חזרה ל[[83-116, בדידה 1 להנדסה, מערכי תרגול|דף מערכי התרגול]].
סיכום הנושא המלא של שני התרגולים הראשונים נמצא בדף [[88-101 חשיבה מתמטית]].
==קַשָּרִים, הצרנה וטבלאות , טבלאות אמתוטאוטולוגיות==
=== אטומים ===
הגדרה (לא פורמאלית): השפה העברית מורכבת ממשפטים. המקבילה בשפה המתמטית נקראת "פסוק".ה'''אטומים''' הם חלק מאבני היסוד של הפסוקים.
לדוגמא: הפסוק "שנת הלימודים החלה ויש 5 קורסים בשנה א'" מורכב משני אטומים- "שנת הלימודים החלה" ו"יש 5 קורסים בשנה א'" (שני האטומים מקשורים ע"י וו ו' החיבור)
על מנת לבנות פסוקים יותר מורכבים משתמשים בקשרים.
|}
הערה: קשר נוסף שהינו נפוץ בתחום המתמטקיה המתמטיקה והוא גרירה דו-כיוונית (ידוע בכינויו "אם ורק אם", ובקיצור אמ"מ, או אם"ם).הגדרתו פשוטה (נובעת משמו..) והיא מוגדרת ע"י בעזרת קשר הגרירה החד -כיווני. :
<math>A\leftrightarrow B := (A\rightarrow B)\and(B\rightarrow A)</math>
* מספר (טבעי) מסוים n ניתן להצגה בעזרת 2 ספרות (בבסיס עשרוני) <math>\leftrightarrow</math> המספר n קטן מ 100. הפסוק יקבל ערך T רק אם שני התנאים יתקיימו ביחד. במילים אחרות, אם אחד מתקיים גם השני. במילים אחרות, אם אחד לא מתקיים אז השני גם לא מתקיים.
===הגדרההצרנה === '''הנה כמה הגדרות המשמשות בתואר מתמטי:'''*כאשר אומרים ש B הוא תנאי הכרחי ל A פירושו הוא <math>A \to B</math>*כאשר אומרים ש B הוא תנאי מספיק ל A פירושו הוא <math>B \to A</math>*כאשר אומרים ש B הוא תנאי הכרחי ומספיק ל A פירושו הוא <math>B \leftrightarrow A</math>
=====תרגיל=====השלם את המשפט הבא: כדי שירד גשם _____ שיהיו עננים בשמים. לכן אם נצרין ע"י "יש עננים בשמים = A", "יורד גשם = B" נקבל "A____B".הצרנה- כתיבת רעיון בעזרת ניסוח פורמאלי
פיתרוןדוגמא: הכרחי, נצרין את המשפט: "אם יש בגרות בשעה חופפת לקורס אז הוא מתבטל ". נגדיר <math>A</math> = יש בגרות בשעה שחופפת לקורס. <math>B</math>= הקורס מתבטל. המשפט אומר <math>A\leftarrow to B </math>. כלומר בגרות בשעה חופפת לקורס זה תנאי מספיק לכך שהקורס מתבטל. שימו לב שזהו לא תנאי הכרחי כי יתכן שהקורס יתבטל מסיבות אחרות.
=====תרגיל=====האם המשפטים הבאים שקוליםהצרן:למדתי היטב למבחן, ואף על פי כן נכשלתי בו.
א. אם אייל שמח אז ענת גבוההפתרון: נסמן A למדתי לבמחן, ואם ענת גבוהה אז צחי חמוד.B נכשלתי במבחן אזי ההצרנה היא <math>A\land B</math>
ב. כאשר אייל שמח הצרן: אם כדור הארץ שטוח אז צחי חמודהסוס שלי שחור.
פיתרוןפתרון: לאנסמן A = כדור הארץ שטוח, B = הסוס שלי שחור. אייל לא שמח, ענת גבוהה וצחי לא חמוד נותן <math>T</math> בשני וונקבל <math>FA\rightarrow B</math> בראשון.
הצרן: "ערן לובש חולצה סגולה בכל פעם שהוא לובש מכנסיים בצבע שחור"
תכונות הקשריםפתרון:נסמן A ערן לובש חולצה סגולה. נסמן B ערך לובש מכנסיים שחורות.* קיבוציות ההצרנה <math>(A\land B) \land C =to A\land (B \land C), (A\lor B) \lor C =A\lor (B \lor C) </math>* חילופיות <math>הצרן: "כאשר אני עייף ורעב אני נעשה עצבני, או שאני הולך לישון; ואם אני עצבני ולא עייף, אז אני רעב". פתרון: נסמן A\land אני עייף, B =B\land Aאני רעב, A\lor B = B\lor A</math> C אני עצבני, D אני הולך לישון.* פילוג ההצרנה <math>[(A\lor (B\land C)= (A\lor B)\land to (A\lor C), A\land (B\lor CD)= (A]\land B)\lor and[(A\land C)</math> * כללי דה מורגן <math>\neg (A \lor B) = \neg A \land \neg B, \neg (lnot A \land B) = \neg A \lor \neg to B]</math>. תוכיחו אחד מהם בתרגיל הבית
===הגדרההכרחי ומספיק===
'''הנה כמה הגדרות המשמשות בתואר מתמטי:'''
*כאשר אומרים ש B הוא תנאי הכרחי ל A פירושו הוא <math>A \to B</math>
*כאשר אומרים ש B הוא תנאי הכרחי ומספיק ל A פירושו הוא <math>B \leftrightarrow A</math>
=====תרגיל=====השלם את המשפט הבא: כדי שירד גשם _____ שיהיו עננים בשמים. לכן אם נצרין נסמן ע"י "יש עננים בשמים = A", "יורד גשם = B" נקבל "A____B".
פיתרון: הכרחי, <math>\leftarrow </math>
===טאוטולוגיות==תרגיל=הגדרה : טאוטולוגיה הינה ביטוי שנכון תמיד ללא תלות בערכים שמציבים בו.למשל: <math>A \or \neg A</math>. הגדרה: נאמר שביטוי <math>A</math> שקול טאוטולוגית לביטוי <math>B</math> (ונסמן <math>A \equiv B</math>)אם הביטוי <math>A \leftrightarrow B</math> הינו טאוטולוגיה (במילים: A קורה אמ"מ B קורה). ====תכונות הקשרים====* קיבוציות (אסוציאטיביות) - <math>(A\land B) \land C \equiv A\land (B \land C), (A\lor B) \lor C \equiv A\lor (B \lor C) </math>* חילופיות (קומוטטיביות) - <math>A\land B \equiv B\land A, A\lor B \equiv B\lor A</math> * פילוג (דיסטריביוטיביות) - <math>A\lor (B\land C)\equiv (A\lor B)\land (A\lor C), A\land (B\lor C)\equiv (A\land B)\lor (A\land C)</math> * כללי דה מורגן - <math>\neg (A \lor B) \equiv \neg A \land \neg B, \neg (A \land B) \equiv \neg A \lor \neg B</math>. ====תרגיל====
האם המשפטים הבאים שקולים:
א. אם אייל שמח אז ענת גבוהה, ואם ענת לא גבוהה אז צחי חמודאייל לא שמח.
ב. כאשר אייל שמח אז צחי חמודאם ורק אם ענת גבוהה.
פיתרון: לא. אייל לא שמחבא' יש פעמיים את אותו דבר, ענת גבוהה וצחי לא חמוד נותן בגלל השקילות <math>Tp\to q\equiv \lnot q\to \lnot p</math> בשני ו<math>F</math> בראשון. עבור: אייל לא שמח וענת גבוהה, נקבל בא' אמת ובב' שקר.
====תרגיל====
הוכח את הבאים:
* <math>A \equiv A</math>
* <math>\ (A\rightarrow B) \equiv ((\neg A) \vee B)</math>.
* <math>\ (A \leftrightarrow B) \equiv ((A \wedge B)\vee((\neg A)\wedge (\neg B)</math>.
* <math>\ (A \oplus B) \equiv \lnot(A \leftrightarrow B)</math>.
* <math>\ (A \rightarrow B) \equiv ((\neg B) \rightarrow (\neg A))</math>.
תכונות הקשריםדוגמא מילולית:* קיבוציות <math>(A\land B) \land C =A\land (B \land C), (A\lor B) \lor C =A\lor (B \lor C) </math>* חילופיות <math>A\land B =B\land A, A\lor B = B\lor A</math> * פילוג <math>A\lor (B\land C)= (A\lor B)\land (A\lor C), A\land (B\lor C)= (A\land B)\lor (A\land C)</math> * כללי דה מורגן <math>\neg (A \lor B) = \neg A \land \neg B, \neg (A \land B) = \neg A \lor \neg B</math>. תוכיחו אחד מהם בתרגיל הבית
=== הצרנה ===* מי שלא לומד בסמסטר נכשל במבחן אמ"מ מי שלא נכשל במבחן למד בסמסטר
הצרנה- כתיבת רעיון בעזרת ניסוח פורמאלי===טענת גרירה===הביטוי <math>A\Rightarrow B</math> הוא טענת גרירה ופירושו: הפסוק <math>A\rightarrow B</math> הינו אמת. לכן:
דוגמא: נצרין את המשפט: "אם יש בגרות בשעה חופפת לקורס אז הוא מתבטל "1. נגדיר <math>כשנדרשים להוכיח משפט מהצורה הזו מה שצריך להראות זה שאם A</math> = יש בגרות בשעה שחופפת לקורס. <math>נכון אז גם B</math>= הקורס מתבטלנכון. המשפט אומר <math>A\to או במילים אחרות: נניח שA נכון ונוכיח שגם B </math>. כלומר בגרות בשעה חופפת לקורס זה תנאי מספיק לכך שהקורס מתבטל. שימו לב שזהו לא תנאי הכרחי כי יתכן שהקורס יתבטל מסיבות אחרותנכון.
הצרן: למדתי היטב למבחן, ואף על פי כן נכשלתי בו2. כשנדרשים להפריך משפט מהצורה הזו מה שצריך להראות זה שיש השמת ערכי אמת למשתנים כך ש A נכון וB לא נכון.
פתרון====תרגיל====רשום נכון או לא נכון: נסמן A למדתי לבמחן, B נכשלתי במבחן אזי ההצרנה היא <math>A\land B</math>
הצרן: "ערן לובש חולצה סגולה בכל פעם שהוא לובש מכנסיים בצבע שחור"א. אם אני מנגן בחצוצרה אז אני לא מנגן בתופים ובפסנתר יחד.
פתרון: נסמן A ערן לובש חולצה סגולהב. נסמן B ערך לובש מכנסיים שחורותאם אני לא מנגן בחצוצרה אז אני לא מנגן בפסנתר.ההצרנה <math>B\to A</math>
הצרןמסקנה: "כאשר אני עייף ורעב אני נעשה עצבני, או שאני הולך לישון; אבל אם אני עצבני ולא עייף, לא מנגן בפסנתר אז אני רעב"מנגן בתופים.
פתרון: נסמן A אני עייף, B אני רעב, C אני עצבני, D אני הולך לישוןההצרנה לא נכון: ניקח שקר בשלושתם (לא מנגן בכלום..) א+ב מקבלים ערך <math>[(A\land B)\to (C\lor D)]\and[(C \land \lnot A)\to B]T</math> והמסקנה <math>F</math>.
==טאוטולוגיות==תרגיל====הגדרה רשום נכון או לא נכון: טאוטולוגיה הינה ביטוי שנכון תמיד ללא תלות בערכים שמציבים בו.למשל <math>A \or \neg A</math>
הגדרה: נאמר שביטוי <math>A</math> שקול טאוטולוגית לביטוי <math>B</math> (ונסמן <math>A \equiv B</math>)א. אם הביטוי <math>A \iff B</math> הינו טאוטולוגיה (במילים: A קורה אמ"מ B קורה)אני מנגן בחצוצרה אז אני לא מנגן בתופים ובפסנתר יחד.
הוכח את הבאים:* <math>\ \neg(A \or B) \equiv \neg A \and \neg B</math>* <math>\ A\or (B \and C ) \equiv (A \or B ) \and (A \or C)</math>* <math>\ (A\rightarrow B) \equiv ((\neg A) \vee B)</math>ב.* <math>\ (A \leftrightarrow B) \equiv ((A \wedge B)\vee((\neg A)\wedge (\neg B)</math>.* <math>\ (A \leftrightarrow B) \equiv (A \rightarrow B) \wedge (B \rightarrow A)</math>.* <math>\ (A \rightarrow B) \equiv ((\neg B) \rightarrow (\neg A))</math>אם אני לא מנגן בחצוצרה אז אני לא מנגן בפסנתר.
דוגמא מילוליתמסקנה:אם אני מנגן בפסנתר אני לא מנגן בתופים.
* מי פתרון: נכון. נניח שמנגן בפסנתר, לכן לפי ב מנגן בחצוצרה. ואז לפי א יוצא שלא לומד בסמסטר נכשל במבחן אמ"מ מי מנגן בתופים או לא מנגן בפסנתר (דה-מורגן). כיון שנתון שאני מנגן בפסנתר מתחייב שלא נכשל במבחן למד בסמסטרבתופים.
===דרכי הוכחה===
* בשביל להוכיח את הטענה ש "אם מישהו יכתוב בדיחה במבחן במקום תשובה אז הוא יקבל ניקוד חלקי" ניתן להוכיח באופן שקול כי " אם מישהו לא קיבל ניקוד חלקי במבחן אז זה אומר שהוא לא כתב בדיחה במבחן במקום תשובה"
* בשביל להוכיח את הטענה ש "הגובה שלי נמוך מ- 3 מטר" אפשר להוכיח באופן שקול כי הגובה שלי לפחות 3 מטר ולהגיע לסתירה. למשל הטיעון הבא: "אם הגובה שלי לפחות 3 מטר, אז הראש שלי היה נוגע בתקרה. כיוון שהוא לא נוגע בתקרה, זו סתירה ולכן איני בגובה 3 מטר"
====תרגיל (בהרצאה?)====
[https://en.wikipedia.org/wiki/Wason_selection_task ניסוי מפורסם] בפסיכולוגיה של החשיבה עוסק בקלפים שעל כל אחד מהם סימן בשני הצדדים - אות באחד הצדדים ומספר הצד האחר.
מניחים על השולחן ארבעה קלפים, שצידם החשוף מראה את הסימנים A, P, 2, 3. אילו כרטיסים יש להפוך על-מנת לבדוק את הטענה "אם בצד אחד של הכרטיס יש אות אהו"י (AEIOU), אז בצידו האחר יש מספר זוגי"? התשובה הנפוצה ביותר שאנשים השיבו הייתה שיש להפוך את הכרטיסים הראשון והשלישי (אחרים ענו רק את הכרטיס הראשון). מדוע, לדעתך? ומה התשובה הנכונה?