===פרדיקטים===
בלוגיקה מתמטית, '''פרדיקט''' הוא פונקציה המקבלת משתנה או כמה משתנים, ומחזירה ערך אמת (T או F). זוהי הכללה של האטומים שפגשנו בתרגול הקודם, שאינם אלא פרידקטים פרדיקטים ללא משתנים. לדוגמה ניתן להגדיר את הפרדיקט <math>S(x)</math> להיות "<math>x</math> הינו סטודנט באוניברסיטה".
גם אטומים וגם פרדיקטים יכולים להיות אמיתיים (מסמנים 1 או T) או שקריים (מסמנים 0 או F). המינוח המקובל הוא שאטום/פרדיקט הוא בעל '''ערך אמת''' T (במידה שהוא נכון) או בעל '''ערך אמת''' F (במידה שאינו נכון).
לעומתה הטענה השניה טוענת שניתן למצוא סטודנט אחד (לפחות) שהוא חרוץ (אם רוצים להוכיח את הטענה צריך למצוא סטודנט שהוא חרוץ ואם רוצים להוכיח כי הטענה לא נכונה צריך לעבור בין כל הסטודנטים ולוודא שהם אינם חרוצים).
'''====תרגיל:''' ====הצרן: לכל מספר p גדול מ-1: (p ראשוני) אמ"מ (אם הוא מחלק מכפלת מספרים אז הוא מחלק את אחד המספרים).
פתרון:
* <math>P(x)</math> הוא הפרדיקט "<math>x</math> הוא ראשוני".
* <math>Q(x)</math> הוא הפרדיקט <math>\forall a,b : p|ab \Rightarrow (p|a \lor p|b)</math>
הערה: שמות המשתנים אינם חשובים למשל עבור הפרדיקט <math>S(x,y)</math> המוגדר <math>x\leq y</math> הפסוק <math>\forall x\forall y S(x,y)</math> הוא זהה לפסוק <math>\forall t\forall s S(t,s)</math>.
הערה: סדר הכמתים כן משנה (לפעמים) למשל <math>\exist x\forall y S(x,y)</math> לא שקול לפסוק <math>\forall y \exist x S(x,y)</math>.
'''סימון:''' נעיר שיש דרכים רבות לכתוב פסוקים כגון אלו. מקובל למשל <math>\forall x P(x)</math>, <math>(\forall x)P(x)</math> או <math>\forall x, P(x)</math>. כל הסגנונות חוקיים, בתנאי שהפסוק ניתן לקריאה באופן חד-משמעי.
הערה: לכל כמת יש אזור תחולה. בתוך אזור תחולה שמות המשתנים אינם חשובים. למשל עבור הפרדיקט <math>S(x,y)</math> המוגדר <math>x\leq y</math> הפסוק <math>\forall x\forall y S(x,y)</math> הוא זהה לפסוק <math>\forall t\forall s S(t,s)</math>.
====תרגיל====
שימו לב שגם למשתנים בהגדרות יש אזור תחולה. צריך לשים לב לא להתבלבל באזורים האלו, וכדי למנוע "התנגשויות" בשמות, פשוט נחליף אותם. למשל נגדיר מספר <math>x</math> להיות '''דו־ריבועי''' אם קיימים <math>y,z</math> כך ש-<math>x=y^2+z^2</math>. הוכיחו שלכל זוג מספרים <math>x,y</math> אם הם מספרים דו־ריבועיים, אז גם המספר <math>xy</math> הוא דו־ריבועי.
פתרון: נגדיר את הפרדיקט <math>Q(x)</math> להיות T אם ורק אם <math>x</math> הוא מספר דו־ריבועי (הצרינו זאת!). אנו נדרשים להוכיח את הטענה <math>\forall x\forall y:(Q(x) \land Q(y)) \rightarrow Q(xy)</math>.
לפי ההגדרה, אם <math>x</math> הוא דו־ריבועי, אז קיימים <math>a,b</math> כך ש-<math>x=a^2+b^2</math>, ובאופן דומה אם <math>y</math> דו־ריבועי, אז קיימים <math>c,d</math> כך ש-<math>y=c^2+d^2</math>. כדי להוכיח ש-<math>xy</math> הוא גם דו־ריבועי, יש להראות שקיימים <math>e,f</math> כך ש-<math>xy=e^2+f^2</math>. נעזר בזהות <math>(a^2+b^2)(c^2+d^2) = (ac-bd)^2+(ad+bc)^2</math>. לכן קיבלנו <math>xy = (ac-bd)^2+(ad+bc)^2</math>, ומכאן שנוכל לבחור את <math>e,f</math> הדרושים לנו להיות <math>e=ac-bd</math>, <math>f=ad+bc</math>.
==שלילת פסוקים==
====תרגיל====
כתבו פסוק השקול לפסוק הבא ללא שימוש בקשר השלילה.הוכיחו או הפריכו:
<math>\lnot (\forall a\in \mathbb{ZN} \exists b\in \mathbb{N} (a|b\rightarrow (a<\leq b\land a+b<a\neq 0cdot b)))</math>
פיתרון: ראשית נראה מה הטענה בעצם אומרת:
<math>\exists a\in \mathbb{ZN} \forall b\in \mathbb{N} (a|b \land (a\geq >b \lor a+b=0\geq a\cdot b))</math>
שימו לב שנעזרו בשקילות <math>\ (A\rightarrow B) \equiv ((\neg A) \lor B)</math> ובחוקי דה-מורגן. כעת נשים לב שאם <math>a|b</math> אז <math>a\leq b</math> ולכן כדי שזה יהיה נכון צריך שיתקיים <math>a+b\geq a\cdot b</math> וזה אכן קורה עבור <math>a=1</math>.
====תרגיל====
א. הפרכה. ניקח את <math>P(n)</math> להיות <math>1</math> על הזוגיים ו-<math>0</math> על אי-זוגיים, ו-<math>Q(n)</math> להפך. אכן כל מספר טבעי הוא זוגי או אי-זוגי, אך זה לא נכון שכל מספר הוא זוגי או שכל מספר הוא אי-זוגי.
ב. הוכחה: יהי <math>n</math> . אם מתקיים <math>P(n)</math> אז בפרט מתקיים <math>P(n) \lor Q(n)</math> כדרוש. אחרת, לפי הנתון השקילות <math>a\lor b \equiv \lnot a \rightarrow b</math>, מתקיים שלכל מס' טבעי, ובפרט עבור <math>n</math>, מתקיים <math>Q(n)</math>, ולכן מתקיים <math>P(n) \lor Q(n)</math> כדרוש. ====תרגיל====הצרן את המשפט "כל מספר ממשי ניתן לקרב ע"י מספרים רציונאליים בקירוב טוב כרצוננו".
*תרגיל: הצרן את המשפט "כל מספר ממשי ניתן לקרב ע"י מספרים רציונאליים בקירוב טוב כרצוננו"פתרון: <math>\forall x\in\mathbb{R}\,\exists A\subset\mathbb{Q}:\forall\epsilon\in\mathbb{R}_{+}\exists q\in A\,:|x-q|<\epsilon</math> .
מה היא שלילתו של המשפט?
* <math>\exists x\in\mathbb{R}\, \forall A\subset\mathbb{Q}:\neg(\forall\epsilon\in\mathbb{R}_{+}\exists q\in A\,:|x-q|<\epsilon )</math>
* <math>\exists x\in\mathbb{R}\, \forall A\subset\mathbb{Q}:\exists\epsilon\in\mathbb{R}_{+}\neg(\exists q\in A\,:|x-q|<\epsilon )</math>
* <math>\exists x\in\mathbb{R}\, \forall A\subset\mathbb{Q}:\exists\epsilon\in\mathbb{R}_{+}\forall q\in A\,\neg(:|x-q|<\epsilon )</math>
*<math>\exists x\in\mathbb{R}\,\forall A\subset\mathbb{Q}:\exists\epsilon\in\mathbb{R}_{+}\forall q\in A\,:|x-q|\geq\epsilon</math>
תרגילים:
דוגמאות של הצרנת ושלילת המושגים 'תלות לינארית', 'גבול סדרה', 'חח"ע', וכדומה