סיכום הנושא המלא של שני התרגולים הראשונים נמצא בדף [[88-101 חשיבה מתמטית]].
==קַשָּרִים, הצרנה וטבלאות , טבלאות אמתוטאוטולוגיות==
=== אטומים ===
* 3 הוא מספר ראשוני '''או''' 5 הוא מספר ראשוני. הפסוק הזה מקבל ערך T כיוון ש 3/5 מספר ראשוני. גם הפסוק "3 הוא מספר ראשוני '''או''' 4 הוא מספר ראשוני" הוא בעל ערך T.
* מספר (טבעי) מסוים n ניתן להצגה בעזרת 2 ספרות (בבסיס עשרוני) <math>\leftrightarrow</math> המספר n קטן מ 100. הפסוק יקבל ערך T רק אם שני התנאים יתקיימו ביחד. במילים אחרות, אם אחד מתקיים גם השני. במילים אחרות, אם אחד לא מתקיים אז השני גם לא מתקיים.
====הגדרה====
'''הנה כמה הגדרות המשמשות בתואר מתמטי:'''
*כאשר אומרים ש B הוא תנאי הכרחי ל A פירושו הוא <math>A \to B</math>
*כאשר אומרים ש B הוא תנאי מספיק ל A פירושו הוא <math>B \to A</math>
*כאשר אומרים ש B הוא תנאי הכרחי ומספיק ל A פירושו הוא <math>B \leftrightarrow A</math>
====תרגיל====
השלם את המשפט הבא: כדי שירד גשם _____ שיהיו עננים בשמים. לכן אם נסמן ע"י "יש עננים בשמים = A", "יורד גשם = B" נקבל "A____B".
פיתרון: הכרחי, <math>\leftarrow </math>
==טאוטולוגיות==
הגדרה : טאוטולוגיה הינה ביטוי שנכון תמיד ללא תלות בערכים שמציבים בו.
למשל <math>A \or \neg A</math>
הגדרה: נאמר שביטוי <math>A</math> שקול טאוטולוגית לביטוי <math>B</math> (ונסמן <math>A \equiv B</math>)
אם הביטוי <math>A \leftrightarrow B</math> הינו טאוטולוגיה (במילים: A קורה אמ"מ B קורה)
====תכונות הקשרים====
* קיבוציות (אסוציאטיביות) - <math>(A\land B) \land C \equiv A\land (B \land C), (A\lor B) \lor C \equiv A\lor (B \lor C) </math>
* חילופיות (קומוטטיביות) - <math>A\land B \equiv B\land A, A\lor B \equiv B\lor A</math>
* פילוג (דיסטריביוטיביות) - <math>A\lor (B\land C)\equiv (A\lor B)\land (A\lor C), A\land (B\lor C)\equiv (A\land B)\lor (A\land C)</math>
* כללי דה מורגן - <math>\neg (A \lor B) \equiv \neg A \land \neg B, \neg (A \land B) \equiv \neg A \lor \neg B</math>.
=== הצרנה ===
פתרון: נסמן A אני עייף, B אני רעב, C אני עצבני, D אני הולך לישון.
ההצרנה <math>[(A\land B)\to (C\lor D)]\and[(C \land \lnot A)\to B]</math>
===הכרחי ומספיק===
'''הנה כמה הגדרות המשמשות בתואר מתמטי:'''
*כאשר אומרים ש B הוא תנאי הכרחי ל A פירושו הוא <math>A \to B</math>
*כאשר אומרים ש B הוא תנאי מספיק ל A פירושו הוא <math>B \to A</math>
*כאשר אומרים ש B הוא תנאי הכרחי ומספיק ל A פירושו הוא <math>B \leftrightarrow A</math>
====תרגיל====
האם המשפטים הבאים שקוליםהשלם את המשפט הבא:כדי שירד גשם _____ שיהיו עננים בשמים. לכן אם נסמן ע"י "יש עננים בשמים = A", "יורד גשם = B" נקבל "A____B".
א. אם אייל שמח אז ענת גבוההפיתרון: הכרחי, ואם ענת גבוהה אז צחי חמוד.<math>\leftarrow </math>
ב===טאוטולוגיות===הגדרה : טאוטולוגיה הינה ביטוי שנכון תמיד ללא תלות בערכים שמציבים בו. כאשר אייל שמח אז צחי חמודלמשל: <math>A \or \neg A</math>.
פיתרוןהגדרה: לא, בעזרת הצרנה וטבלת אמת. אייל לא שמח, ענת גבוהה וצחי לא חמוד נותן נאמר שביטוי <math>TA</math> בשני ושקול טאוטולוגית לביטוי <math>FB</math> בראשון(ונסמן <math>A \equiv B</math>)אם הביטוי <math>A \leftrightarrow B</math> הינו טאוטולוגיה (במילים: A קורה אמ"מ B קורה).
====תכונות הקשרים====
* קיבוציות (אסוציאטיביות) - <math>(A\land B) \land C \equiv A\land (B \land C), (A\lor B) \lor C \equiv A\lor (B \lor C) </math>
* חילופיות (קומוטטיביות) - <math>A\land B \equiv B\land A, A\lor B \equiv B\lor A</math>
* פילוג (דיסטריביוטיביות) - <math>A\lor (B\land C)\equiv (A\lor B)\land (A\lor C), A\land (B\lor C)\equiv (A\land B)\lor (A\land C)</math>
* כללי דה מורגן - <math>\neg (A \lor B) \equiv \neg A \land \neg B, \neg (A \land B) \equiv \neg A \lor \neg B</math>.
====תרגיל====
האם המשפטים הבאים שקולים:
א. אם אייל שמח אז ענת גבוהה, ואם ענת לא גבוהה אז אייל לא שמח.
ב. אייל שמח אם ורק אם ענת גבוהה.
פיתרון: לא. בא' יש פעמיים את אותו דבר, בגלל השקילות <math>p\to q\equiv \lnot q\to \lnot p</math>. עבור: אייל לא שמח וענת גבוהה, נקבל בא' אמת ובב' שקר.
====תרגיל====
הוכח את הבאים:
* <math>A \equiv A</math>
* <math>\ (A\rightarrow B) \equiv ((\neg A) \vee B)</math>.
* <math>\ (A \leftrightarrow B) \equiv ((A \wedge B)\vee((\neg A)\wedge (\neg B)</math>.
* <math>\ (A \leftrightarrow oplus B) \equiv \lnot(A \rightarrow leftrightarrow B) \wedge (B \rightarrow A)</math>.
* <math>\ (A \rightarrow B) \equiv ((\neg B) \rightarrow (\neg A))</math>.
* מי שלא לומד בסמסטר נכשל במבחן אמ"מ מי שלא נכשל במבחן למד בסמסטר
===טענת גרירה טאטולוגית===הביטוי <math>A\Rightarrow B</math> נקרא הוא טענת גרירה טאטולוגית ופירושו: הפסוק <math>A\rightarrow B</math> הינו טאוטולוגיהאמת. לכן : 1. כשנדרשים להוכיח משפט מהצורה הזו נראה מה שצריך להראות זה שאם A נכון אז גם B נכון. או במילים אחרות: נניח שA נכון ונוכיח שגם B נכון. 2. כשנדרשים להפריך משפט מהצורה הזו מה שצריך להראות זה שיש השמת ערכי אמת למשתנים כך ש A נכון וB לא נכון.
====תרגיל====
רשום נכון או לא נכון:
א. כאשר יורד גשם, יש עננים או שיש ברז כיבוי אש פתוחאם אני מנגן בחצוצרה אז אני לא מנגן בתופים ובפסנתר יחד.
ב. אם אין ברז כיבוי אש פתוח אני לא מנגן בחצוצרה אז יורד גשםאני לא מנגן בפסנתר.
מסקנה: יש עננים אמ"ם יורד גשםאני לא מנגן בפסנתר אז אני מנגן בתופים.
פתרון: לא נכון: יורד גשם, אין עננים ויש ברז כיבוי אש פתוחניקח שקר בשלושתם (לא מנגן בכלום. .) א+ב מקבלים ערך <math>T</math> והמסקנה <math>F</math>.
====תרגיל====
רשום נכון או לא נכון:
א. כאשר יורד גשם, יש עננים או שיש ברז כיבוי אש פתוחאם אני מנגן בחצוצרה אז אני לא מנגן בתופים ובפסנתר יחד.
ב. אם אין ברז כיבוי אש פתוח אני לא מנגן בחצוצרה אז יורד גשםאני לא מנגן בפסנתר.
מסקנה: אם אין ברז כיבוי אש פתוח אז יש עננים. פתרון: נכון. נניח שאין ברז כיבוי אש פתוח. לכן לפי ב יורד גשם. כעת מסעיף א יש עננים או ברז פתוח, ובצירוף לזה שהנחנו שאין ברז פתוח נותר שיש ענניםאני מנגן בפסנתר אני לא מנגן בתופים.
פתרון: נכון. נניח שמנגן בפסנתר, לכן לפי ב מנגן בחצוצרה. ואז לפי א יוצא שלא מנגן בתופים או לא מנגן בפסנתר (דה-מורגן). כיון שנתון שאני מנגן בפסנתר מתחייב שלא בתופים.
===דרכי הוכחה===
* בשביל להוכיח את הטענה ש "הגובה שלי נמוך מ- 3 מטר" אפשר להוכיח באופן שקול כי הגובה שלי לפחות 3 מטר ולהגיע לסתירה. למשל הטיעון הבא: "אם הגובה שלי לפחות 3 מטר, אז הראש שלי היה נוגע בתקרה. כיוון שהוא לא נוגע בתקרה, זו סתירה ולכן איני בגובה 3 מטר"
====תרגיל(בהרצאה?)====
[https://en.wikipedia.org/wiki/Wason_selection_task ניסוי מפורסם] בפסיכולוגיה של החשיבה עוסק בקלפים שעל כל אחד מהם סימן בשני הצדדים - אות באחד הצדדים ומספר הצד האחר.
מניחים על השולחן ארבעה קלפים, שצידם החשוף מראה את הסימנים A, P, 2, 3. אילו כרטיסים יש להפוך על-מנת לבדוק את הטענה "אם בצד אחד של הכרטיס יש אות אהו"י (AEIOU), אז בצידו האחר יש מספר זוגי"? התשובה הנפוצה ביותר שאנשים השיבו הייתה שיש להפוך את הכרטיסים הראשון והשלישי (אחרים ענו רק את הכרטיס הראשון). מדוע, לדעתך? ומה התשובה הנכונה?