===שאלה ממבחן===
א. תהי A קבוצה לא ריקה ותהי <math>\{R_i\}_{i\in I}</math> משפחה של יחסי שקילות על A. הוכיחו כי החיתוך הכללי <math>R=\cap_{i\in I}R_i</math> הינו יחס שקילויות על A. ב. נסמן <math>R_n=\{(x,y)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}:n|(x-y)\}</math>. מהם <math>R_1,R_2,R=\cap_{n\in\mathbb{N}}R_n</math>? מהן קבוצות המנה <math>\mathbb{Z}/R,\mathbb{Z}/R_1,\mathbb{Z}/R_2</math>?
====פתרון====
א. רפלקסיביות: מאחר ו <math>\forall a\in A\forall i\in I : (a,a)\in R_i</math> נובע ש <math>\forall a\in A: (a,a)\in R</math>.
סימטריות: נניח <math>(x,y)\in R</math> לכן <math>\forall i\in I:(x,y)\in R_i</math> ולכן נובע מסמטריות היחסים ש <math>\forall i\in I:(y,x)\in R_i</math> ולכן <math>(y,x)\in R</math>.
טרנזיטיביות: נניח <math>(x,y),(y,z)\in \mathbb R</math> אזי <math>\forall i\in I:(x,y),(y,z)\in R_i</math>, וכיון שהוא יחס שקילות אז נובע <math>\forall i\in I:(x,z)\in R_i</math>, ולפי הגדרת החיתוך הכללי נקבל <math>(x,z)\in R</math>
ב. <math>R_1</math> הינו אוסף כל הזוגות הסדורים מעל השלמים, שכן אחד מחלק כל מספר ולכן כל הפרש.
<math>R_2</math> הינו אוסף כל הזוגות בהם שני הצדדים זוגיים או שני הצדדים אי זוגיים, שכן ההפרש בינהם חייב להיות זוגי.
R הינו אוסף הזוגות שההפרש בינהם מתחלק בכל המספרים הטבעיים. רק הפרש אפס יכול להתחלק בכל מספר, ולכן R הינו אוסף הזוגות מהצורה (q,q) עבור q מספר שלם. (יחס השיוויון.)
<math>\mathbb{Z}/R_1</math> הינו אוסף מחלקות השקילות של היחס המכיל את כל הזוגות. יש בו רק מחלקת שקילות אחת המכילה את כל המספרים השלמים.
<math>\mathbb{Z}/R_2</math> מכיל שתי קבוצות, קבוצת הזוגיים וקבוצת האי זוגיים שכן בין כל הזוגיים יש את היחס, ובין כל האי זוגיים ולא בין לבין כמובן (הרי זה יחס שקילויות כפי שקל להוכיח).
<math>\mathbb{Z}/R</math> הינו אוסף כל הקבוצות המכילות איבר שלם בודד.