תרגול 14 תשעח

תרגיל

הוכיחו כי $|P(\mathbb{N})|=|P(\mathbb{N})-\{\emptyset\}|$

פתרון

נגדיר פונקציה $f:P(\mathbb{N})\to P(\mathbb{N})-\{\emptyset\}$ ע"י $\{n\}\mapsto \{n+1\},\emptyset \mapsto \{1\}$ וכל B שאינה נקודון ואינה קבוצה ריקה נשלחת לעצמה.

תרגיל

הוכיחו כי $|A\times A| = |A^{\{1,2\}}|$

פתרון: הפונקציה $F:A^{\{1,2\}}\to A\times A$ המוגדרת $f\mapsto (f(1),f(2))$ הפיכה.

משפט (קנטור- שרדר-ברנשטיין)

אם $|B|\leq|A|$ וגם $|A|\leq|B|$ אז $|B|=|A|$

תרגיל

הוכיחו: $|\mathbb{Q}\cap [0,1]|=\aleph_0$

פתרון

לפי ק.ש.ב. כי מוכל ברציונאליים ומכיל $\aleph_0$ שברים מהצורה $\frac{1}{n}$.

תרגיל

הוכח כי עוצמת כל הקבוצות הבאות שווה - כל קטעים מהצורה $[a,b],(a,b),[a,b),(a,b]$ כאשר $a<b$ ממשיים.

פתרון

נראה שכולם שווי עוצמה לקטע $(0,1)$.

ראשית נגדיר $f:(0,1)\rightarrow (a,b)$ ע"י $f(x)=a+(b-a)x$ חח"ע ועל. השאר עם ק.ש.ב.

ט: הקטע $(\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2})$ בעל עוצמה שווה ל $\mathbb{R}$.

ה: הפונקציה $tan:(\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2})\to \mathbb{R}$ הפיכה בתחום הזה ולכן חח"ע ועל.

תרגיל

תהא A קבוצה. הוכח כי $|A|\leq |P(A)|$

פתרון: נגדיר את הפונקציה $f:A|\to P(A)$ ע"י $a \mapsto \{a\}$ היא חח"ע.

תהא A קבוצה. הוכח כי $|A|\neq |P(A)|$

פתרון: נניח בשלילה כי $|A|= |P(A)|$ אזי קיימת $f: A\to P(A)$ הפיכה, בפרט על. נגדיר $X=\{a\in A: a\notin f(a)\}$. זוהי תת קבוצה של A ולכן, מכיוון ש f על, קיים $x\in A$ כך ש $f(x)=X$. האם $x\in X$? אם לא, לפי הגדרת X נקבל כי $x\notin f(x)=x$ סתירה. אם כן אז $x\in X=f(x)$ אבל לפי הגדרת X מתקיים $x\notin f(x)$ סתירה. משל/