I_k</math> הינה מטריצה היחידה מגודל k. |
− | *סה"כ <math> | + | *סה"כ <math>P_1'^{-1}P^{-1}APP_1'</math> הינה מטריצה משולשית |
==דוגמאות== | ==דוגמאות== |
גרסה מ־09:02, 13 בנובמבר 2012
תוכן עניינים
הגדרה
מטריצה A נקראת ניתנת לשילוש אם קיימת מטריצה משולשית עליונה הדומה לה
משפט
מטריצה ריבועית ניתנת לשילוש אם ורק אם הפולינום האופייני שלה מתפרק לגורמים לינאריים
אלגוריתם לשילוש מטריצה
- ניקח את האיחוד של הבסיסים למרחבים העצמיים E ונשלים אותו לבסיס B
- נשים את וקטורי B בעמודות מטריצה P ונביט במטריצה
- נסמן . נסמן ב את המטריצה המתקבלת מ Q על ידי מחיקת k השורות הראשונות וk העמודות הראשונות.
- לפי אינדוקציה, ניתן לשלש את המטריצה על ידי המטריצה .
- נסמן , כאשר הינה מטריצה היחידה מגודל k.
- סה"כ הינה מטריצה משולשית
דוגמאות
נשלש את המטריצה
ראשית נמצא את הפולינום האופייני:
הוא מתפרק לגורמים לינאריים, לכן המטריצה ניתנת לשילוש. הע"ע הינם 1,2.
לאחר חישוב בסיסים למרחבים העצמיים אנו מקבלים:
נסמן
ונשלים אותו לבסיס
נסמן
וכעת נקבל
נסמן
במקרה זה קיבלנו מטריצה לכסינה ועבור
נקבל