חזרה ל[[83-116, בדידה 1 להנדסה, מערכי תרגול|דף מערכי התרגול]].
==המשך קבוצות==
===תרגיל===הוכח הוכיחו כי <math>A\cap (B/\setminus C)=(A\cap B) / \setminus (A\cap C)</math>.
====פתרון====
דרך גרירות לוגיות:
<math>x\in A\cap (B/\setminus C)\iff (x\in A) \and [(x\in B) \and (x\notin C)]\iff [(x\in A) \and (x\in B) \and (x\notin C)] \or [(x\in A) \and (x\in B) \and (x\notin A)] </math>
דרך הוכחה בעזרת הכלה דו כיוונית:
בכיוון (<math>\subseteq</math>) נניח <math>x\in A\cap(B\backslash C)</math> אזי
<math>x\in A \land x\in B \land x\not\in C \Leftarrow</math>
<math>x\in (A\cap B) \backslash (A\cap C)</math>
בכיוון (<math>\supseteq</math>) נניח <math>x\in (A\cap B) \backslash (A\cap C)</math> אזי
<math>x\in A\cap B \land x\not\in A\cap C \Leftarrow</math>
<math>x\in A\cap(B\backslash C)\Leftarrow </math>
==== משלים ====
'''הגדרה''': תהי קבוצה <math>U</math>, ונביט בתת קבוצה שלה <math>A</math>. ניתן להגדיר את ה'''משלים''' של <math>A </math> כאוסף האיברים בU ב-<math>U</math> שאינם בA ב-<math>A</math> (כלומר ההפרש <math>U\setminus A</math>), מסומן המסומן <math>A^c</math>. לא ניתן לדבר על משלים אוניברסאלי אוניברסלי ללא <math>U </math> מכיוון שאין קבוצה המכילה את כל הדברים בעולם (אחרת נגיע לסתירות כמו פרדוקס ראסל).
תכונות בסיסיות:
* <math>A\cup A^c = U</math>
* <math>\emptysetvarnothing^c = U</math>* <math>U^c = \emptysetvarnothing</math>
* <math>(A^c)^c = A</math>
*<math>(A\cup B)^c = A^c \cap B^c</math>
הערה: באופן כללי מתקיים
* <math>(\cap bigcap _{i\in I} A_i)^c = \cup bigcup _{i\in I} A_{i}^c </math>* <math>(\cup bigcup _{i\in I} A_i)^c = \cap bigcap _{i\in I} A_{i}^c </math>
'''הגדרה''': תהי קבוצה <math>A</math>. נגדיר את '''קבוצת החזקה''' של <math>A </math> בתור אוסף כל תתי תת הקבוצות של <math>A</math>. מסומן נסמן <math>P(A)=\{X:X\subseteq A\}</math>.
דוגמאדוגמה:
<math>A=\{1,2\}</math> אזי <math>P(A)=\{\{\},\{1\},\{2\},\{1,2\}\}</math>.
האם אתם יכולים למנות כמה איברים יש בקבוצת החזקה?
===תרגיל ממבחן===
יהיו A,B,C קבוצות. הוכיחו/הפריכו:
א. אם <math>A \not\subseteq B \cap C</math> אזי <math>(A/\setminus B)\cap(A/\setminus C)\neq \phivarnothing</math>
ב. אם <math>A\subseteq B</math> אזי <math>A\cup(B/\setminus A)=B</math>
ג. אם <math>A\cap B=\phivarnothing</math> אזי <math>P(A)\cap P(B) = \{\phivarnothing\}</math>
====פתרון====א. '''הפרכה''': <math>A=\{1,2\},B=\{1\},C=\{2\}</math>. אזי ברור שA איננה מוכלת בחיתוך של B וC אבל <math>(A/\setminus B)\cap(A/\setminus C)=\{2\}\cap\{1\}=\phivarnothing</math>
דרך נוספת: נגדיר את B להיות הקבוצה האוניברסאלית <math>U:=B</math> ואז צריך להוכיח כי
<math>A\cap cup A^c =U</math> וזה אכן נכון!
ג. נניח בשלילה ש<math>P(A)\cap P(B)\neq \{\phivarnothing\}</math>. מכיוון שהקבוצה הריקה שייכת לכל קבוצת חזקה החיתוך אינו ריק. לכן לפי הנחת השלילה קיימת קבוצה לא ריקה <math>\phi varnothing \not=C</math> השייכת לחיתוך <math>P(A)\cap P(B)</math>. קבוצות החזקה הן אוסף תתי תת הקבוצות, ולכן <math>C\subseteq A \and C\subseteq B</math>. מכיוון שC אינה ריקה קיים בה איבר <math>\exists c\in C</math> וקל מאד לראות ש<math>(c\in A)\and (c\in B) </math> ולכן c מוכל בחיתוך בסתירה לכך שהחיתוך ריק.