==המשך יחסי שקילות==חזרה ל[[83-116, בדידה 1 להנדסה, מערכי תרגול|דף מערכי התרגול]].
הגדרה: תהא A קבוצה. '''חלוקה''' של A היא חלוקה של A לקבוצות זרות. באופן פורמלי קיימות תת קבוצות <math>\{A_i\}_{i\in I}</math>כך ש:* <math>\forall i\in I: A_i \neq \emptyset </math>* <math>\cup _{i\in I} A_i =A </math> כלומר האיחוד של כל תתי הקבוצות שווה לקבוצה כולה * הקבוצות <math>A_i</math> הן '''זרות''' זו לו = החיתוך בין כל שתי תתי קבוצות הוא ריק (<math>\forall i\notיחסי שקילות - תרגילים נוספים= j\in I : A_i\cap A_j = \phi </math>)
הגדרה===תרגיל===תהא <math>B\subseteq A</math> קבוצה ותת קבוצה. נגדיר יחס <math>\sim \subseteq P(A)\times P(A)</math> ע"י <math>C\sim D\iff C\cap B=D\cap B</math>. הוכיחו:
יהא R א. זהו יחס שקילות על A אזי.
# ב. לכל <math>xX\in subseteq A</math> מוגדרת '''מחלקת השקילות של x ''' להיות קיימת <math>C\bar{x}=[x]_R:=\{y\in A | (x,y)\in R\} subseteq B</math># ''' קבוצת המנה ''' מוגדרת כך ש <math>A/R :[X]_R= \{ [xC]_R | x\in A\} </math>.
ג. אם <math>C,D\subseteq B</math> שונות, אז <math>[C]\neq [D]</math>.
למשל בדוגמא משבוע שעבר על השלמים עם היחס <math>x~y\iff 3|x====פיתרון====א. רפלקסיביות: כמובן ש-y</math>, מחלקת השקילות של 0 היא <math>[0]_R=\{ 0 forall C\pm 3 subseteq A:C\pm 6 \dots cap B=C\}cap B</math> וקבוצת המנה היא, ולכן <math>C\mathbb{Z}/R= \{[0]_R,[1]_R,[2]_R\}sim C</math> (כלומר כל השאריות האפשריות בחלוקה ב-3).
סימטריות: נניח <math>C\sim D</math> אזי <math>C\cap B=D\cap B\iff D\cap B=C\cap B</math>, ולכן <math>D\sim C</math>.
משפטטרנזיטיביות: יהא R יחס שקילות על A אזי# לכל נניח <math>x,yC\in Asim D\land D\sim E</math> מתקיים אזי <math>[x]=[y]</math> או <math>[x]C\cap [y] B=D\phi </math> (כלומר מחלקות השקילות זרות)# <math>Acap B\land D\cap B=E\bigcup_{[x]\in A/R}[x]cap B</math> כלומר (איחוד מחלקות השקילות תתן את כל A)הערה: זה בדיוק אומר שמיחס שקילות ניתן להגיע לחלוקה של Aומטרנזיטיביות יחס השיוויון נקבל הדרוש.
ב. יהי <math>X\subseteq A</math> נשים לב שמתקיים <math>(X\cap B)\cap B=X\cap B</math> ולכן <math>[X]_R=[X\cap B]_R</math>, ובנוסף מתקיים <math>X\cap B\subseteq B</math> ולכן נוכל לבחור <math>C=X\cap B</math>.
מסקנה:תהא A קבוצה אזי יש התאמה {ג. תהיינה <math>RC,D\subseteq B</math> יחס שקילות על A } שונות. לכן קיים (בה"כ) <math>x\leftrightarrowin C\smallsetminus D</math> וכמובן <math>x\in B</math>, ולכן נקבל <math>x\in C\cap B\land x\notin D\cap B</math> כלומר <math>C\cap B\neq D\cap B</math> ולכן <math>[C]\neq [D]</math> {חלוקות של A} חידוד: מהותו העיקרית של יחס שקילויות הוא לשים לב לשקילות מסוימת בין אברים שונים (כמו שיוויון) ולצמצם את החזרות המיותרות על ידי קיבוץ כל האיברים השקולים לקבוצה אחת.
===שאלה ממבחן===
א. תהי <math>A </math> קבוצה לא ריקה ותהי <math>\{R_i\}_{i\in I}</math> משפחה של יחסי שקילות על <math>A</math>. הוכיחו כי החיתוך הכללי <math>R=\cap_{i\in I}R_i</math> הינו יחס שקילויות על <math>A</math>.
ב. נסמן <math>R_n=\{(x,y)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}:n|(x-y)\}</math>. מהם <math>R_1,R_2,R=\cap_{n\in\mathbb{N}}R_n</math>? מהן קבוצות המנה <math>\mathbb{Z}/R,\mathbb{Z}/R_1,\mathbb{Z}/R_2</math>?
====פתרון====
א. רפלקסיביות: מאחר ו -<math>\forall a\in A\forall i\in I : (a,a)\in R_i</math> נובע ש -<math>\forall a\in A: (a,a)\in R</math>.
סימטריות: נניח <math>(x,y)\in R</math> לכן <math>\forall i\in I:(x,y)\in R_i</math> ולכן נובע מסמטריות היחסים ש <math>\forall i\in I:(y,x)\in R_i</math> ולכן <math>(y,x)\in R</math>.
טרנזיטיביות: ממש אותו דבר... נניח <math>(x,y),(y,z)\in \mathbb R</math> אזי <math>\forall i\in I:(x,y),(y,z)\in R_i</math>, וכיון שהוא יחס שקילות אז נובע <math>\forall i\in I:(x,z)\in R_i</math>, ולפי הגדרת החיתוך הכללי נקבל <math>(x,z)\in R</math>
ב. <math>R_1</math> הינו אוסף כל הזוגות הסדורים מעל השלמים, שכן אחד מחלק כל מספר ולכן כל הפרש.
<math>R_2</math> הינו אוסף כל הזוגות בהם שני הצדדים זוגיים או שני הצדדים אי זוגיים, שכן ההפרש בינהם חייב להיות זוגי.
<math>R </math> הינו אוסף הזוגות שההפרש בינהם מתחלק בכל המספרים הטבעיים. רק הפרש אפס יכול להתחלק בכל מספר, ולכן <math>R </math> הינו אוסף הזוגות מהצורה <math>(q,q) </math> עבור <math>q </math> מספר שלם. (יחס השיוויון.).