תרגול 13 תשעז

חזרה לדף מערכי התרגול.

איזומורפיזמים בין קס"חים

תרגיל

האם $(\mathbb{R} ,\leq ) \cong (\mathbb{R} ^+,\leq )$?

פתרון

כן. נוכל להגדיר $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^+$ ע"י $f(x)=e^x$, והיא כמובן חח"ע ועל ושומרת סדר.

תרגיל

תהיינה $A,B,C$ קס"ח כך ש $A\cong B\land B\cong C$. הוכח או הפרך: $A\cong C$.

פתרון

הוכחה: יש פונקציות חח"ע, על ושומרות סדר $f:A\rightarrow B,g:B\rightarrow C$, ההרכבה שלהן $g\circ f$ היא חח"ע ועל (משפט) והיא גם שומרת סדר.

עוצמות

בעבר ראינו את התרגיל הבא: תהא $B\subseteq A$ קבוצה ותת קבוצה. נגדיר יחס $\sim \subseteq P(A)\times P(A)$ ע"י $C\sim D\iff C\cap B=D\cap B$. ראינו שזהו יחס שקילות ונדרשנו למצוא את $|P(A)/\sim |$. וראינו: $|P(A)/\sim |=|P(B)|=2^{|B|}$. נשים לב שמה שעשינו אז היה בעצם להראות שיש פונקציה חח"ע ועל בין הקבוצות, והיא $f:P(B) \rightarrow P(A)/\sim$ המוגדרת ע"י $f(C)=[C]$. היא חח"ע כי לכל שתי קבוצות שונות מ-$B$ יש מחלקות שקילות שונות כי הן אינן שקולות (החיתוך שלהן עם $B$ זה הן עצמן, והן שונות). היא על, כי כפי שראינו לכל $[C]\in P(A)/\sim$ מתקיים ש- $C\cap B\sim C\land C\cap B\in B$, ולכן $C\cap B$ היא המקור. לכן יש להן אותה עוצמה.

הכנה למבחן

תרגיל

תהיינה $f,g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ פונקציות. נאמר ש$f$ מתאימה ל$g$ אם לכל $x_1\in \mathbb{R}$ קיים $x_2\in \mathbb{R}$ כך ש $f(x_1)\leq g(x_2)$. הוכח או הפרך:

א. אם $f$ מתאימה ל$g$ אז גם $g$ מתאימה ל$f$.

ב. קיימת פונקציה $f$ המתאימה לכל פונקציה $g$.

ג. קיימת פונקציה $f$ שכל פונקציה $g$ מתאימה לה.

ד. האם זהו יחס סדר חלקי?

פתרון

א. לא נכון. למשל ניקח שתי פונקציות קבועות שונות.

ב. לא. נניח בשלילה שיש $f$ כזו. אז היא מתאימה לכל פונקציה קבועה $f(x)=a$, ולכן לכל $x_1\in \mathbb {R}$ צריך להתקיים $f(x_1)\leq a,\forall a\in \mathbb {R}$, וזה לא יכול להיות.

ג. נכון, למשל $e^x$. כי תהי $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb{R}$ פונקציה ויהי $x_1\in \mathbb {R}$ אזי מתקיים $f(x_1)\leq e^{f(x_1)}$.

ד. לא הפונקציות $\sin (x),\cos (x)$ שונות ומאימות אחת לשניה. כלומר זה יחס שאיננו אנטי סימטרי.